La traduction par Chasles du manuscrit de Gerbert commence par ce sommaire :

1. Diviser des unités par des unités (on retranchera simplement le diviseur du dividende, autant de fois qu’il se peut).
2. Diviser des dizaines ou des centaines, etc., par des unités (méthode des différences).
3. Diviser des centaines ou des mille, etc., par des dizaines (méthode des différences).
4. Diviser des dizaines, des centaines ou des milles ... par des unités jointes à des dizaines (méthode des différences).
5. Autre manière de diviser ... par les mêmes diviseurs.
6. Diviser des centaines par des dizaines jointes à des centaines, ou des mille par des centaines jointes à des mille, etc (méthode des différences).
7. Autre manière de diviser des centaines ou des mille...
8. Diviser des centaines par des centaines jointes à des unités, avec une place vide au milieu ... (procédé actuel).
9. Diviser des mille par des centaines jointes à des unités, ou des dix-mille par des mille joints à des dizaines...

Gerbert ne fait qu’énumérer des cas de divisions, mais la progression a l’air applicable à des élèves du premier degré. Le détail est donné dans les onglets suivants.

Gerbert commence donc par des divisions d’un nombre d’un seul chiffre par un nombre d’un seul chiffre, et ici, le dividende et le diviseur sont tous deux inférieurs à 10. Pour cela il suffit de soustraire le diviseur au dividende autant de fois que possible, en comptant les soustractions effectuées.

Par exemple pour diviser 7 par 2, on

• soustrait 2 à 7 pour avoir 5 (une soustraction effectuée)
• soustrait 2 à 5 pour avoir 3 (deux soustractions effectuées)
• soustrait 2 à 3 pour avoir 1 (trois soustractions effectuées)

Comme on ne peut plus soustraire 2 à 1, on a terminé la division sur un reste de 1. Comme on a effectué trois soustractions, le quotient est 3.

L’abaque de Gerbert n’est pas nécessaire pour faire ces exercices mais comme la maîtrise de ces divisions de nombres à un chiffre est nécessaire pour la suite, il est probable que les exercices aient été effectués un grand nombre de fois avant de passer à la suite.

Ces exercices sont envisageables dès le CE2, comme application de la soustraction (la division étant une soustraction itérée). On peut même envisager la fabrication collaborative de cette table de division (suivant l’usage extrême-oriental, plutôt que donner le quotient et le reste entiers, on donne le résultat avec écriture fractionnaire, par exemple lorsqu’on dit qu’en divisant 7 par 2 on a un quotient de 3 et un reste de 1, on résume en 7/2=3+1/2 qu’on note 3 1/2) :

Ensuite, Gerbert constate que diviser 70 par 20 revient au même que diviser 7 par 2, et on peut, par exemple en guise de révision d’entrée en CM1, faire des exercices de division de type 70÷20 mais aussi 700÷200 voire 7000÷2000.

Ensuite on peut faire diviser 70 par 2 et analogues. Voici des exemples :

• diviser 40 par 7
• diviser 90 par 5
• diviser 30 par 3
• diviser 20 par 8
• diviser 70 par 9
• diviser 60 par 8
• diviser 90 par 2
• diviser 80 par 6

etc.

Là, Chasles considère qu’il devient intéressant d’utiliser la division de fer. Par exemple pour diviser 80 par 6,

• on peut se reférer à l’onglet précédent et dire que puisque 8÷6=1+2/6 alors 80÷6=10+20/6 et il ne reste qu’à effectuer la division de 20 par 6 (et même 20÷6 peut être fait par la division de fer : la différence est 10-6=4, et on divise 20 par 10 - quotient 2 - pour ensuite avoir comme reste 2×4=8, et on finit en divisant 8 par 6, on a un reste 2 et un quotient 1 à additionner avec le quotient 2 précédent) : 20÷6=3 + 2/6 donc 80÷6=10+3+2÷6=13+2/6
• on peut utiliser la table de 6 : 80=60+20 donc 80÷6=60÷6+20÷6=10+3+2÷6=13+2÷6
• on peut effectuer une division euclidienne (d’or) : 8=6+2 donc 8÷6=1+2÷6 donc 80÷6=10+20÷6 et comme 3×6=18, 20÷6=18÷6+2÷6=3+2÷6 d’où 80÷6=13+2÷6
• on peut effectuer une division de fer :

On arrondit 6 à l’entier supérieur 10.

Du coup on a besoin de la différence 4 (c’est par elle qu’on multipliera ci-après).

1. 80÷10 = 8 (quotient partiel)
2. 8×4 = 32 (nouveau reste)
3. 30÷10 = 3 (quotient partiel), reste 2
4. 3×4 = 12 à ajouter au reste 2 (nouveau reste 14)
5. 14÷10 = 1 (quotient partiel), reste 4
6. 1×4 = 4 (à ajouter au reste 4 pour avoir 8)
7. 8÷6 = 1 (quotient partiel), reste 2

La somme des quotients partiels est 8+3+1+1=13, et le reste est 2, donc 80÷6=13+2÷6

On propose ensuite (toujours en CM1) de passer à des divisions du type 300000÷40 ou 8000÷500 etc.

Et là encore, la division de fer est efficace. Par exemple pour diviser 8000 par 500, on commence par calculer le diviseur opérationnel qui est 1000, puis la « différence » 1000-500=500, et on initialise le reste à 8000. Ensuite,

1. on divise 8000 par 1000, on trouve un quotient partiel de 8,
2. on multiplie 8 par 500, on a un nouveau reste de 4000,
3. on divise 4000 par 1000, on trouve un quotient partiel de 4 (à ajouter aux 8 pour avoir 12),
4. on multiplie 4 par 500, on a un reste de 2000,
5. on divise 2000 par 1000 pour avoir un nouveau quotient partiel de 2 (à ajouter aux 12 pour avoir 14),
6. on multiplie 2 par 500 pour avoir un reste de 1000,
7. on divise 1000 par 1000 pour un quotient partiel de 1 (à ajouter aux 14 pour avoir 15),
8. on multiplie 1 par 500 pour avoir un reste de 500,
9. comme le reste est plus petit que 1000, on passe à la division d’or, il reste à diviser 500 par 500 et le quotient est 1 avec un reste nul. Il s’agit d’un quotient partiel, à additionner avec les 15 pour avoir 16 :

8000÷500=16, autrement dit 8000=500×16

Ce genre d’exercices est plutôt pour le CM2 (à la limite, la fin du CM1).

On passe maintenant à des diviseurs à deux chiffres comme 11, 27 ou 99.

Par exemple, pour diviser 84 par 24, on se livre d’abord à un travail de préparation :

Gerbert appelle différence ce nombre 30-24=6. C’est donc par 6 qu’on multipliera les quotients partiels pour avoir les restes à diviser à leur tour par 30.

1. 84=60+24, on peut donc déjà réserver 24 pour plus tard et diviser 60 par 30. Le quotient est 2.
2. Ensuite on multiplie 2 par 6 : cela fait 12, à ajouter aux 24 qui restaient. 12+24=36=30+6. On peut alors réserver 6 et diviser 30 par 30.
3. Le quotient de 30 par 30 est 1, à ajouter au quotient 2 : le quotient est (pour l’instant) égal à 3.
4. Pour avoir le reste, il faut multiplier le dernier quotient partiel 1 par 6 (1×6=6) puis ajouter ce 6 aux 6 réservés : le reste de la division est 12.

Pour vérifier le calcul, on peut effectuer (par exemple sur l’abaque de Gerbert) le calcul 3×24+12=72+12=84.

Voici d’autres exercices d’entraînement à la division, à faire sur tout le cycle 3 :

• 37÷12
• 48÷15
• 42÷25
• 87÷25
• 120÷45
• 240÷56
• 320÷58
• 210÷37
• 1200÷97

La division de fer n’est pas systématiquement appropriée. Par exemple pour diviser 300 000 par 40, la division de fer boucle 18 fois, alors que commencer directement par la division d’or donne le raisonnement suivant :

• 3 est plus petit que 4 mais 30 dépasse de peu 28 qui est dans la table de 4. Bref, 7×4=28
• donc 7×40=280
• donc 70×40=2800, 700×40=28000 et 7000×40=280000, le quotient pour l’instant est 7000.
• 300000-280000=20000 est le nouveau reste, sur lequel on recommence :
• 5×4=20 donc 5×40=200 donc 50×40=2000 donc 500×40=20000 : le quotient est maintenant 7000+500=7500, et le reste est 20000-20000=0, on a donc fini la division (d’or) !

On arrive ensuite à des divisions par des nombres à deux chiffres significatifs. Par exemple

• 1000÷25
• 4000÷12
• 6000÷32
• 30000÷320
• 7060÷64

etc, à pratiquer durant le second semestre de CM2, en privilégiant la verbalisation (élève faisant le corrigé au tableau), le travail collaboratif (remise d’un résumé par un groupe d’élèves, la répétitivité (une séance d’abaque de Gerbert au minimum par semaine) et la liaison CM2/6^e (échanges entre élèves de CM2 et de 6 sur l’abaque de Gerbert). Noter que les carolingiens étant au programme d’histoire en cycle 3, il est possible de faire la liaison avec le personnage de Gerbert, dont les activités géopolitiques ont précipité la fin des carolingiens.

Par exemple, voici comment on effectue la division de fer pour diviser 7000 par 16 : le diviseur opératoire est 20, et la « différence » est 20-16=4. On va donc, à chaque étape, diviser par 20 et multiplier par 4. Le reste est initialement égal au dividende 7000.

1. 7÷2=3+1/2 donc on coupe les 7000 en 6000+1000 (qu’on réserve) ; comme 6÷2=3, 60÷20=3, 600÷20=30 et 6000÷20=300 (quotient partiel).
2. 3×4=12 donc 300×4=1200, qu’on ajoute aux 1000 réservés pour avoir le nouveau reste qui est 2200=2000+200. On réserve 200 et on divise 2000.
3. 2000÷20=100 (2^nd quotient partiel).
4. 100×4=400, qu’on ajoute aux 200 réservés pour avoir le nouveau reste 600.
5. 600÷20=30 (3^e quotient partiel).
6. 30×4=120 qui est le nouveau reste.
7. 120÷20=6 (4^e quotient partiel).
8. 6×4=24=20+4. On réserve 4 et on divise 20.
9. 20÷20=1 (5^e quotient partiel).
10. 1×4=4, à ajouter aux 4 réservés pour avoir le reste 8.
11. 8 est plus petit que 20, on passe donc à la division d’or. Mais 8 est aussi plus petit que 16 et la division est donc finie.

Le quotient est donc 300+10+30+6+1=347, et le reste est 8. Autrement dit, 7000÷16=347+8/16.

Quand on est familiarisé avec les fractions, on peut remplacer 8/16 par 1/2 et le résultat précédent s’écrit 347+1/2 ou 347+0,5=347,5.

On se propose ici de refaire la division de 7000 par 16, mais cette fois-ci selon ce que Chasles appelait le « procédé actuel » (division d’or). Il faut pour cela connaître la table de 16 :

1. Comme 2×8=16, 4×16=4×2×8=8×8=64. Donc 40×16=640 et 400×16=6400, qu’il faut maintenant soustraire à 7000 (quotient actuel : 400).
2. 7000=6000+1000=6000+600+400 donc 7000-6400=600 (reste actuel).
3. On a vu ci-dessus que 40×16=640 qui est plus que le reste 600 donc 40 c’est trop. On essaye avec 30 : 3×16=3×2×8=6×8=48 donc 30×16=480, à soustraire à 600 (quotient actuel : 400+30=430).
4. 600=500+100=500+20+80 donc 600-480=500-400+20=120 qui est le nouveau reste.
5. On a vu que 4×16=64 et 3×16=48 donc 7×16=64+48=112. Le quotient devient donc 430+7=437, et il faut encore soustraire 112 de 120.
6. 120-112=20-12=8 : le reste 8 est plus petit que 16 donc la division euclidienne est terminée, avec un quotient de 437 et un reste de 8.
7. Mais emporté par son élan, ou distrait, un élève pourrait comme le suggère Chasles, continuer, en imaginant un zéro à droite du reste 8 et en considérant le reste comme un 80 décalé, il chercherait à diviser 80 par 16.
8. Comme 16=2×8, 5×16=5×2×8=10×8=80 justement. On rajoute un chiffre 5 dans le quotient (mais comme il est après les unités, on met une virgule et le quotient devient 437,5).
9. Comme 0,5×16=8, en soustrayant ce 8 au reste 8, il n’y a plus de reste et cette fois-ci la division est vraiment terminée.

Gerbert et Bernelin évoquent cette possibilité de continuer la division pour obtenir des fractions de l’unité, mais à leur époque le système monétaire n’utilisait pas la base 10 et il a fallu attendre la révolution française (800 ans après Gerbert) pour que les nombres décimaux puissent être utilisés dans des situations concrètes. Adélard par exemple n’envisageait pas de couper des poires en morceaux...

Il est temps maintenant de diviser par des nombres à 3 chiffres (a priori plutôt en 6^e). Gerbert parle de nombres sans dizaines comme 606 qu’on a déjà traité dans le détail plus haut. On va donc essayer plutôt une division par 875, et on va utiliser la division de fer pour cela. Pour diviser 47 000 par 875, on va donc commencer par calculer l’arrondi supérieur de 875 (c’est 1 000) puis la différence entre 1 000 et 875 : c’est 125 qui servira de multiplicateur pour calculer les restes successifs. Le reste est donc initialisé à 47 000 = 40 000 + 7 000.

1. On divise 40 000 par 1 000, le quotient est 40 (1^er quotient partiel).
2. On multiplie 40 par 125, le produit est 5 000 à ajouter aux 7 000 réservés d’avant : la somme (nouveau reste) est 12 000.
3. On réserve 2 000 et on divise 10 000 par 1 000, le quotient est 10 (2^e quotient partiel).
4. On multiplie 10 par 125, le produit est 1 250 (à ajouter aux 2 000 réservés pour avoir le nouveau reste 3 250).
5. On réserve 250 et on divise 3 000 par 1 000 : le 3^e quotient partiel est 3.
6. On multiplie 3 par 125, le produit 375 doit être ajouté aux 250 réservés pour avoir le reste qui est 625.
7. 625 est plus petit que 875 donc la division est terminée : reste 625 et quotient 40+10+3=53.
8. Mais si on oublie que c’est terminé on peut continuer, en voyant 625 comme le dixième de 6 250. Or 7×875=6 125 est à peine plus petit. Le quotient augmente alors de 0,7 unité (on rajoute un jeton 7 à droite des unités), et on soustrait 612,5 au reste qui devient 12,5.
9. Et ce n’est pas tout ! On peut encore voir 12,5 comme le centième de 1250 qui peut aussi être divisé par 875 : le quotient devient 53,7+0,01=53,71 et le reste est diminué de 8,75, la différence 3,75 étant le nouveau reste.
10. On peut continuer encore, en voyant 3,75 comme le millième de 3 750 que l’on divise par 875 : sachant que 4×875=3 500, on en déduit que 0,004×875=3,5 que l’on soustrait à 3,75 pour avoir un reste de 0,25, etc.

Pour représenter des nombres décimaux :

Pour additionner des nombres décimaux :

Deux manières de soustraire deux nombres décimaux :

La seconde (addition du complément à 10), portée en binaire, est au programme de NSI en 1^re.

Voici un exemple de multiplication menée sur l’abaque de Gerbert :

On peut même diviser deux nombres décimaux entre eux :

Ceci dit, comme diviser 12,8 par 2,56 revient au même que diviser 128 par 15,6 ou diviser 1280 par 256, on en revient à du déjà vu (en or ou en fer).