Par-delà le théorème de cocyclicité de Conway

David Pouvreau, docteur en histoire des sciences et professeur agrégé de mathématiques en CPGE au lycée Roland-Garros du Tampon

Le célèbre mathématicien John H. Conway (1937-2020) est décédé en avril dernier du Sars-Cov-2. Un groupe inter-IREM récemment constitué entre La Réunion et Mayotte a en particulier pour objectif de lui rendre hommage en faisant connaître et, éventuellement, en prolongeant certains de ces travaux.

Dans ce contexte, l’auteur de cette conférence jettera une nouvelle lumière sur l’un des théorèmes les plus simples et les plus connus de Conway : son théorème de cocyclicité. Après avoir rappelé ce dernier et évoqué certaines de ses démonstrations, qui peuvent facilement être exploitées dans leurs classes par les enseignants du secondaire, l’auteur montrera que l’introduction d’un triple paramétrage de la configuration correspondant à ce théorème permet en fait de trouver d’une part une généralisation mettant en évidence une infinité de cas conduisant à la même conclusion, d’autre part l’existence de valeurs des paramètres donnant lieu à d’autres configurations remarquables et non triviales. Les résultats et démonstrations ainsi exposées peuvent quant à eux fournir une matière intéressante pour les enseignants du supérieur.

Plus précisément, $A$, $B$ et $C$, étant trois points distincts et non alignés du plan, on note :

• $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ et $p$ le demi-périmètre $\frac{1}{2} (a+b+c)$ du triangle $ABC$.
• $\Omega$ le centre du cercle inscrit dans $ABC$ ; $(\alpha ; \beta ; \gamma)$ un triplet de réels quelconques.
• $A’$ le point de $(AB)$ tel que $\overrightarrow{AA’}=-\alpha \frac{a}{c} \overrightarrow{AB}$ et $A’’$ le point de $(AC)$ tel que $\overrightarrow{AA’’}=-\alpha \frac{a}{b} \overrightarrow{AC}$.
• $B’$ le point de $(BC)$ tel que $\overrightarrow{BB’}=-\beta \frac{b}{a} \overrightarrow{BC}$ et $B’’$ le point de $(BA)$ tel que $\overrightarrow{BB’’}=-\beta \frac{b}{c} \overrightarrow{BA}$.
• $C’$ le point de $(CA)$ tel que $\overrightarrow{CC’}=-\gamma \frac{c}{b} \overrightarrow{CA}$ et $C’’$ le point de $(CB)$ tel que $\overrightarrow{CC’’}=-\gamma \frac{c}{a} \overrightarrow{CB}$.

Le théorème de Conway correspond alors au cas $(\alpha ; \beta ; \gamma)=(1 ; 1 ; 1)$ ; il énonce que les points $A’$, $A’’$, $B’$, $B’’$, $C’$ et $C’’$ sont cocycliques et appartiennent à un cercle $(\Gamma)$ de centre $\Omega$. Il sera d’abord établi que cette conclusion demeure pour une famille infinie de triplets $(\alpha ; \beta ; \gamma)$ qui sera précisée, et qu’on peut même compléter ce théorème généralisé par l’observation de trois autres cocyclicités. Il sera ensuite montré que le cas $(\alpha ; \beta ; \gamma)=(-1 ; -1 ; -1)$, dit « anti-Conway », qui n’appartient en général pas à cette famille, fournit pourtant lui aussi l’opportunité d’énoncer deux théorèmes inédits et remarquables mettant en évidence non seulement plusieurs cocyclicités, mais aussi une concourance de droites au point de Nagel du triangle $ABC$, en révélant au passage une propriété et une caractérisation algébrique de ce dernier point. Enfin sera mise en évidence l’existence d’un triplet différent des deux précédents qui se trouve être une fonction rationnelle des côtés du triangle et qui fournit lui aussi l’opportunité d’un théorème inédit énonçant l’existence d’une concourance de droites.

Une discussion commune pourra être entreprise à l’issue de l’exposé, afin d’évoquer non seulement ses éventuels prolongements mathématiques, mais aussi ses applications didactiques, notamment en géométrie dynamique, ainsi que les leçons épistémologiques qu’on peut en tirer quant aux rapports entre algèbre et géométrie.

Les résultats exposés dans cette conférence forment la matière d’un article de titre identique qui sera publié dans le n°119 de la revue française Quadrature.

Conway-maps, conjecture de Collatz et gamme musicale

Ivan Riou, professeur agrégé de mathématiques au Centre universitaire de Mayotte

Cet exposé a pour objectif de mettre en lumière les liens étroits qui existent entre la conjecture de Collatz et la gamme musicale. Le détour par les Conway-maps, famille de suites dont la définition généralise celle de la suite de Collatz, nous permettra d’affiner ces liens. Dans ce contexte, nous construirons une Conway-map aboutissant à une gamme dodécaphonique sans comma, puis diverses Conway-maps, qui, analysées à l’aide de leur graphe multiplicatif associé, nous permettront de mettre en relief la particularité de la suite de Collatz. Toutes ces suites seront illustrées sur des spirales de base 2, outils représentatifs adaptés à l’unification de ces deux domaines.

Et si on parlait d’informatique... sans ordinateur !

Marie Duflot-Kremer, maître de conférences en informatique à l’université de Lorraine

Comprendre la science informatique est un enjeu important, que ce soit pour l’enseigner, pour en faire son métier ou tout simplement pour être un.e citoyen.ne averti.e. Mais a-t-on forcément besoin d’un écran pour parler d’informatique ? Je vous propose de découvrir comment, au travers d’activités mêlant un côté ludique et réflexion, on peut aborder des thèmes aussi divers que l’architecture d’un ordinateur, les systèmes distribués, le codage d’images ou la programmation, sans ordinateur et avec un public allant de 4 à 128 ans.