Présentation

Sur deux classes de Troisième du collège Bory-de-Saint-Vincent de Saint Philippe, seul un tiers des élèves a réussi les évaluations portant sur les notions d’identités remarquables, notamment le développement et la factorisation. Après le rajout d’une heure de soutien hebdomadaire par division, un test surprise de 15 minutes leur a été posé.

Bilan : Des résultats alarmants. Une heure de soutien inefficace.

Remède ? Utiliser un nouveau support sur un petit groupe d’élèves (cinq par classe pris parmi les moins bonnes notes au test) : les maplettes, logiciel de calcul formel.

Les erreurs les plus courantes rencontrées au test :

– des confusions entre le carré et le double d’un nombre, par exemple : 4² = 8 ; (5x)² = 10x² ;
– non acquisition de la notion du carré d’un nombre et d’une expression, par exemple : 4² = 16² ; (3x)² = 9x ou 3x² ;
– une erreur classique (a – b)² = a² – b² ;
– (a – b)(a + b) = (a – b)².

Déroulement de l’expérience

L’expérience s’est déroulée en cinq séances d’une heure en salle informatique. Chaque élève était devant son écran. Ces séances portaient sur :

– l’étude et l’expérimentation du carré d’un nombre et du double produit (1 maplette) ;
– le développement d’une expression (4 maplettes, une pour chaque identité et la dernière un mélange des trois) ;
– la factorisation (4 maplettes).

Pour pouvoir changer de maplette les élèves devaient réussir au moins 7 questions sur 10 au premier essai.

1^re séance : Carré et double produit

Séance de familiarisation avec ce nouvel outil. Les élèves progressent lentement à des rythmes différents. Des lacunes en calcul mental se font sentir, ils utilisent un support papier.

2^e séance : Développer le carré d’une somme et d’une différence

Tous les élèves ont besoin d’un brouillon, non plus pour poser leur opération, mais pour détailler leur développement, puisque le logiciel leur demande une expression réduite.

Bilan des 1^re et 2^e séances

Le logiciel est très facile d’utilisation, donc on ne s’éloigne pas du savoir mathématique. Pour les deux premières séances, le professeur est très sollicité, en particulier pour un problème qui relève de lacunes au niveau des connaissances et d’une mauvaise exploitation des aides proposées par le logiciel. Quelques élèves travaillent en autonomie avec pour seul outil le résumé du logiciel et les indications de l’évaluation. Des petits progrès se manifestent dès la deuxième séance, certains élèves connaissent leur carré par cœur.

3^e séance : développer (a – b)(a + b) et le « tout développer » (mélange des trois IR)

Dans les dix premières minutes les élèves ont du mal à développer les expressions du type
(5 + x)(x – 5) et ne comprennent pas l’aide. Après une mise au point, la machine s’est soudainement mise en route. Le rythme de travail était beaucoup plus rapide. Les élèves commencent à prendre de l’assurance.

4^e séance : Factorisation

Pour la première fois depuis le début de l’expérience, les élèves traitaient trois maplettes dans l’heure, soit en un temps record. La factorisation, point délicat du programme, était surmontée. Le professeur peu sollicité, était appelé que pour valider ou invalider une production. Les élèves contrôlaient leurs résultats avant de confirmer leurs réponses, étant notés à chaque activité.

5^e séance : « tout factoriser » et « tout développer »

Les deux groupes sont très dynamiques. Les élèves vont très vite et finissent en 15 min la maplette « tout factoriser ». Pendant l’heure, ils alternent plusieurs fois développer et factoriser.

Bilan des trois dernières séances

Les élèves sont plus rigoureux, car c’est la machine qui « juge » leur travail accompli ; ils développent des outils de contrôle et avancent vers l’autonomie.

Après ces cinq séances, le même test est reposé à tous les élèves des deux classes entières.

Bilan du deuxième test

Les progressions les plus significatives ont eu lieu dans les deux groupes ayant travaillé avec les maplettes. Les autres élèves des deux classes ont très peu progressé, voire régressé pour quelques-uns. Revenons aux deux groupes. Nous faisons les constats suivants :

– le carré d’un nombre est su ;
– les élèves ont trouvé les développements du carré de la somme et de la différence mais quelques-uns se trompent encore dans les étapes intermédiaires et écrivent 5x² au lieu de (5x)² et pourtant écrivent 25x² dans la réduction ;
– deux d’entre eux ont encore du mal avec le développement de (a – b)(a + b) mais plus au même niveau : (7a – 3)(7a + 3) = (49a – 9)² ;
– à part deux élèves (qui disent avoir oublié), tous ont réussi les trois factorisations.

Des progrès dans l’ensemble : les factorisations ont été mieux comprises.

Conclusion

Là où l’heure de soutien s’avérait inefficace pour des élèves en difficulté, les maplettes ont joué un rôle déterminant dans la compréhension des identités remarquables. Pendant cette expérience, les jeunes ont été plus motivés et appliqués avec ce nouveau support, qui leur permettait d’être indépendants et de réaliser personnellement leurs progrès réels.

Cependant, les connaissances acquises sur les machines semblent plus fragiles et éphémères. Il faudra consolider ce savoir que le logiciel a contribué à acquérir en prévoyant un suivi de l’expérience en classe, par exemple sous forme de synthèse, de questions ou d’exercices après ou pendant la séance informatique.