Le cercle unité (privé du point $(-1 ;0)$) peut être décrit par une représentation paramétrique rationnelle :
$$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \qquad \\ y=\frac{2t}{1+t^2} \end{array}\right. , t \in \mathbb{R} $$
Pour imiter la parabole doublement cotée du multiplicateur de Möbius, on peut représenter le réel $a$ positif par le point de coordonnées $\left( \frac{1-a^2}{1+a^2} ;\frac{2a}{1+a^2}\right)$, et le réel $b$ positif par le point de coordonnées $\left( \frac{1-b^2}{1+b^2} ;-\frac{2b}{1+b^2}\right)$. Alors la droite joignant ces deux points coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\frac{1-ab}{1+ab} ;0 \right)$. Pour peu que le diamètre des abscisses soit gradué homographiquement, on a ici la base d’un nomogramme circulaire pour la multiplication, que voici, tourné pour que le diamètre soit vertical :
La figure est dynamique dans le sens où il est possible de changer l’échelle de $a$ et $b$, par le curseur $r$. En effet il est difficile d’échapper au tassement des graduations, soit en haut, soit en bas.
La version à imprimer est téléchargeable ci-dessous, en pdf.
Le programme Asymptote qui l’a créé est basé sur $r=\frac{10}{3}$.
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