Voici un QCM qui a plusieurs fois été donné pour évaluer le niveau logique des français ou des européens (il est extrait de cet article) :

Pour chacun des 4 arguments, considérez les informations qui vous sont fournies comme absolument vraies, et décidez laquelle des conclusions proposées est logiquement correcte.

Si Léo se gare mal, il a une amende . Léo s’est mal garé.
A. Léo a eu une amende
B. Léo n’a pas eu d’amende
C. On ne peut pas savoir


Si Léa se gare mal, elle a une amende. Léa n’a pas eu d’amende
A. Léa s’est mal garée
B. Léa ne s’est pas mal garée
C On ne peut pas savoir

Dans un casino, tous les buveurs sont fumeurs. Tous les fumeurs sont joueurs.
A. Aucun buveur n’est joueur
B. Certains buveurs ne sont pas joueurs
C. Tous les buveurs sont joueurs
D. Certains buveurs sont joueurs

Dans un casino, tous les fumeurs sont buveurs. Aucun joueur n’est fumeur.
A. Aucun buveur n’est joueur
B. Certains buveurs ne sont pas joueurs
C. Tous les buveurs sont joueurs
D. Certains buveurs sont joueurs

Le taux de bonnes réponses à la première question est largement supérieur à celui de la deuxième question. Le taux de (bonnes) réponses à la dernière question est très faible. Pourquoi [1] ?

L’apport essentiel d’Euler à la question est que ses diagrammes expliquent pourquoi les syllogismes se résolvent de telle ou telle façon. Mais son résumé est le même « algorithme » que celui cité par les encyclopédistes :

Cependant, il offre aussi une version encore plus résumée :

• Tout ce qui est dans le contenu se trouve aussi dans le contenant.
• Tout ce qui est hors du contenant est aussi hors du contenu.

On peut reconnaître respectivement une version graphique du modus ponens et une version graphique du modus tollens.

Le rêve de Leibniz a-t-il été réalisé par George Boole ? En effet, dans « the laws of thought », celui-ci a ramené le calcul propositionnel à de l’algèbre. L’implication booléenne se note A∩B=A (pour « tout A est B » ; cela correspond en fait à l’inclusion). Les travaux de Boole s’appuient beaucoup sur ceux de son contemporain Auguste De Morgan, qui fut le premier à utiliser le titre « logique formelle ». Il voulait dire par là que la résolution d’un syllogisme est une opération purement syntaxique (le rêve de Leibniz à nouveau !) alors que les sophismes sont en général de nature sémantique. Pour éviter la tentation d’interpréter un syllogisme de manière sémantique et d’oublier sa nature syntaxique, Lewis Carroll a systématiquement utilisé des exemples délirants, invitant les lecteurs dans son univers très particulier...

Le langage de programmation Prolog sert à « programmer en logique », et a été conçu pour résoudre des syllogismes. Mais avec des quantificateurs ça ne marche pas bien. Par exemple pour le syllogisme ci-dessus

• Tous les juges sont noirs ;
• tous les noirs sont des imbéciles

Dans cet interpréteur en ligne, on écrit

noir(X) :- juge(X).
imbecile(X) :- noir(X).
?- imbecile(X) :- juge(X).

Remarques : En Prolog, un prédicat comme « imbécile » est reconnaissable à ce que son nom commence par une lettre minuscule. Au contraire, X est une variable et son nom commence en majuscule. Alors la première ligne si lit « tout X est noir dès lors que X est juge » (le double-point suivi d’un trait veut dire « si »). Ce que savait le détective expulsé du tribunal, Prolog ne le sait pas :

?-imbecile(X) :- juge(X).

Parse error on line 1:
?-imbecile(X) :- juge(X).
--------------^
Expecting 'PERIOD', 'COMMA', got ':-'

Des bruits courent selon lesquels Prolog aurait reçu des menaces de certains juges, qui lui auraient téléphoné en pleine nuit pour lui dire « il y a des choses qu’il vaut mieux ne pas savoir »... Mais le message d’erreur veut surtout dire que la seule chose qu’on peut demander à Prolog est une liste de propositions élémentaires et non une implication entre elles. Mais les stoïciens peuvent venir à la rescousse en définissant l’implication par une disjonction. On peut donc sans risquer l’erreur de syntaxe, demander si par hasard il y aurait des juges non imbéciles :

?-imbecile(X), not(juge(X)).

L’absence de réponse veut dire qu’il n’y en a pas. Prolog est donc finalement d’accord avec Aristote sur ce fait : Tous les juges sont effectivement des imbéciles dans ce tribunal. mais attendez ! Et si on essayait d’avoir la liste des imbéciles pour se faire une idée ?

?-imbecile(X).

Toujours aucune réponse ! En fait, le tribunal est vide, et on a vu ci-dessus que pour Aristote, dans un tribunal vide, tous les juges sont à la fois imbéciles et intelligents. Lewis Carrol présupposait qu’il devait au moins exister un juge noir et au moins un noir imbécile pour que les prémisses aient un sens. Si le quantificateur universel est codé en Prolog par ... rien, par quoi peut-on coder un quantificateur existentiel ?

Par un exemple ! Celui-ci n’étant pas une variable, son nom doit donc commencer par une minuscule. A priori, les deux exemples ne sont pas forcément une même personne alors on va supposer qu’ils s’appellent Dupont et Durand (mais on ne peut pas exclure qu’au cours de l’enquête on apprenne qu’il s’agisse de la même personne !

juge(dupont).
noir(durand).
noir(X) :- juge(X).
imbecile(X) :- noir(X).
?-imbecile(X).
?-imbecile(dupont).
Yes.
?-imbecile(durand).
Yes.

On en sait plus maintenant : On sait que Dupont et Durand sont des imbéciles (mais ne leur dites pas, ils pourraient en prendre ombrage, et comme l’un des deux au moins est juge, ce serait risqué).

Ceci dit, peut-on exprimer en Prolog une affirmative universelle ? Bien entendu, il suffit de définir soi-même une implication. Par exemple, avec trois propositions a, b et c dont on suppose que la première implique la seconde et que la seconde implique la troisième, on peut tenter

implique(a,b).
implique(b,c).
?-implique(a,c).
No.

Ce n’est donc pas suffisant : Si on veut redéfinir l’implication, on doit expliciter les propriétés qu’on en attend :

implique(X,Z) :- implique(X,Y), implique(Y,Z).
?-implique(a,c).
Yes.

Quitte à tout redéfinir, autant le faire en CoffeeScript plutôt qu’en Prolog. C’est ce qui a été fait ci-dessus. Voici le source de la fonction de résolution automatique de syllogismes, elle ne fait que regarder quelle réponse convient selon les questions :

  resoudreSyll = ->
    solution = "On ne peut pas conclure"
    if s1 is "Tout"
      if s2 is "est"
        if s3 is "Tout"
          if s4 is "est"
            $(".sxB").text " #{B} "
            $(".sxC").text " #{C} "
            solution = "Tout #{A} est #{C}"
          else
            solution = "Le deuxième verbe n'est pas bon"
        else
          if s3 is "Aucun" and s4 is "n'est"
            $(".sxB").text " #{C} "
            $(".sxC").text " #{B} "
            solution = "Aucun #{A}s n'est #{C}"
      else
        solution = "Le premier verbe n'est pas bon"
    if s1 is "Quelque"
      if s2 is "est"
        if s3 is "Tout"
          if s4 is "est"
            $(".sxB").text " #{B} "
            $(".sxC").text " #{C} "
            solution = "Quelque #{A} est #{C}"
          else
            solution = "Le deuxième verbe n'est pas bon"
        else
          if s3 is "Aucun" and s4 is "n'est"
            $(".sxB").text " #{C} "
            $(".sxC").text " #{B} "
            solution = "Quelque #{C} n'est pas #{A}"
      else
        solution = "Le premier verbe n'est pas bon"
    if s3 is "Tout"
      if s4 is "est"
        if s1 is "Aucun"
          if s2 is "n'est"
            $(".sxB").text " #{C} "
            $(".sxC").text " #{B} "
            solution = "Aucun #{A} n'est #{C}"
          else
            solution = "Le premier verbe n'est pas bon"
        else
          if s1 is "Quelque" and s2 is "n'est pas"
            $(".sxB").text " #{C} "
            $(".sxC").text " #{B} "
            solution = "Quelque #{A} n'est pas #{C}"
      else
        solution = "Le deuxième verbe n'est pas bon"
    solution += "."
    $("#sorsyl").text solution

Premier théorème d’incomplétude

On fait deux hypothèses (tout en étant libre de les refuser si on le souhaite) :

1. l’arithmétique est cohérente (il est impossible d’y montrer un théorème et sa négation) ;
2. le principe du tiers exclu : Toute proposition qui n’est pas fausse, est vraie.

La numérotation de Gödel permet d’exprimer dans l’arithmétique, la proposition suivante : « cette proposition est indémontrable ». On peut l’analyser par disjonction des cas :

• si elle est fausse, alors il est faux qu’elle est indémontrable. Ce qui veut dire qu’elle est démontrable. Mais dans ce cas, elle est vraie puisque tout ce qui est démontrable est vrai.
• Alors elle ne peut pas être fausse : Elle est donc vraie (par le tiers exclu). Mais dans ce cas, elle ne peut être démontrée puisque sinon elle serait fausse !

ll y a donc une proposition vraie mais indémontrable en arithmétique : La proposition ci-dessus. L’énoncé complet (avec détail des hypothèses de départ) du premier théorème d’incomplétude est :

Deuxième théorème d’incomplétude

La démonstration précédente se résume à :

Supposons par l’absurde que la cohérence de l’arithmétique soit démontrable. Alors par le modus ponens, d’une démonstration de cette cohérence et de l’implication ci-dessus, on déduit la proposition « cette proposition est indémontrable ». Mais ceci signifie qu’on a réussi à démontrer quelque chose d’indémontrable. L’hypothèse de départ est donc fausse, et on a le second théorème d’incomplétude de Gödel (1931) :

Remarque : Si l’arithmétique est incohérente alors on peut y démontrer une proposition et sa négation, donc, puisque « le faux implique le vrai », on peut tout y démontrer, en particulier sa cohérence : L’arithmétique est incohérente si et seulement si on peut démontrer qu’elle est cohérente !