1. Approximation des nombres métalliques : l’idée pour approximer les nombres métalliques est de partir de la relation d’Euclide pour retrouver leurs équations caractéristiques puis, à l’aide de ces équations, de trouver leurs suites associées, puis d’approximer ces nombres à l’aide de leur suites associées et enfin de déterminer la limite de la suite de ces nombres métalliques.
2. Découvrir les propriétés des rectangles et des spirales d’argent et de cuivre.
3. Créer d’autres figures aux proportions des nombres métalliques.

L’arbre de Brocot, élaboré à la fin du XIX^e siècle, a capté l’attention de nombreux mathématiciens. Ses nœuds ont été relié à des objets mathématiques très différents : nombres rationnels positifs, intervalles de nombres réels, matrices, homographies. Ses branches ont été représentées par des séquences binaires sur l’alphabet {gauche, droite}, un lien a été établi avec le développement en fractions continues d’un nombre réel, etc. Dans ce texte nous abordons l’arbre sous un angle nouveau.

L’objet initial de ce texte est de compter le nombre des puissances de 3 inférieures à un nombre d donné et de le comparer à celui des puissances de 2 également inférieures à d.

Les nombres de la forme $n^2+n+41$ ont depuis longtemps intéressé les mathématiciens. Euler fit remarquer que pour n = 0, 1, 2, ..., 39, ils sont tous premiers. Un nombre composé est un nombre entier naturel différent de 1 qui n’est pas premier. Le travail qui suit porte sur un ensemble de nombres composés de la forme $n^2+n+r$.

On s’intéresse au dénombrement des chiffres en bases 10 et 2 du plus grand nombre premier qui a été confirmé le 3 janvier 2018.

La division euclidienne permet pour un nombre rationnel de trouver son développement en fractions continues. Nous montrons dans le texte qui suit que c’est également le cas pour une autre famille de nombres réels : les nombres irrationnels de la forme √α, lorsque α est un entier naturel non carré. En lien avec le thème précédent, nous nous intéressons aussi aux polynômes de Lagrange.

Ce texte montre l’aide que peut apporter le logiciel Xcas pour progresser vers la solution de deux problèmes du XVII^e siècle. Présentés comme des défis pour les mathématiciens de l’époque, ils peuvent, aujourd’hui, être pratiquement abordés par un élève de lycée.

Des expériences de votes autres que le scrutin uninominal ont été effectuées sur un échantillon d’électeurs, afin de voir si le mode de scrutin exerce une influence sur le résultat.

En théorie du choix social, la propriété d’Universalité stipule que les votants ne sont en aucun cas limités dans leurs préférences. À première vue, cette propriété semble être totalement indispensable à l’élaboration d’une « bonne » fonction de choix social démocratiquement viable. Cependant, nous allons voir que dans le cadre cardinal de la théorie du choix social l’Universalité pose problème. En effet, le vote cardinal implique nécessairement la mise en place pour tous les votants d’une échelle de notation unique et bornée, mais alors la méthode d’agrégation perd son Universalité.

Dans ce troisième épisode, nous nous demandons ce que donne la théorie cardinale du choix social, c’est à dire ce qu’il se passe si nous considérons que chaque individu est à même d’associer une intensité à ses préférences. Cela nous amènera à caractériser la fonction somme dans le cadre cardinal de la théorie du choix social, puis à reconsidérer le théorème d’impossibilité d’Arrow.