Modélisation de la propagation des feux de forêt

On utilise les automates cellulaires. La forêt est représentée par des « cellules » :

• les vertes : arbres,
• les blanches : rien,

puis, on allume une cellule (cellule rouge)...

• Si un arbre (cellule verte) est à « proximité directe » (au-dessus, au-dessous, à gauche ou à droite) d’un arbre en flamme (cellule rouge), à l’instant suivant, il sera en flamme.
• Si un arbre est en flamme, à l’instant suivant, il devient cendres (cellule grise).
• Si un arbre est en cendres, à l’instant suivant, il n’y a plus rien à brûler (cellule blanche).

Feuille de route :

• Comprendre et formaliser le modèle avec des automates cellulaires.
• Éventuellement réaliser une simulation.
• Influence de la proportion d’arbres dans la propagation du feu : notion du seuil de percolation...
• Un modèle mathématique peut toujours être amélioré : comment tenir compte d’autres facteurs dans le modèle ? Ex : vent, différents types de végétation, de terrain, etc.
• Que ce passe-t-il si on met d’autres règles de « transition » ? Si on travaille uniquement sur une ligne de cellules ? Si on a d’autres liens de voisinage entre les cellules ? Etc.

Bonus : question/devinette

Quel est le point commun entre :

• la propagation d’un feu de forêt,
• la propagation d’un virus informatique,
• l’évolution d’un embouteillage sur la route du littoral,
• un café expresso qui coule dans un percolateur...?

Mouvements de foule

(suite à la conférence de Juliette Venel lors du congrès 2010)

Situation : on prend une salle de cours (rectangle) avec deux issues de secours. On cherche à connaître le temps moyen d’évacuation des n élèves.

Diverses modélisations pourront être abordées : de manière discrète ou continue, avec des petites valeurs de n, avec ou sans obstacles. On pourra aussi réaliser des simulations.

Crypter et décrypter des textes : du code César... à la machine Enigma

Cryptanalyse du code :

Un outil : analyse des fréquences d’Al-Kindi. Cela marche d’autant mieux si le texte est long.

Langue française (en %) :

Feuille de route :

• Qu’est ce que César a écrit à Cléopâtre ?
• Quel est le principe et la principale « vulnérabilité » du code César ?
• Éventuellement programmer un « logiciel » de cryptage/décryptage de texte avec le code César.
• Les raffinements du code César :
  • Le code de Vigenère (Moyen-Âge) : quel est son principe ? Comment a-t-il été « craqué » ?
  • La machine Enigma (Seconde Guerre mondiale) : quel est son principe ?

Les mathématiques du billard : comprendre les déplacements et les trajectoires possibles d’une boule de billard

Quelle trajectoire une boule peut-elle suivre ?

Pour la modélisation, on considèrera un billard spécial sur lequel :

• une boule est toujours lancée sans effet,
• une boule peut continuer indéfiniment sa course.

Feuille de route :

• Expliciter les règles de déplacement d’une boule sur ce billard.
• Une boule peut-elle faire une boucle ?
• Une boule peut-elle décrire une trajectoire qui ne repasse pas indéfiniment par les même points ?
• Une boule peut-elle être lancée de manière à ce qu’elle passe par tous les endroits du billard ? Ou au contraire, qu’elle évite une zone complète ?
• Et si on jouait sur un billard triangulaire ? Hexagonal ? Que se passerait-il ?