CL1a - Les enveloppes - Présentation

Dans cette séance où l’on se propose d’utiliser la façon de compter « comme Tchou » pour calculer, une première approche est de travailler sur des objets manipulables — au moins collectivement — et non seulement dessinés sur une feuille de papier.

Dans ce court extrait, on voit la maîtresse ouvrir les enveloppes et montrer qu’elles contiennent bien le nombre d’images indiqué. Le fait de pouvoir manipuler les étiquettes des enveloppes permet aux enfants de prendre conscience du pouvoir d’anticipation que constitue le calcul en ligne : on peut vérifier, si nécessaire, par le dénombrement, le résultat du calcul, ce qui n’est pas réalisable sur un fichier.

La première séance proposée par l’enseignante s’articule autour de trois phases :
– une phase de recherche (avec les enveloppes) suivi d’une première mise en commun ;
– une phase d’entrainement sur le fichier ;
– une nouvelle institutionnalisation de l’associativité en revenant sur les enveloppes.

La séance suivante propose un petit problème (parking) permettant une première décontextualisation.

À titre indicatif, ce thème se termine par deux courts extraits de ce que peuvent faire les élèves en fin de CP.

CL1b - Travaux d’élèves et procédures

Deux types de procédures apparaissent : celles basées sur le comptage (avec appui sur la frise numérique collective (à 22 s) et celle s’appuyant sur le calcul réfléchi.

L’extrait vidéo commence par plusieurs calculs erronés liés à la difficulté de gestion du calcul et se termine (à 1 min 10 s) par la présentation par deux élèves de leur calcul réfléchi. Le premier élève ne détaille pas les premiers paquets de 10 obtenus mais s’intéresse plus à la fin du calcul (5 et 3). La seconde élève détaille parfaitement sa procédure : on voit que certains élèves tirent parti de leur connaissance de la comptine régulière et du calcul réfléchi.

Par contre les enfants qui éprouvent des difficultés à mettre en œuvre des procédures de calcul réfléchi ont rapidement une mémoire de travail (cf. extrait de Michel Fayol) débordée et se replient sur les stratégies parfaitement maîtrisées que sont le dénombrement en général.

CL1c - Première correction - Calculs oralisés

La maîtresse a déjà recueilli les différents résultats des élèves. L’extrait commence après la présentation d’une élève de son résultat (33), avec un élève qui a trouvé 54.

Cet élève commence par « fabriquer un dix » avec deux enveloppes de 5 puis énumère les 10 en comptant comme Tchou. L’interaction avec la maîtresse (« ah, après trois dix il y a cinq dix ? ») montre que l’on s’inscrit délibérément — à ce moment de la séance — dans l’énumération des 10. Cela se retrouve (à 1 min 04 s) quand elle demande « alors, ça fait combien de dix ? ».

Dans cette première activité de calcul en ligne, le « dix » est un objet intermédiaire non précisé dont la représentation est (probablement) propre à chacun, mais sur lequel tout le monde s’entend en terme de communication orale.

L’élève éprouve ensuite des difficultés à gérer l’ensemble de la collection (il oublie un 5). Puis à 1 min 55 s la maîtresse demande de calculer 5 et 3. L’élève ne répondant pas, elle reformule sa question en faisant référence aux collections organisées par un « cinq en bas trois en haut ». L’élève répond aussitôt 8.

L’attente du résultat final nécessite un résultat mémorisé (5 + 3). Tant que cette mémorisation n’est pas effective, quelle que soit la méthode utilisée, sa réactivation passe par un retour à la contextualisation initiale (ici la constellation du 8 en « cinq en bas trois en haut »).

L’activité langagière d’énumération des 10 donne directement des résultats intermédiaires (deux-dix, trois-dix...) puis le résultat final. On notera toutefois que cette pratique relève plus du « calcul sur objet » que de l’addition proprement dite. Contrairement toutefois au calcul sur objet qu’on peut observer avec les bandes quand on travaille sur les fractions, ici l’oralisation est déterminante dans la procédure. Ici le langage utilisé (la comptine de Tchou) participe à la mise en place du calcul en ligne, celui-ci restant, pendant un certain temps, essentiellement langagier.

CL1d - Deuxième correction - Écriture des calculs

Sur cet exemple, nous sommes dans l’écriture du calcul en ligne. L’élève commence par grouper les 5, puis les 10. Clairement, par cette écriture, cette élève s’affranchit du contexte matériel et son écriture devient mathématiquement opérationnelle.
Avec cette écriture, cette élève (nous insistons car ce n’est pas le cas de tous les élèves) ne calcule plus sur des objets, mais déjà sur des nombres.

Notre analyse de la suite de cet extrait est que la maîtresse semble avoir perçu dans l’aisance de l’élève une ouverture vers une analyse plus mathématique et a proposé implicitement une relation à l’écriture chiffrée du nombre en écrivant d’abord le 4 après le décompte des paquets de 10 alors que l’écriture chiffrée n’a pas encore de lien avec les notions de dizaines et d’unités.

On voit que personne n’est à l’abri d’un excès de béhaviorisme au détour d’une aisance singulière d’une élève.
Il aurait été plus judicieux d’établir, après l’écriture additive proposée par l’élève, les liens entre cette procédure et la précédente. Ces liens se construisent en effectuant une dépersonnalisation de la procédure, par exemple en demandant à ces élèves qui ont fait autrement, leur analyse de son écriture (autre exemple en CE1, choisir l’onglet A6).

CL1e - Institutionnalisation de la réorganisation des groupements

Dans cet extrait la maîtresse veut institutionnaliser une organisation de l’écriture additive. En même temps elle fait le lien entre un calcul direct sur les objets et la représentation arithmétique qu’on en fait. Il convient de garder à l’esprit que, si pour quelques élèves, le signe + est déjà un symbole arithmétique, pour d’autres, ce n’est que l’abréviation « sténographique » du « et » dans l’énumération orale des dix.

Le calcul est organisé selon un l’algorithme précis :
– l’écriture des 10 ;
– des couples de deux nombre permettant de fabriquer un dix ;
– les autres nombres.

Dans les apprentissages la mise en place d’un algorithme est oralisée dans un contexte temporel (d’abord les 10, puis...).
À cette occasion, remarquons que la décontextualisation temporelle d’un algorithme, en formation, est un réel enjeu de conceptualisation.

On remarque aussi (à 1 min 29 s) que l’écriture en ligne permet aux élèves de rentrer dans le calcul : « tu fais 5 + 3 ». Mais en réalité c’est aussi parce qu’ils sont libérés de la contrainte de l’organisation et de l’écriture que les élèves peuvent se consacrer au calcul et mobiliser plus facilement la comptine régulière et les résultats mémorisés.

Ce passage illustre l’un des enjeux du calcul réfléchi qui est l’économie de calcul.

CL2a - Présentation de l’exercice avec des fiches d’animaux

On aborde maintenant une phase d’entraînement en utilisant les exercices proposés par le fichier. Pour étayer la présentation de l’exercice et la passation des consignes, la maîtresse utilise le rétroprojecteur.

Dans le premier item, l’écriture chiffrée est déjà proposée, avec la réorganisation institutionnalisée par la maîtresse. Dans les autres items, l’organisation et l’écriture sont à la charge des élèves.

La dernière question nécessitera l’utilisation des nombres pour comparer. Rappelons qu’à ce stade de l’année, la comparaison des nombres n’est pas encore liée à la décomposition additive mais à leurs positions respectives dans la chaîne écrite de la suite des nombres.

CL2b - Premiers travaux d’élèves

Cet extrait illustre une démarche de calcul dans le cas d’écritures non organisées : généralement les élèves — presque tous — effectuent une « traduction littérale » de l’illustration proposée en une écriture additive. Celle-ci fait donc apparaître à coup sûr une inorganisation.
Les élèves semblent alors la gérer par îlot :
– repèrage des 10 effectivement écrits ;
– utilisation d’un calcul mémorisé sur les deux derniers termes.

Autrement dit, on a une perception topologique des différentes phases de l’algorithme, ce qui aboutit à une utilisation partielle de l’algorithme et donc un résultat erroné. En pratique, sur cet exercice, les élèves oublient souvent un 5.

Dans ce cas la maîtresse propose (à 55 s), une « réécriture organisée » (10 + 10 + 5 + 5 + 2).

Certains élèves cependant (à 1 min 05 s) sont dans une lecture arithmétique de leur écriture additive et savent construire des 10 avec des 5 non contigus.

CL2c - Pratiques différentes - La question de l’associativité

Dans la première partie de cet extrait, on voit une élève restituer oralement l’algorithme en deux phases : les 10 et « les petits nombres ». Le temps nécessaire au calcul rapporté par la caméra — temps réel — est dû à la gestion simultanée de la réorganisation des nombres pour calculer les additions successives. Dans son oralisation, elle exprime clairement en fait les trois phases de l’algorithme car les 5 sont des « petits nombres » comptés en premier.

Le deuxième exemple (à 44 s) illustre au contraire une difficulté significative liée à l’associativité. L’élève a écrit 10 + 5 + 10 + 5 + 2.
La présence du 10 (ici repéré en rouge) fait obstacle à l’association des deux 5 alors que l’élève sait bien que cela fait un dix mais « qu’on n’a pas le droit ».

Au CP, l’entrée dans l’écriture et sa lecture séquentielle vont interférer avec la lecture de l’écriture additive en mathématiques. En français la syntaxe dans une phrase est déterminante pour la compréhension. Dans le cas d’une écriture additive cette succession est modifiable d’où un conflit légitime si l’élève associe l’écriture additive à la syntaxe du français.

En Grande Section les élèves ont pris conscience que le cardinal d’une collection est indépendant de sa façon de la dénombrer. Pour certains élèves, l’entrée dans l’écriture semble figer une organisation particulière alors que, pour d’autres, ce n’est qu’un support au calcul réfléchi.

Ce problème de l’associativité de l’addition peut être résolu en revenant aux collections initiales (enveloppes et images) pour les réorganiser physiquement. C’est ce que fera la maîtresse dans son institutionnalisation en CL2e.

CL2d - Autres travaux d’élèves - L’associativité résolue

Dans la première illustration, l’élève commence par une application correcte des deux premiers items de l’algorithme mais oublie le troisième (les images seules).

Dans une seconde partie (à 52 s) l’élève tente de calculer à partir de son écriture non organisée selon l’algorithme attendu.
La gestion simultanée de plusieurs paramètres rend sa procédure complexe. L’intervention du maître consiste à prendre en charge une partie de cette difficulté simplement en lui demandant d’extraire visuellement de l’écriture additive le début de l’algorithme (on pointe les 10).

L’élève y arrive parfaitement et, en pointant le 5 avec le stylo (à 1 min 28 s), elle montre qu’elle connaît la suite de l’algorithme (elle montre bien les deux 5 quand le maître demande « et après ? »).

La simple attention du maître suffit ensuite pour qu’elle exprime les différentes phases de l’algorithme jusqu’à « et il manque encore un truc c’est le 2 ».
À ce moment de l’extrait, les paramètres nécessaires au calcul réfléchi sont désormais visibles, le résultat est alors donné rapidement.

La deuxième intervention est aussi une illustration de la notion d’étayage.

CL2e - Institutionnalisation de l’associativité par manipulation des enveloppes

La maîtresse ayant pris conscience des difficultés liées à l’associativité, elle va profiter de la correction du premier exercice (avec une écriture en ligne déjà rédigée) pour institutionnaliser l’associativité. Il y a dans l’illustration une pochette de 5, puis une de 10, une de 5 et 3 images, pour casser la transcription séquentielle induite par l’illustration, et s’orienter vers l’algorithme permettant un calcul plus rapide (vu en CL01e).

La maîtresse utilise les objets manipulables que constituent les enveloppes pour rendre visible la réorganisation en :
– paquets de 10 ;
– regroupement des couples permettant de faire des 10 (ici 5 et 5) ;
– les images seules (autres nombres).

La présence des objets manipulables au tableau donne à voir les mécanismes de l’associativité et permet d’installer un statut différent de l’écriture additive par rapport à l’écriture en français.

Bien entendu, en faisant prendre conscience aux élèves que dans les écritures additives, toutes les manipulations liées à la commutativité et l’associativité sont possibles, le risque est grand d’installer chez certains une représentation plus générale : « contrairement au français, dans les écritures mathématiques tout est possible ». Ce qui posera problème ultérieurement avec la soustraction. On ne peut pas échapper à ce type de phénomène, c’est inhérent à la construction du savoir.

CL2f - Correction du deuxième calcul

Le rétroprojecteur est un outil de la classe à la disposition à la fois de la maîtresse et des élèves.

Sur cette correction, l’enseignante veille au respect de l’algorithme canonique de réorganisation des nombres. Ses interventions ponctuent les différentes phases .

CL2g - Correction du troisième calcul

L’élève applique spontanément l’algorithme. La maîtresse se contente seulement de verbaliser ses propositions.

CL2h - Correction du dernier calcul

Après la mise en place de l’écriture en ligne en respectant l’algorithme, le calcul est effectué en s’appuyant sur la comptine régulière.

CL3a - Exercice sur « les places de stationnement » - Présentation

Cet exercice intervient deux semaines après la séance précédente. C’est donc l’occasion de proposer une décontextualisation de l’utilisation de l’algorithme consistant à organiser les calculs.

En réalité le contexte de la situation est expliqué un peu plus longuement que dans cet extrait (« parking », « zones », etc.).

Il aurait aussi pu être intéressant de ne pas faire explicitement référence à l’activité des enveloppes avant le travail des élèves pour vérifier s’ils s’engagent d’eux-mêmes dans une organisation des écritures favorisant le calcul.

CL3b - Difficulté d’appropriation du problème (1 min 16 s

Cet extrait traduit les difficultés qu’éprouvent certains élèves dans la résolution de problèmes.
L’élève doit avoir une représentation de la situation qui lui est proposée pour pouvoir s’engager dans la résolution et mobiliser ses connaissances.

Les premières réponses de cet élève (l’écriture A C puis le 10 10 en présence de la maîtresse) témoignent de ces difficultés.

Attachée à son objectif de décontextualisation, l’enseignante semble minimiser l’appropriation de la situation.

CL3c - Travaux d’élèves et autres dérives

À la différence du précédent, cet extrait est centré sur des élèves qui se sont appropriés la situation. D’autres difficultés apparaissent cependant, liées à la gestion du calcul.

La première élève a une démarche correcte et fournit le travail attendu. Pour la seconde, la non organisation des calcul fournit un résultat erroné (calcul des deux premiers termes probables). L’enseignante fait une référence explicite à la première phase de l’algorithme, puis s’appuie sur la comptine régulière pour amener l’élève au résultat :

La maîtresse prend trop en charge le calcul, et la suite de l’extrait montre que cela n’a pas de sens pour l’élève.

CL3d - Correction au rétroprojecteur

L’écriture de l’élève est une simple transcription de l’illustration.
C’est l’occasion pour la maîtresse de rappeler l’organisation de l’écriture consistant à commencer par les 10.

CL4a - Entraînement sur le calcul par décomposition des nombres

Dans cet extrait et le suivant, nous sommes à deux semaines de la fin de l’année scolaire. Les additions en ligne sont effectuées par décomposition additive, ce qui est bien maîtrisé par l’ensemble de la classe. Restent quelques difficultés liées à la mémorisation de certains résultats.

Comme le précise le document d’application des programmes de 2002 (p. 22) : « Dans tous les cas, si un résultat a été oublié, il doit pouvoir être reconstruit par les élèves. » La maîtresse demande à l’élève de reconstruire le résultat erroné en sortant ses cartes.

À ce moment de l’année, dans la recherche d’une plus grande autonomie, il aurait été plus judicieux d’évoquer les cartes par visualisation mentale plutôt qu’avec le support des objets.
En effet, les élèves ont beaucoup travaillé au cours de l’année, sur cette visualisation mentale par reconstitution de la vison d’autrui.

CL4b - Correction : témoignage des interférences du calcul posé chez l’enseignante

L’activité proposée découle directement de la mise en place de l’algorithme déjà évoqué : on regroupe dans un premier temps tous les 10, y compris ceux provenant d’un calcul intermédiaire (ici le 13 que l’on pense comme dix et trois) et ensuite on s’intéresse aux unités.

Lors de la correction, la maîtresse, déjà installée dans sa future présentation de l’algorithme en colonne, demande aux élèves de commencer par les unités. Cette anticipation non explicitée risque de déstabiliser les enfants et nuit au calcul réfléchi.

Malgré cela, la seconde élève reste dans la logique du calcul en ligne...

Cette interférence entre les algorithmes « en ligne » et « en colonne » est l’occasion d’insister auprès des stagiaires PE2 qu’il est important de rester dans la logique du calcul en ligne s’appuyant sur la comptine régulière (calcul réfléchi) avant de passer à la technique opératoire : le calcul en ligne n’est en aucun cas « un calcul en colonne posé en ligne ».