Forum Ma(th)nipulez !
Mercredi 10 mai 2023, 13 h-17h30, Collège Henri Matisse, Saint-Pierre
Voici les jeux à télécharger au format pdf :
ainsi que :
Edouard Lucas, extrait de « Récréations mathématiques », une mine sur les jeux mathématiques
Ces jeux ne sont pas nécessairement inédits. Mais leur portage sur html5 leur donne une nouvelle vie.
Les jeux suivants sont basés sur des colorations de graphes :
Voir aussi ce jeu d’awalé ainsi que ce jeu sur l’algèbre
Le graphe d’un jeu combinatoire est formé
L’ensemble des arêtes est la règle du jeu ; le graphe du jeu est très utile pour analyser le jeu et notamment pour trouver une stratégie gagnante : On se sert du graphe pour calculer le nimber du jeu, et le théorème de Sprague-Grundy fournit un algorithme simple pour repérer les cases gagnantes : Ce sont celles dont le nimber est nul... Pour un jeu impartial, le graphe est équivalent à un produit cartésien de jeux de Nim. Ce qui donne une grande importance à ces jeux.
Voici des versions cliquables de ces jeux : On clique sur l’arête que l’on veut voir parcourir et le pion bouge tout seul le long de l’arête :
Jeu de la soustraction | Soustrais un carré |
Cela permet des variantes où un joueur peut avoir à passer son tour selon le coup qu’il a joué :
Jeu de la soustraction | Soustrais un carré |
Autre possibilité : Modéliser le jeu de Nim (ou plutôt, son graphe) par un site internet...
Le jeu de Wythoff utilise l’échiquier comme graphe d’un jeu de Nim à deux tas, l’abscisse de la dame représentant la taille du premier tas, et son ordonnée représentant la taille du second tas. Le jeu de Welter en est la version monodimensionnelle : Par exemple un jeu de Nim avec des tas de tailles respectives 7, 2 et 4 (regarder les abscisses des pions) peut se jouer sur cet échiquier :
La règle du jeu est que chaque joueur peut bouger vers la gauche, d’autant de cases qu’il veut, un pion de son choix ; le premier joueur qui ne peut plus bouger (parce que tous les pions sont collés à gauche) perd.
Jouer à un jeu de Nim, c’est donc bouger un pion sur un graphe (celui du jeu), et il est possible de trouver la stratégie gagnante en marquant comme gagnantes ou perdantes les cases du jeu, comme l’on fait des élèves pendant la semaine des maths 2016. Voici le jeu de Nim sur trois tas de 2, sur son graphe à tester en ligne en cliquant dessus) :
Berlekamp, Conway et Guy ont trouvé que dans le jeu de Welter, on pouvait mettre les pions sur une seule ligne, comme le montre cette figure extraite de leur ouvrage :
Le jeu de Nim classique est repréenté sur la gauche, avec des tas de tailles respectives 7, 3, 3 et 5 (des pions du jeu de dames superposés) alors que la version montrée à droite n’utilise que 4 pions mais posés sur une ligne du damier. Les cases de cette ligne forment un graphe de jeu de Nim à un tas, avec la convention que chacune d’entre elles est « reliée » à toutes celles qui sont à sa gauche.
Voici le jeu de Nim précédent (3 tas de 2) sur le graphe de Welter (on peut le tester en ligne en cliquant dessus) :
Comme on le voit, le graphe de Welter du jeu est nettement moins complexe que le graphe du jeu lui-même ; ceci permet de créer des jeux combinatoires très complexes avec les graphes de la fête de la science. Par exemple, en, disposant 3 pions sur les sommets en bas à gauche de ce graphe :
Le but du jeu est d’amener les trois pions en haut du graphe, et le gagnant est celui qui bouge le dernier pion.
Comme les sommets sont petits (et nombreux), on peut imposer une règle supplémentaire, selon laquelle on n’a pas le droit de mettre le pion sur une case déjà occupée (Berlekamp, Conway et Guy appellent ce genre de Nim un antonim). Voici la version jouable en ligne d’un tel jeu de Nim sur graphe, à 3 pions (cliquer l’image pour jouer) :
Et la version « soustrais un carré » :
Ici le but du jeu est d’amener les trois pions sur les trois dernières cases, un pion par case ; et le premier qui ne peut plus bouger de pion a perdu.
On peut, au contraire, vouloir que plusieurs pions puissent être sur une même case (Berlekamp, Conway et Guy parlent de synonim), et même imposer comme condition de sortie d’une case, que celle-ci soit suffisamment peuplée : On obtient alors un réseau de Petri qui n’était, jusqu’ici, pas considéré comme un jeu (mais il n’est pas déterministe).
Un exemple de jeu combinatoire relativement simple est celui dit « du fer à cheval » :
Et un jeu similaire, recommandé par Édouard Lucas (pour les enfants) parce que plus complexe donc plus intéressant ; là aussi il s’agit d’un plateau de jeu à manipuler à deux, en ligne :
Le jeu suivant n’était pas connu d’Édouard Lucas puisqu’il a été inventé en 2016 (le jeu, pas Édouard Lucas) ; sa créatrice étant âgée de 6 ans, a donc dessiné un graphe à 6 ans, ce qui tend à montrer qu’on peut percevoir les lignes à cet âge. Le jeu est trop récent pour qu’on en connaisse une stratégie gagnante :
Pour jouer, cliquer sur l’image ci-dessus ; on joue à deux joueurs sur une seule tablette, chacun son tour. Un plateau de jeu plastifié sera préparé pour la fête de la science 2016.
Pour jouer un peu, voici une version html5 du célèbre jeu de Mastermind, dans une version spéciale pour daltoniens :
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De par sa simplicité, le jeu alquerkonane peut s’analyser avec des outils classiques comme le parcours du graphe des configurations, le minimax sur l’arbre du jeu, des variants, invariants et heuristiques et même l’IA
4 jeux sérieux portant sur la divisibilité sont présentés dans cet article : Chomp, où on divise, Juniper Green, où l’on multiplie aussi, le jeu aliquote, où on soustrait des diviseurs et divalea où l’on compte les diviseurs.
Présentation des graphes de l’IREM et de quelques activités auxquelles ils se prêtent.
Berlekamp, Guy et surtout Conway ont trouvé un moyen de représenter les nombres (finis, infinitésimaux ou infinis) par des jeux combinatoires. Le logiciel Cgsuite est une sorte de calculatrice pour ces jeux.
Des puzzles où il manque des pièces, exprès pour qu’on puisse glisser les pièces restantes, mènent à d’intéressantes spéculations sur les permutations et la résolution de problèmes.
Plusieurs jeux en apparence différents peuvent en réalité se révéler équivalents (graphes des jeux identiques). On va voir ici deux variantes du jeu icosien qui est un jeu à un seul joueur inventé au XIXe siècle.
Description des jeux de Nim avec pion, et des jeux de poursuite.
Curvica est un puzzle de 24 pièces publié par l’APMEP. Il offre une richesse intéressante à explorer en classe, pour consolider les notions d’aire périmètre et symétrie en début de collège mais aussi sur le plan logique ou d’un point de vue arithmétique pour affiner des anticipations de début de résolution.
On peut jouer à des jeux de type Nim (ou équivalents) sur un échiquier.
Jeu basé sur des matrices binaires, facile à implémenter en html5.
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Mercredi 10 mai 2023, 13 h-17h30, Collège Henri Matisse, Saint-Pierre
Dans un site très personnel, Olivier Sicard nous offres quelques « délires » de mathématiques, algorithmique et programmation. Entre autres pépites, on découvrira le Rubix-Tore, la loi normale asymétrique, la théorie du choix social et le dessin à l’aide des séries de Fourier.
Après Elwyn Berlekamp l’année dernière, c’est au tour du centenaire Richard Guy et de l’immense John Conway. Ce document de Richard Guy (une mise en garde contre le raisonnement inductif) montre bien le style unique de son auteur, en plus d’être une mine de ressources pour des exercices. Conway, outre son jeu de la vie, a créé des dizaines de jeux, dont Sprouts, très populaire dès le CP.
C’est une brève de MathemaTICE
La question 4b de l’exercice 3 du bac S Amérique du Nord ne pouvait être résolue sans utiliser Python.
Elwyn Berlekamp, connu des lecteurs de ce site pour son jeu des interrupteurs, était un spécialiste du jeu de Go ainsi que de la Pipopipette, d’Édouard Lucas que Berlekamp admirait énormément.
Une nouvelle notation sera pratiquée à partir de la session 2018 pour les algorithmes au bac. Elle est décrite avec de nombreux exemples, ici.
On sait bien que Nicolas Bourbaki n’était pas le nom d’une personne mais le pseudonyme d’un groupe. L’équivalent en informatique théorique est Claude Livercy, auteur de la théorie des programmes. Roger Mohr était un des membres de Claude Livercy.
Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.
Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.
Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
– http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
– http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
– http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr
Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.
Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.