Sous CaRMetal, il faut ouvrir une nouvelle figure 3D pour bénéficier des macros spécifiques à la géométrie dans l’espace. Alors l’usage de la macro « coordonnées 3D » permet de construire successivement les points A, B, C, D et E :

Pour la suite, on a gommé les constructions afin de ne voir que la partie de la construction intéressante.

Question 1

La perspective cavalière conservant l’alignement, il suffit d’utiliser l’outil « test d’alignement » de CaRMetal pour conjecturer l’éventuel alignement de A, B et C. Pour la nature du triangle, CaRMetal n’étant pas vraiment un logiciel de géométrie dans l’espace [1], on se doit après avoir dessiné le triangle ABC, de le faire tourner dans tous les sens avec le clic-droit-glisser pour voir quelle forme il a :

Question 2

La perspective cavalière conserve aussi les barycentres, donc on peut

• utiliser la macro « point pondéré » (dans « barycentres ») pour affecter les masses 1, -1 et 1 à A, B et C
• utiliser la macro « barycentre de trois points » pour construire le barycentre de A(1), B(-1) et C(1) [2] :

Question 3

En représentant le plan (ABC) par le quadrilatère ABCD et la droite (DE) par le segment [DE], on peut voir l’angle droit en faisant tourner la figure ci-dessous :

Question 4

Problème : Il n’y a pas d’outil « sphère » dans CaRMetal : Il va falloir en construire une approximation polyédrale avec un CarScript

var r=2*Math.sqrt(3);
var p=Math.PI,n=10,h=0.9;
for (i=0; i<n; i++){
for (j=0; j<n; j++){
x=Math.round(r*1000*Math.cos(2*p*i/n)*Math.sin(p*j/n))/1000;
y=Math.round(r*1000*Math.sin(2*p*i/n)*Math.sin(p*j/n))/1000;
z=Math.round(r*1000*Math.cos(p*j/n))/1000;
e=Point("x(E)+_x*(x(X)-x(O))+_y*(x(Y)-x(O))+_z*(x(Z)-x(O))",
"y(E)+_x*(y(X)-y(O))+_y*(y(Y)-y(O))+_z*(y(Z)-y(O))");
s=e;
x=Math.round(r*1000*Math.cos(2*p*(i+h)/n)*Math.sin(p*j/n))/1000;
y=Math.round(r*1000*Math.sin(2*p*(i+h)/n)*Math.sin(p*j/n))/1000;
z=Math.round(r*1000*Math.cos(p*j/n))/1000;
e=Point("x(E)+_x*(x(X)-x(O))+_y*(x(Y)-x(O))+_z*(x(Z)-x(O))",
"y(E)+_x*(y(X)-y(O))+_y*(y(Y)-y(O))+_z*(y(Z)-y(O))");
s=s+","+e;
x=Math.round(r*1000*Math.cos(2*p*(i+h)/n)*Math.sin(p*(j+h)/n))/1000;
y=Math.round(r*1000*Math.sin(2*p*(i+h)/n)*Math.sin(p*(j+h)/n))/1000;
z=Math.round(r*1000*Math.cos(p*(j+h)/n))/1000;
e=Point("x(E)+_x*(x(X)-x(O))+_y*(x(Y)-x(O))+_z*(x(Z)-x(O))",
"y(E)+_x*(y(X)-y(O))+_y*(y(Y)-y(O))+_z*(y(Z)-y(O))");
s=s+","+e;
x=Math.round(r*1000*Math.cos(2*p*i/n)*Math.sin(p*(j+h)/n))/1000;
y=Math.round(r*1000*Math.sin(2*p*i/n)*Math.sin(p*(j+h)/n))/1000;
z=Math.round(r*1000*Math.cos(p*(j+h)/n))/1000;
e=Point("x(E)+_x*(x(X)-x(O))+_y*(x(Y)-x(O))+_z*(x(Z)-x(O))",
"y(E)+_x*(y(X)-y(O))+_y*(y(Y)-y(O))+_z*(y(Z)-y(O))");
s=s+","+e;
SetHide(s,true);
u=Polygon(s);
}
}

La figure produite est la suivante, qui permet de conjecturer la position relative du plan (représenté ici par un polygone) et de la sphère :