Diviser 900 par 8

Avec la division de fer

🍐On veut partager 900 poires entre 8 militaires. Combien chaque soldat aura-t-il de poires ? Combien restera-t-il de poires après le partage ?🍐

On pose les opérandes sur l'abaque de Gerbert, en commençant par le diviseur 8, en haut :

Mais en plus, on met tout en haut le complément à 10 du diviseur : comme 8+2=10 on met 2. C'est la différence entre 8 et 10, d'où le nom de « méthode par différences » qu'on donne parfois à cet algorithme. Gerbert décrivait ce 2 comme differentia divisoris a singulari ad decenum : la différence entre le diviseur et 10.

On utilisera parfois le diviseur lui-même et parfois la différence. L'idée est de diviser par 10 (parce que c'est plus facile) puis de corriger le tir parce que le quotient par 10 est plus petit que le quotient par 8.

La méthode ne se limite pas au cas où le diviseur est plus petit que 10, en fait tout ce qu'il faut c'est que le diviseur s'écrive avec un seul chiffre. Par exemple la même méthode peut s'utiliser pour diviser par 80 (on divise par 100 et on multiplie par 20), par 800 (on divise par 1000 et on multiplie par 200), etc.

Ensuite on pose le dividende 900 au milieu de l'abaque :

Diviser 900 par 10 se fait en recopiant le diviseur, décalé, en bas :

Dans la division d'or, on aurait diminué le reste par le produit du diviseur 8 et du quotient partiel 90. Dans la division de fer, on va multiplier 90 par la différence 2, puis ce produit va remplacer le reste.

En effet, comme le remarquait Chasles, 900-8×90 = 900 - (10-2)×90 = 900-10×90+2×90 = 2×90 = 180

Comme prévu, on n'a pas assez divisé 900 pour qu'il ne reste plus rien dans la colonne des centaines. On recommence donc comme au début, en divisant cette fois-ci 100 (partie des 180) par 10 (puisqu'on divise par 10 et pas par 8) :

Puis, comme précédemment, on multiplie le quotient partiel 10 par la différence 2, le produit remplaçant les 100 :

Avant de continuer, on purge le reste : 80+20=100

On voit que la division de fer est plus lente que la division d'or, puisqu'avec la division d'or, à chaque itération, le reste comporte un chiffre de moins. Ici, on a déjà effectué 2 itérations et le reste s'écrit toujours avec 3 chiffres : 100.

On divise donc 100 (le reste actuel) par 10 (pas par 8 puisqu'on utilise la division de fer) :

On multiplie les 10 ainsi obtenus par la différence 2, pour avoir 20 :

Puis une dernière itération : on divise 20 par 10 (c'est le principe de la division de fer, diviser par plus que 8 parce que c'est plus facile de diviser par 10, que par 8) :

Puis on multiplie ces 2 par la différence 2 :

Comme 4 est plus petit que 10, on a fini avec la division de fer, on passe à la division d'or pour la dernière étape. Mais 4 est aussi plus petit que le diviseur 8, on a terminé la division. Le reste de la division est 4, et le quotient s'obtient en « purgeant » le bas de l'abaque :

Chaque militaire aura donc 112 poires, et il restera 4 poires en commun.

Adélard de Bath conseille de vérifier ce résultat en multipliant 112 par 8 (par exemple avec l'abaque de Gerbert ; on trouve 896) puis en ajoutant le reste 4 : 896+4 est effectivement égal au dividende 900.