On a longtemps confondu vérité et preuve en mathématiques en ne considérant comme vrai que ce que l’on avait canoniquement prouvé. « Canoniquement », c’est-à-dire suivant un certain nombre de règles de déduction formelles (syllogismes, raisonnements par l’absurde, raisonnements par analyse-synthèse, etc.) et en partant d’un nombre restreint de postulats généralement évidents pour l’intuition.

L’exploration et explicitation de ces vérités matérielles de base ainsi que des règles formelles d’inférence s’est particulièrement affinée entre la fin du XIX^e siècle et la première moitié du XX^e en s’enrichissant du couple de catégories symbolique-sémantique.

Prenant acte de ce couple de catégories, Kurt Gödel a su construire un énoncé mathématique concernant les nombres entiers qui est vrai, mais qui ne peut être mécaniquement déduit en partant des axiomes de base et en utilisant les règles d’inférences classiques de l’arithmétique.

En nous inspirant du travail éclairant de Raymond Smulyann, nous présentons ici, analogies et exemples à l’appui, quelques-uns des schèmes permettant de construire cet énoncé vrai et indémontrable.

Notre travail vise essentiellement à donner matière aux professeurs, tant de mathématiques que de philosophie, pour saisir les originalités de la construction de cet énoncé. Chacun consultera avec profit les parties 1 et 2 de ce travail. La partie 3 s’attache à un morceau plus technique de la preuve et requiert de bonnes bases en logique symbolique, discipline plus familière aux professeurs de mathématiques.

Nous renvoyons qui voudrait approfondir les enjeux épistémologiques en lien avec le théorème de Gödel au livre pluriel d’Ernest Nagel et coauteurs.

Références

[1] Raymond Smullyan, Les théorèmes d’incomplétude de Gödel. Dunod, 2000.
[2] Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach. Les brins d’une guirlande éternelle. Trad. fr. de Jacqueline Henry et Robert French. Dunod, 1979.
[3] Ernest Nagel, James R. Newman, Kurt Gödel, Jean-Yves Girard, Le Théorème de Gödel. Seuil, 1997.