Une probabilité est un nombre [1] : Cette phrase concerne l’ontologie (informatique) des mathématiques, comme celles où figure le verbe « être ». Or le fait de savoir qu’une probabilité est un nombre permet immédiatement de commencer à résoudre certains problèmes sur les probabilités :

• Comme une probabilité est un nombre, elle a vocation à être calculée.
• Comme un évènement n’est pas un nombre, on ne doit pas confondre un évènement avec sa probabilité, en particulier ne pas écrire de signe d’égalité entre les deux : Remplacer E=0,4 par p(E)=0,4.
• Si des nombres interviennent dans la description d’un évènement, c’est qu’il y a une variable aléatoire [2]. Par exemple, il ne faut pas confondre P(X=4) avec P(X)=4...
• On peut comparer des probabilités, ceci provient aussi de leur nature numérique.

Bref, lorsqu’un élève trouve un résultat supérieur à 1 alors qu’on lui demandait de calculer une probabilité, il n’a pas conscience que le résultat est aberrant, soit parce qu’il l’a exprimé en pourcentage, soit parce qu’il a oublié (ou jamais vraiment appris) qu’une probabilité est un nombre...

Algèbre

Qu’est-ce que c’est qu’une équation ?

Selon la théorie du mouvement dans les formules, une équation est une expression dont la racine (de l’arbre syntaxique) est constituée d’un signe d’égalité. Néanmoins, il vaut mieux insister sur la distinction entre équation (un problème basé sur l’égalité entre deux expressions) et expression (informatique) (les deux membres de l’équation en sont) [3]. Ce qui conduit alors à ces deux définitions associées :

• Une équation est un problème posé sous la forme d’une égalité entre expressions où interviennent des inconnues ;
• Résoudre l’équation, c’est lister toutes ses solutions, c’est-à-dire les valeurs que doivent prendre les inconnues pour que l’égalité entre les deux membres soit effective.

Pour résoudre une équation, on utilise des techniques différentes selon le degré de celle-ci : Typiquement on développe si l’équation est du premier degré, on factorise sinon [4]. Or justement, le verbe « factoriser » ramène encore à des questions de nature ontologique, comme celle-ci, menant souvent à des statistiques surprenantes : « L’expression f(x) est-elle une somme, un produit ou un quotient ? »

La question sous-entend, d’une part, que l’expression n’est pas une fonction (comme dans sin(3x+5) ou dans (3x+5)², etc), d’autre part, qu’une différence est un cas particulier de somme. L’intérêt de cette question est multiple :

• la méthode de résolution de l’équation f(x)=0 dépend de la forme de f ;
• « factoriser » sous-entend « transformer en produit » ... à condition de savoir ce que signifie le mot facteur (mathématiques) !
• « développer » sous-entend « transformer en somme », et simplifier les termes ; pour cela il na faut pas confondre « terme » et « membre » !
• On ne dérive pas une somme comme on dérive un produit, un quotient ou une fonction du type f(u).

Or les statistiques (dans plusieurs classes) sont rarement unanimes : Une fonction comme 2×x+3 est parfois bien décrite comme une somme, mais souvent aussi comme un produit. Au contraire (x+2)(x+6) est parfois [5] décrite comme une somme [6]. Pour chaque réponse possible, il est intéressant de continuer la conversation en demandant

• à ceux qui ont répondu que c’est une somme, quels sont ses termes ;
• à ceux qui ont répondu que c’est un produit, quels sont ses facteurs ;
• à ceux qui ont répondu que c’est un quotient, quels sont ses numérateur et dénominateur ;
• à ceux qui répondent que c’est une fonction, sur quelle expression elle porte.

Ceci permet de vérifier que ceux qui ont donné la bonne réponse, ne l’ont pas fait par hasard...

Voici des questions ontologiques vraiment difficiles :

1. Qu’est-ce que c’est qu’une expression [7] ?
2. Quelle est la différence entre expression et fonction ?
3. Quelle est la différence entre fonction et algorithme ?

Toute personne trouvant une réponse simple à l’une de ces questions, est invitée à la laisser en commentaire en bas de cet article.

Géométrie

La géométrie est riche en confusions de langage qui mènent à un grand flou ontologique. Rien que le mot « hauteur » est significatif :

• Lorsqu’on dit que l’orthocentre est l’intersection des hauteurs, les hauteurs sont des droites (concourantes) ;
• La hauteur est parfois aussi un segment...
• ... ou la longueur de celui-ci (donc un nombre !) ; par exemple quand on dit « base fois hauteur sur deux »...
• Dans un parallélogramme, vue comme une droite, la hauteur n’est nullement unique...

Idem pour les médianes, qui sont des droites ou des segments lorsqu’elles se coupent en le centre de gravité, des nombres lorsque ledit centre de gravité se trouve aux deux tiers de la médiane, ou lorsqu’on parle de série statistique.

Au fait, qu’est-ce que le milieu d’un segment ? Ontologiquement parlant, c’est un point. Mais lorsqu’on demande à un lycéen « typique » ce qu’est le milieu d’un segment, au lieu de répondre ce que c’est, il va en général donner la définition suivante : « Le milieu d’un segment, c’est sa moitié ». Il y a là une confusion de nature ontologique [8], liée à la confusion entre un segment (un trait) et sa longueur (un nombre). La définition correcte serait « le milieu d’un segment divise celui-ci en deux segments égaux (de même longueur) », ou « la distance entre le milieu et une des extrémités du segment est la moitié de la longueur du segment ».

Et où est le milieu du segment initial ? Dans le premier segment ou le second ?

Une solution à ce problème topologique est le Compactifié d’Alexandrov, consistant à coller les deux bouts en un seul ; le segment devient alors un cercle, et on n’a pas à parler des « deux bouts d’un cercle » [9]. Au fait, qu’est-ce que c’est un cercle ? Poser la question à des élèves qui viennent d’entrer en Seconde, est riche d’enseignements... La réponse « un cercle est une ligne » ou « un cercle est une courbe » est satisfaisante, et aide à répondre correctement à la question « quelle est l’aire d’un cercle de rayon 16 ? » [10] ; mais pour des anciens collégiens fraîchement devenus lycéens, une droite n’est, elle, pas une courbe. De même qu’un carré n’est souvent pas considéré comme un rectangle, jusqu’à la vérification que le carré satisfait la définition du rectangle.

Algorithmique

Algobox exige que toutes les variables soient déclarées en préliminaire, en précisant leur type. Ce qui contribue à rendre Algobox « verbeux », mais également à son succès [11]. En Python, on obtient le type d’une variable avec l’instruction type :

a = 2
print(type(a)) #répond "int" soit "entier"
print(type(a=2)) #message d'erreur
print(type('a=2')) #répond "str" soit "string" ou "chaîne de caractères"
print(type(a==2)) #répond "bool" ou "booléen"
print(a==2) #répond "True" 
print(a is 2) #idem, en plus parlant

Python est un langage objet, ce qui permet de multiplier les types ad libitum. Par exemple, un point peut être représenté comme un « tuple » de longueur 2 (abscisse,ordonnée). Mais un vecteur aussi. On peut donc utiliser les vecteurs comme des points, pour faire des calculs sur des points :

from turtle import *
p=Vec2D(2,1)
q=Vec2D(4,3)
goto(p)
print(distance(q))

print(abs(q-p))

from math import *
print(hypot(4-2,3-1))

• Qu’est-ce que c’est qu’un point ? Une figure géométrique invisible ou deux nombres ?
• Qu’est-ce que c’est qu’un vecteur ? Un point [12] ou deux points ? Ou deux nombres ?
• Qu’est-ce que c’est qu’une suite, sinon un vecteur de dimension infinie ?
• Qu’est-ce que c’est qu’un complexe ? Une matrice ? une similitude ? Un nombre ? Un point ? Un vecteur ? La question est ... complexe !