Épreuve pratique 2009, sujet 122

vendredi 6 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Calcul des sommes

Pour calculer la somme des puissances de 3, on initialise une variable somme à zéro, puis au sein d’une boucle, on lui additionne successivement les puissances de 3 :

/*Programme tp 122a
*/
var somme=0;
for(n=1;n<=30;n=n+1){
	somme=somme+Math.pow(3,n-1);
	Println(n+":"+somme);
}

L’affichage produit les valeurs suivantes des sommes [1] :

n Un
1 1
2 4
3 13
4 40
5 121
6 364
7 1093
8 3280
9 9841
10 29524
11 88573
12 265720
13 797161
14 2391484
15 7174453
16 21523360
17 64570081
18 193710244
19 581130733
20 1743392200
21 5230176601
22 15690529804
23 47071589413
24 141214768240
25 423644304721
26 1270932914164
27 3812798742493
28 11438396227480
29 34315188682441
30 102945566047324

Sommes modulo 2, 3, 7 et 13

En JavaScript, le reste d’une division euclidienne s’obtient par l’opération « modulo » notée par le symbole « % ». La modification du script précédent pour avoir les restes euclidiens voulus est donc la suivante :

/*Programme tp 122b
*/
var somme=0;
for(n=1;n<=30;n=n+1){
	somme=somme+Math.pow(3,n-1);
	Println(n+":"+somme%2+","+somme%3+","+somme%7+","+somme%13);
}

Ce script permet d’obtenir (sans tableur !) le tableau suivant :

n 2 3 7 13
1 1 1 1 1
2 0 1 4 4
3 1 1 6 0
4 0 1 5 1
5 1 1 2 4
6 0 1 0 0
7 1 1 1 1
8 0 1 4 4
9 1 1 6 0
10 0 1 5 1
11 1 1 2 4
12 0 1 0 0
13 1 1 1 1
14 0 1 4 4
15 1 1 6 0
16 0 1 5 1
17 1 1 2 4
18 0 1 0 0
19 1 1 1 1
20 0 1 4 4
21 1 1 6 0
22 0 1 5 1
23 1 1 2 4
24 0 1 0 0
25 1 1 1 1
26 0 1 4 4
27 1 1 6 0
28 0 1 5 1
29 1 1 2 4
30 0 1 0 0

Restes modulo 91 et 182

Le script précédent est aisément modifié en le suivant :

/*Programme tp 122c
*/
var somme=0;
for(n=1;n<=30;n=n+1){
	somme=somme+Math.pow(3,n-1);
	Println(n+":"+somme%(7*13)+","+somme%(2*7*13));
}

Le tableau obtenu, ci-dessous, aide à faire les conjectures :

n modulo 91 modulo 182
1 1 1
2 4 4
3 13 13
4 40 40
5 30 121
6 0 0
7 1 1
8 4 4
9 13 13
10 40 40
11 30 121
12 0 0
13 1 1
14 4 4
15 13 13
16 40 40
17 30 121
18 0 0
19 1 1
20 4 4
21 13 13
22 40 40
23 30 121
24 0 0
25 1 1
26 4 4
27 13 13
28 40 40
29 30 121
30 0 0

[1] Les tableaux de cet article, au format spip, ont été engendrés par CaRMetal sous JavaScript avec une modification des scripts ci-dessus


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