Introduction du produit scalaire à partir du travail d’une force

Jean-Claude Lise

Parmi les nombreuses approches permettant d’introduire le produit scalaire, celles prenant appui sur la notion intuitive de travail d’une force en physique offrent un cadre concret aux élèves. D’autre part, il est avantageux de choisir une définition naturellement intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs pour éviter dès le départ des surcharges inutiles. L’activité propose d’allier ces deux choix didactiques par le biais d’un logiciel de construction tel que Cabri Géomètre ou GéoplanW.

Après avoir évoqué les notions de travail moteur, résistant ou nul, il s’agit de faire des conjectures sur le comportement du nombre $AB^2 + AC^2 - BC^2$ à l’aide d’un logiciel de géométrie et de conclure à une certaine concomitance.

Le point de départ est la situation où la contribution de la force $\overrightarrow{AC}$ au déplacement de A vers B est nul ; on a alors immédiatement $AB^2 + AC^2 - BC^2 = 0$. Il devient alors naturel d’observer le comportement de $AB^2 + AC^2 - BC^2$ dans d’autres situations. Avec les logiciels, on s’aperçoit rapidement que $AB^2 + AC^2 - BC^2$ est un bon candidat pour exprimer le travail d’une force par un calcul. On établit ainsi une conjecture entre travail — moteur ou résistant — et signe de $AB^2 + AC^2 - BC^2$. Le facteur 2 qui apparaît dans l’activité peut justifier la division par 2 ! La suite du cours est classique et bien balisée.

Documents à télécharger : feuille d’activité (en formats doc et pdf) et fichiers de géométrie dynamique zippés (Cabri Géomètre et GéoplanW) pour aider à la conjecture.

Introduction du produit scalaire par une propriété fondamentale d’invariance

Nordine Bernard Toumache

Je voudrais présenter ici ma façon d’aborder le chapitre « produit scalaire dans le plan » du programme de première S. Mon souci est d’essayer de ne rien admettre sans soulever de difficulté. Je crois que, quand on en a les moyens, on doit procéder ainsi. On est assisté par le logiciel de géométrie Cabri Géomètre chargé de mettre en évidence la propriété autour de laquelle s’articule ce cours, celle qu’on a appelé plus loin « propriété fondamentale ».

Ce qui suit s’inscrit dans la progression du programme de première S et s’adresse à un enseignant de cette classe qui devrait pouvoir le présenter en deux heures : les élèves ont vu la définition d’un angle orienté, celles des sinus et cosinus et des coordonnées polaires et leur lien avec les coordonnées cartésiennes, ils connaissent aussi les relations du type : $\cos (\theta+\pi/2)=-\sin \theta$, etc.

L’animation Cabri décrite dans le document à télécharger, faite en six figures, est en fait une seule et même figure qu’on a manipulé de plusieurs façons : celles où le repère reste orthonormal et où on constate alors la validité de la propriété qui nous intéresse, et celles où le repère ne reste pas orthonormal et où on constate la non validité de ladite propriété.

À signaler que nombreux sont ceux qui voient dans le repère de la figure 5 un repère orthonormal : il est orthonormal par rapport à l’unité qui le définit, mais pas par rapport à la précédente ; c’est-à-dire que si le repère précédent est considéré orthonormal, celui-ci ne l’est pas.