Voici un « script » permettant d’enregistrer dans la mémoire de Sofus, les trois matrices G, D et I :

Note : Ces trois matrices n’auront pas le même statut dans la suite : G et D seront considérées comme des matrices constantes comme dans l’expression « multiplier par G », alors que la matrice I est variable : C’est elle qui sera multipliée par G ou D à chaque étape. La matrice I ne restera donc pas la matrice identité tout au long du script (elle ne restera même pas une matrice carrée tout au long de certains scripts).

Voici un script permettant de la calculer (ce qui a été fait en rouge ci-dessus) :

Comme le numérateur de la fraction est la somme des éléments de la première ligne de M et le dénominateur est la somme des éléments de la seconde ligne de M, ce sont les éléments du produit de M par le vecteur (1 ;1). Si on dessine l’arbre de Stern-Brocot avec les fractions :

puis on ajoute la multiplication par le vecteur :

et enfin la division de l’abscisse de ce vecteur par son ordonnée :

on obtient l’arbre de Stern-Brocot en version fractions. Ce n’est pas le choix de l’énoncé mais il lui est équivalent.

Le trajet « gauche-droite-gauche » revient à multiplier I successivement par G, par D puis par G, et ensuite on le multiplie par le vecteur (1 ;1) pour avoir le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue :

Celle-ci est donc bien égale à 3/5.

La différence est notée Δ parce que c’est un déterminant (mathématiques). Sofus permet de vérifier expérimentalement que ce déterminant est toujours égal à 1 :

En développant d(a +c)−c(b +d) on constate qu’il est égal à ad-bc :

Par conséquent si le premier est égal à 1, le second aussi, puisqu’ils sont égaux entre eux. Comme le déterminant de la matrice identité est égal à 1, on peut montrer par récurrence sur le parcours de l’arbre, qu’il en est de même pour toutes les matrices de l’arbre.

L’expression développée au (a) est justement le déterminant de M×G.

Ce résultat se généralise à un résultat hors programme : Le déterminant du produit de deux matrices, est égal au produit des deux déterminants. Or ici on multiplie M par G dont le déterminant est 1×1-0×1=1 et cette multiplication par G ne change donc pas le déterminant. Idem pour la multiplication par D, dont le déterminant est aussi égal à 1. Ce sont les résultats admis dans la suite de l’exercice.

Du fait que ad-bc=1, il résulte d’après le théorème de Bachet-Bézout que a et c sont premiers entre eux. Or a et c sont les numérateur et dénominateur d’une fraction de l’arbre de Stern-Brocot. Cette fraction est donc irréductible.

En modifiant le script précédent pour qu’au lieu d’afficher « gauche », on aille à gauche, on obtient l’affichage suivant :

Gauche
4/3
Droite
1/3
Gauche
1/2
Gauche
1

Ce qui correspond au tableau suivant :

On peut gonfler les branches de l’arbre comme celles d’un baobab, jusqu’à ce que les branches aient la forme de cercles. On obtient alors les cercles de Ford, qui sont tangents entre eux mais aussi à l’axe des abscisses :

Voici le script en CoffeeScript ayant fait ce dessin :

fs = nouvel Ensemble []
pour p dans [0..840]
    f = nouvelle Fraction p, 840
    fs.ajoute f
pour x dans fs.support
    dessineCercle 10+x.n/x.d*400,400-200/x.d/x.d,200/x.d/x.d,'red'

Il est à utiliser avec alcoffeethmique.

On voit, pour l’exemple de 4/7, que le trajet

• commence par le disque 1 en haut à droite (départ commun à toutes les fractions, puisque c’est la racine de l’arbre) ;
• part vers la gauche pour le disque 1/2 en bleu (c’est le seul « grand » disque tangent à 1 que l’on voit sur cette partie de la figure) ;
• part ensuite vers la droite pour la fraction 2/3 (en bleu) ;
• puis vers la gauche à nouveau pour la fraction 3/5 (en vert) ;
• et enfin à nouveau vers la gauche pour aboutir à la fraction 4/7 (également en vert).

On peut donc dessiner les parcours de l’arbre par des ensembles de cercles tangents entre eux :

Les cercles de Ford pourraient s’inscrire dans les nouveaux programmes de Seconde, où il est question de programmation mais aussi de tangente à un cercle : Ces cercles sont en effet non seulement tangents entre eux, mais aussi tous tangents à l’axe des abscisses, comme le montre cet autre graphique où on en a représenté plus, qui suggèrent l’axe des abscisses :

Du point de vue de la géométrie hyperbolique dans le demi-plan de Poincaré, ce sont donc des horicycles tangents entre eux. Voir comment Jos Leys fait de l’art avec les cercles de Ford. Mais voici une variante où les cercles de Ford, vus ci-dessus, sont transformés en sphères de Ford :

Voici le script ayant construit l’image ci-dessus, écrit en Povray :

#version 3.7;
#include "colors.inc"
camera {
 location  <0.0, 2.0, -1.0>
 direction 1.5*z
 right     x*image_width/image_height
 look_at   <0.5, 0.0,  0.0>
}
light_source {
 <0, 0, 0>
 color rgb <1, 1, 1>
 translate <-30, 10, -30>
}
sky_sphere {
 pigment {
 color <1,1,1>  }
}

#declare N = 66*2520;

#declare n = 0;
#while(n<=N)

#declare a = n;
#declare b = N;
#while(b>0)
	#declare c = b;
	#declare b = mod(a,b);
	#declare a = c;
#end

sphere {
 <2*n/N,0,a/N*a/N>, a/N*a/N
 texture {
   pigment {
     color Blue
   }
     finish {
        ambient .002
        diffuse .6
        specular .75
        roughness .001
        reflection .02
     }
 }
}

#declare n=n+1;
#end