Première épreuve
- Le premier problème traite des nombres complexes : il s’agit dans un premier temps de démontrer l’inégalité triangulaire et son cas d’égalité. Deux applications suivent, avec un problème d’optimisation puis un problème de géométrie dans le triangle : déterminer le point de Fermat d’un triangle.
- Le second problème traite de la convergence des suites de nombres réels, en particulier la convergence de suites monotones, puis, il est question de la convergence au sens de Cesàro. En fil rouge, les résultats sont utilisés dans la recherche d’équivalents.
Au fil du sujet, les personnages rencontrés...
Fermat
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Pierre de Fermat (début 17-ième - 1665) est un magistrat et mathématicien français. Il s’intéresse également à la poésie, aux langues anciennes et à la physique. il est connu notamment en théorie des nombres pour ses « théorèmes de Fermat » dont le dernier n’a été démontré qu’en 1994. Ernesto Césàro (1859 - 1906) est un mathématicien italien ayant contribué à la géométrie différentielle et à la théorie des séries infinie. |
Cesàro
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| Sujet | Corrigé |
Sujet 1 - CAPES 2015
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Corrigé 1 - CAPES 2015
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Un exemple de démonstration astucieuse des questions II.1 et II.2 de la partie I.A, proposée par Frédéric Paul, enseignant à Metz :
Autre correction II.1 et II.2
Seconde épreuve
- Le premier problème a pour objet la cryptographie et l’étude de deux méthodes de chiffrement : un chiffrement monographique, c’est-à-dire lettre à lettre, puis le chiffrement de Hill, qui s’effectue par blocs de deux lettres. Les notions mathématiques abordées sont principalement l’arithmétique et le calcul matriciel.
- Le second problème traite de dénombrement et de probabilités. On y aborde notamment la notion de variable aléatoire (de Bernoulli et binomial) et d’espérance mathématique. Cette partie propose l’étude concrète d’une marche aléatoire et fait appel à des algorithmes.
Au fil du sujet, les personnages rencontrés...
Bezout
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Étienne Bézout (1730 - 1783) est un mathématicien français. Il est connu du grand publique entre autre pour son « théorème de Bézout » liant l’existence de solutions à l’équation ax + by = 1 au fait que a et b soient premiers entre eux. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Surnommé le « Prince des mathématiques », il apporte plusieurs théorèmes importants en théorie des nombres. |
Gauss
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Bernoulli
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Jacob Bernoulli (1654 - 1705) est un mathématicien et physicien suisse issue d’une grande famille de mathématiciens. Il s’est illustré dans le calcul différentiel et dans le développement de la loi des grands nombres en probabilités. Lester S. Hill (1891 - 1961) est un mathématicien, cryptologie et enseignant américain s’intéressant aux applications des mathématiques dans les communications. Il est à l’origine du chiffre de Hill. |
Hill
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Fields
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John Charles Fields (1863 - 1932) est un mathématicien canadien, fondateur de la prestigieuse médaille Fields. Celle-ci récompense tous les quatre ans jusqu’à quatre mathématiciens de moins de 40 ans. Maryam Mirzakhani (1977 - ) est une mathématicienne iranienne connue pour ses travaux en topologie et en géométrie. C’est la première femme à recevoir la médaille Fields, en 2014. |
Mirzakhani
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| Sujet | Corrigé |
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Sujet 2 - CAPES 2015
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Corrigé 2 - CAPES 2015
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Les sources TICE de l’épreuve 2
Ci-dessous quelques codes des questions faisant appel à divers logiciels (tableur et Python).
| P1 - A.III.1.b. | P1 - A.III.4.d. | P2 - B.III.1. | P2 - B.III.2. | P2 - B.III.3. |
Euclide étendu
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Décodage monographique
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Abscisse du point
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Passages à l’origine
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Fréquence d’apparition
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Commentaires