Équations de cercles

On considère deux cercles C1 et C2, et leurs équations respectives E1 et E2 (en fait, ce sont des expressions, on oublie le « =0 » qui en fait vraiment des équations). Autrement dit, une équation de C1 est E1=0 et une équation de C2 est E2=0. Si le centre de C1 a pour coordonnées (a₁,b₁) et son rayon est r₁, alors

E1=x²+y²-2a₁x-2b₁y+(a₁²+b₁²-r₁²) ; de même,

E2=x²+y²-2a₂x-2b₂y+(a₂²+b₂²-r₂²),

où a₂ et b₂ sont les coordonnées du centre de C2, et r₂ son rayon.

Alors, pour toute valeur de z différente de -1, E1+zE2=0 est encore l’équation d’un cercle [1]. L’ensemble de ces cercles est appelé faisceau engendré par C1 et C2.

Faisceaux

L’allure d’un faisceau de cercles dépend du nombres de points communs à C1 et C2.

à points de base

Si C1 et C2 se coupent en A et B, d’après la remarque ci-dessus, tous les cercles du faisceau passent par A et B : On dit que A et B sont les points de base du faisceau, lequel est formé des cercles passant par A et B :

L’un des cercles est très grand, il suggère que la droite (AB) est elle-même membre du faisceau de cercles, comme cas limite.

Théorème de Desargues-Sturm

Une application des faisceaux de cercles à points de base A et B :

On considère un point P sur l’axe des abscisses, deux points A et B symétriques par rapport à l’axe des abscisses ; le point P’ est défini comme la deuxième intersection du cercle passant par A, B et P et de l’axe des abscisses (la première intersection étant P. Alors, si P(x ;0) et P’(y ;0), la fonction qui transforme x en y est homographique :

de cercles tangents

Si C1 et C2 sont tangents en A, tous les cercles du faisceau passent par A, et sont tangents entre eux en A :

La tangente commune à tous les cercles fait aussi partie du faisceau, comme cercle de rayon infini.

à points de Poncelet

Si C1 et C2 n’ont aucun point commun, le faisceau qu’ils engendrent est dit de Poncelet, et il contient deux cercles de rayon nul, appelés points limites ou points de Poncelet du faisceau.

On devine une droite dans le faisceau : Elle est verticale, entre C1 et C2 (et entre les deux points limite)

Dans tous les cas, on constate que le faisceau de cercles engendré par C1 et C2 contient une droite (ou un cercle dont le centre est à l’infini).

Axe radical

On suppose que C1 et C2 ne sont pas tous les deux des droites ; alors

On appelle axe radical de C1 et C2, la seule droite qui fait partie du faisceau engendré par C1 et C2.

En déplaçant les deux cercles et en observant la position de leur axe radical, on observe expérimentalement les faits suivants :

• Si les deux cercles sont sécants en A et B, leur axe radical est la droite (AB) ;
• S’ils sont tangents en A, leur axe radical est leur tangente commune en A ;
• S’ils sont extérieurs l’un à l’autre, les points A et B sont devenus invisibles parce qu’ils sont imaginaires conjugués ; mais leur milieu est toujours réel, et l’axe radical de C1 et C2 passe par ce milieu ; l’axe radical est alors entre C1 et C2.
• Si le plus petit cercle est à l’intérieur de l’autre, l’axe radical est à l’extérieur des deux cercles. Sa position dépend de celle des cercles, de manière très sensible ;
• Cas limite : Si les deux cercles sont concentriques, leur axe radical est à l’infini.
• Dans tous les autres cas, l’axe radical est perpendiculaire à la droite joignant les centres des deux cercles.