VM1a - Entraînement avec l’ardoise

Le premier exercice et sa solution durent moins d’une minute et donnent bien l’idée de la méthode, mais aussi la vitesse d’exécution demandée : à ce stade de l’année (filmé en mars avril) on veut que les élèves n’aient pas le temps de compter, et donc, ne pensent plus à la stratégie de surcomptage.

Bien entendu, la vitesse n’est pas un objectif, elle est un outil — un curseur réglable — pour valoriser d’autres procédés : décomposition et recomposition mentale rapide par reconnaissance des constellations. Ici on voit que les élèves qui n’ont pas eu le temps ne répondent pas. Le premier exemple nécessite peut-être aussi plus de temps pour se mettre en place.

Au second exercice, en prenant son carton 8, la maîtresse demande à une élève qui n’a rien écrit sur son ardoise la décomposition de 8 qui va servir (« 5 en bas, 3 en haut » car les 5 sont par convention toujours en bas).

En plus de la vitesse, les prédécompositions par les élèves sont une autre variable didactique qu’on peut activer quand on sent les élèves en difficulté.
En principe, la pré-décomposition s’utilise beaucoup au début pour l’appropriation des cartes, ensuite moins, et se réutilise (on le verra en VM3) quand on prend des cartes entre 10 et 20.

Dès le deuxième exemple de cet extrait on voit clairement le principal dysfonctionnement possible de la méthode : les élèves savent « sauter » (calculer ?) de 5 en 5 mais peuvent se tromper de « cinquaine » : ainsi sur cet exemple, plusieurs élèves, au lieu de trouver 13, trouvent 18 : l’erreur est d’une constellation de 5 : il convient donc de commenter éventuellement ce type d’erreur si elle se reproduit régulièrement.

Dans le dernier exemple la maîtresse ne demande pas la décomposition des nombres, mais invite les élèves à se représenter les constellations qu’elle voit : on est bien dans la visualisation mentale par reconstitution de la vison d’autrui.

VM1b - Dictée sur le fichier puis vérification

La dictée est la suite immédiate de l’entraînement précédent. On observera que le rythme est assez soutenu. Cela n’empêche pas certains élèves d’essayer de compter (en fait surcompter). On le voit par exemple clairement à 2 min 37 s : une élève aurait bien compté sur ses doigts, mais la présence de la caméra à ses côtés a fait qu’elle l’a fait mentalement.

On ne peut pas empêcher les élèves de compter sur leurs doigts : les doigts sont une collection organisée portable bien pratique qui a largement participé à la conceptualisation de la notion de quantité puis ensuite de celle de nombre avant le CP.

Mais cela reste de la responsabilité du maître de CP, d’une part, de dire que compter n’est pas calculer et, d’autre part, de montrer que ce qui est proposé aux élèves, ce sont d’autres façons d’opérer qui, elles, apprennent à calculer sur des petits nombres.
Selon la classe et la sensibilisation à la métacognition des enfants, il peut être significatif d’ajouter de temps en temps que rester dans le comptage et le surcomptage va vite devenir inefficace quand on va travailler sur des nombres plus grands au CE1.

La suite de la séance de mathématique se poursuit par d’autres activités (qui sont développées à l’item Calculs en ligne). Une partie de cette activité se passe sur le fichier, la maîtresse peut alors regarder les productions des enfants pour la dictée d’additions. C’est ce que l’on voit à partir de 3 min 30 s dans cet extrait même si en vidéo quart de page, on ne voit pas trop les productions des élèves : le premier a tout juste, le second a plusieurs résultats faux.

VM2a - Travail avec les cartes individuelles de constellations

Nous sommes sur une séance d’entraînement au calcul (additions et soustractions) à l’aide des cartes individuelles. Les 27 premières secondes sont l’exemple archétypique de ce qui est attendu dans ce type d’exercice.
Puis nous avons placé à la suite ce que d’autres élèves font quand ils ne sont pas en présence de l’adulte : certains élèves comptent les points des constellations.

On reprend le travail en présence de la maîtresse à 35 s. On notera le respect de l’ordre des nombres — et des étiquettes pour bien faire 5 + 9 comme demandé et non pas 9 + 5.
A 1 min 02 s, une élève fait (parfaitement) une soustraction avec ses cartes de constellation.

Sur ce court extrait on voit clairement la force de cette méthode qui, par visualisation des quantités, favorise effectivement le calcul réfléchi d’une addition et prépare ensuite — pour le CE1 — au calcul réfléchi de la soustraction.

Il montre aussi que c’est un travail de vigilance régulier que d’apprendre aux élèves à voir — et donc calculer — sur les constellations et ne pas se contenter de compter sur les constellations. Calculer ne va pas de soi, c’est un apprentissage long, et cette méthode contient manifestement de nombreux atouts, en particulier celui de travailler en acte et donc de laisser la pratique de la décomposition s’immiscer, d’abord par l’instantanéité du regard, dans la démarche de l’élève.

VM2b - Un travail sur les cartes et une visualisation mentale

Dans cet extrait nous allons voir deux pratiques effectuées en présence de la maîtresse, tout d’abord la première élève qui ne se souviens plus très bien comment on fait une soustraction et prend les cartes 10 et 8 pour faire 10 - 8 ensuite un calcul mental sur les cartes (à 57 s).

Dans ce second extrait l’élève exprime sa visualisation mentale des cartes (« je calcule dans ma tête ») pour faire la soustraction 9 - 3. On notera le terme « calcul » utilisé. L’élève se trompe sur la soustraction, la maîtresse lui propose de reprendre les constellations... alors qu’il était sur le point de dire 6 (on entend le début du mot à 2 min).

Cet extrait montre l’intérêt naturel des enfants — de certains— d’entrer dans le calcul « mental » : les cartes ne sont bien qu’un outil pour aller vers le calcul mental, puis réfléchi (utilisation de différentes décompositions) alors que dans l’extrait précédent, on peut douter, devant la difficulté d’autres élèves, de l’efficacité du procédé pour faire entrer dans la visualisation mentale (quand les enfants comptent les points de constellation avec les doigts en particulier).

Ce court extrait montre aussi, avec un élève ayant une certaine aisance d’élocution, par le ton qu’il emploie, la charge cognitive qu’il faut déployer pour réaliser cette visualisation mentale.

Pour les psychologues cognitivistes, c’est une des raisons pour lesquelles on préconise la visualisation mentale par reconstitution de la vision d’autrui : les études montrent qu’il est plus facile d’imaginer la vision de l’autre que de s’imaginer — comme ici — ce qu’il faut voir.

VM2c - Addition Correction au tableau

Premières corrections des additions au tableau. Même si ce n’est pas le cas des deux élèves ici, le changement d’espace (le micro-espace avec les cartes individuelles et le méso-espace avec les cartes collectives au tableau) peut amener à perturber quelques élèves en particulier dans le choix des bonnes cartes.

Cela peut (éventuellement) être utilisé par l’enseignante pour une évaluation diagnostique individuelle de la connaissance spontanée des cartes de constellations, même si le regroupement de toutes les cartes au même endroit induit d’autres paramètres de discrimination visuelle que les connaissances sur ces cartes. En particulier, c’est aussi le cas des écritures, pourtant parcourues de manière linéaire : certains élèves ont du mal à repérer ainsi au tableau l’opération qu’ils ont à effectuer.

La correction collective est l’occasion de répéter le groupement de 10. On verra dans les différents extraits que la maîtresse utilise effectivement différents termes (groupe, groupement, paquet).

« Tchou, il dit la même chose que ce que vous voyez, dix et deux » (à 1 min 40 s) est une façon de renforcer l’importance qu’il y a à voir des paquets de 10.

L’importance et l’efficacité, car les élèves à ce stade savent passer de « dix et deux » à « douze » instantanément : la décomposition et recomposition, en évitant là encore de surcompter, permet d’entrer dans le calcul. La correction collective est l’occasion de montrer son efficacité à celles et ceux qui comptent sur les constellations. Aux autres, la répétition permet une mentalisation des constellations et ensuite du calcul.

VM2d - La commutativité en action sur les cartes

Deuxième court extrait sur l’addition. La maîtresse utilise les calculs de ces deux élèves successivement pour faire remarquer que 8 + 5 et 5 + 8 donnent le même résultats.

Sa démarche repose sur la manipulation des cartes et se limite à un cas particulier : « on va trouver le même résultat que je mette le 5 ici ou ici ».
À ce stade, on reste sur une propriété arithmétique. Il ne s’agit pas d’aborder les éventuelles conséquences que cela peut avoir en terme de traitement dissymétrique de l’addition dans le cadre de résolutions de problème.

Au contraire, on remarque sur ces exemples que la méthode utilisée, avec un raisonnement « vertical » sur les cartes, pour favoriser les groupements de 5 — et la question récurrente « qu’est-ce qu’il y a en bas, qu’est-ce qu’il y a en haut ? » — casse cette dissymétrie du surcomptage (« on part du plus grand’, etc.), pour ici calculer à partir de 10 grâce à la comptine régulière : »on a dix et trois, comment Tchou écrit ce nombre comment nous on le dit".

Nous n’avons pas eu l’occasion de filmer des propositions de calculs comme 6 + 7, dans lesquels il faudrait, dans la partie supérieure des cartes, ajouter deux nombres. C’est alors l’occasion de réinvestir des additions sur les petits nombres. Il semble toutefois que dans la méthode Tchou ce type de regroupement en calcul réfléchi soit laissé au début du CE1.

VM2e - À nouveau la commutativité

Deuxième court extrait sur la commutativité de l’addition. On entend à nouveau la verticalité de la décomposition, le regroupement. En particulier le second élève montre lui même ce regroupement.

Si, comme on l’a détaillé dans les onglets précédents, l’efficacité de ce discours « vertical » sur la décomposition des nombres en une constellation de 5 et une autre, et leur agencement en deux groupes de 5 est effectivement avérée, il faut aussi prendre conscience qu’elle doit installer des réflexes de calculs réfléchi — sur les nombres — et pas seulement des réflexes sur la perception des constellations (qui fut un outil, mais pas un objectif).

En effet l’écriture des opérations en ligne comme 9 + 5 doit pouvoir réinvestir ce travail. C’est pour cela que l’oralisation de toute la démarche est importante : elle fixe effectivement des habitudes sur les nombres et non pas uniquement sur les constellations.

Si cette question du rapport entre une lecture verticale des constellations et une lecture horizontale du calcul « en ligne » peut se poser quand on visualise ces activités ainsi reliées dans ces pages, en pratique la question est moins cruciale car ces activités régulières de calcul mental puis réfléchi ne sont pas non plus toute l’activité arithmétique des élèves : dans la même séance plusieurs autres activités prennent place, dans lesquelles l’écriture en ligne — et la décomposition en paquets de 10 — a toute sa place.

Il s’agit bien de techniques favorisant le calcul réfléchi. Celui-ci restant un outil efficace de calcul qui prend tout son sens dans les résolutions de problème.

VM2f - Correction des soustractions

Nous avons donc regroupé sur un seul extrait les différents points qu’il convient de préciser pour comprendre cette méthode pour la soustraction.
Tout d’abord deux démarches pour le calcul réfléchi : pour enlever un petit nombre (ici cela signifie moins d’une constellation de 5) on recule (on reculera en CE1) sur la frise numérique, ce qui se traduit par le fait de cacher la quantité à retrancher en haut de la constellation.

Pour retirer un grand nombre (donc ici plus que 5), on cachera la partie du bas, ce qui cache une constellation de 5 : cela correspondra à la méthode qui consiste à avancer sur la frise numérique (en CE1), c’est-à-dire chercher le complément à un nombre : pour chercher 9 - 7 on peut chercher combien il faut ajouter à 7 pour arriver à 9.

Ce sont donc ces deux règles que les élèves apprennent à appliquer pour mettre en acte ces deux procédures de calcul réfléchi de la soustraction.
On voit bien, avec le deuxième élève (à 40 s) que le fait de cacher un petit nombre par le haut favorise encore une pratique d’addition avec appui à 5 : même pour le calcul d’une soustraction en reculant, le calcul mental de l’addition est mis à contribution.

Avec le troisième exemple (vers 1 min 30 s) le résultat fait moins que 5, donc c’est un extrait de la constellation du 5 que l’on voit et, quand c’est 4 comme ici, ce n’est pas la constellation du 4 (dans les autres cas cela peut toujours être celle du nombre associé). Donc là encore on peut penser que les élèves, soit ont l’habitude de la situation et la connaissent, soit — avant — peuvent faire le lien avec le fait que le précédent de 5 est 4...

Le quatrième élève (1 min 48 s) tente de prendre une seconde constellation pour faire 10 - 7, ce qui est un vrai indicateur sur sa propre compréhension. La maîtresse précise la règle de cache à 2 min 48 s : « on cache un grand nombre par le bas car ça nous permet de cacher le 5 ».

Pour l’élève suivante, la maîtresse a le réflexe de comprendre (à 3 min 17 s), devant une non réponse instantanée pour reconnaître la constellation 6, que l’élève recompte mentalement les points et intervient pour rappeler ce que l’on fait.
On remarquera que le dernier élève, autour de 3 min 56 s, cherche le carton 8 au tableau.

VM3a - Visualisation rapide de constellations entre 10 et 20

On notera la continuité du discours sur la constellation d’en bas (10) et celle du haut (variable) par rapport aux pratiques antérieures. Sur le premier exemple, on observe ce décalage de 5 déjà mentionné dans les premiers apprentissages (l’élève interrogé voit 17 et le dit au lieu de 12).

Le temps pour voir la constellation est rapide pour étendre le champ de décomposition additive des élèves entre 10 et 20 à partir des constellations.
Dans ce premier extrait la situation restait simple car il y avait moins de 5 « au dessus » du 10.

L’affiche de la vidéo a été choisie pour mentionner qu’on peut certainement choisir ces grandes constellations d’une manière plus favorable à reconnaître les 5. En effet, il faut faire un certain effort perceptif et cognitif pour bien distinguer les deux constellations du 5 en bas car l’œil est attiré par un 4 aplati au centre de la page du bas : les constellations de 5 paraissent trop rapprochées pour leur taille ou légèrement trop grandes pour la taille de la feuille, alors que celles sur une page, utilisées sur le reste de l’année étaient parfaites.

Il n’est pas certain que cela gêne les élèves puisque notre malaise d’adulte porte sur des constructions possibles que nous aurions pu proposer, ce qui n’est peut-être pas aussi perceptible aux jeunes enfants.

VM3b - Suite de la visualisation rapide de constellations

Ce second extrait se poursuit avec les nombres plus grands que 15. Les élèves sont rentrés dans la logique d’une perception rapide même si on constate sur le premier exemple encore deux décalages de 5.

Ce préambule de réactualisation des constellations entre 10 et 20 effectué, nous allons aborder les soustractions avec la technique déjà utilisée sur les plus petits nombres.

VM3c - Soustraction par reconstitution de la vision d’autrui jusqu’à 20

Dans un premier temps la maîtresse fait faire une soustraction avec la grande bande collective. Pour les premiers exemples, la maîtresse prend soin de faire préciser les constellations qu’elle voit. Quelques élèves seulement trouvent la bonne réponse. L’exercice est corrigé en détail.

Dans le deuxième exemple les résultats sont plus satisfaisants. Un élève trouve toutefois plus que le nombre de départ, et sa solution est encore un décalage — au dessus — de 5.

La maîtresse, pour cette activité, a choisi un seul type de soustraction, symbolisé par la position du cache toujours en haut, mais cela sera différent dans l’activité suivante.
Le décalage assez régulier de 5 par rapport à la solution peut poser question.

VM3d - Travaux individuels sur la soustraction

Les élèves doivent faire 8 soustractions, soit mentalement soit avec les cartes. En pratique les élèves travaillent avec les cartes : ils n’ont pas encore une pratique régulière de ces grandes cartes.

Premier travail d’une élèves à 38 s. Vers 52 s on observera une procédure personnelle intéressante : l’élève place les deux constellationd côte à côte et, devant enlever un nombre pair (4), elle enlève 2 sur chaque carte.
L’argument de verticalité, construit sur la décomposition en un paquet de 10 et une autre constellation n’est plus efficace.

Troisième extrait à 1 min 14 s. Il s’agit de calculer 14 - 5 : sur ce cas, la maîtresse intervient (à 1 min 40 s) et propose que pour enlever 5 — exceptionnellement — on cache une constellation complète de 5 en bas, ce qui simplifie la lecture du reste (il y a généralement un 5 au dessus).
Pour des considérations d’efficacité, on déroge à une règle générale : c’est le propre même de la procédure personnelle efficace pour le calcul réfléchi.

Le dernier exemple de l’extrait porte sur 15 - 4. L’élève cache bien les 4, il reste 10 et 1. L’élève dit qu’il reste 10 et 6 : on voit peut-être là l’origine possible de ce décalage de 5 assez présent dans cette séance : les élèves ont tellement l’habitude de prendre en considération une seule constellation de 5 dans le bas d’une carte que la seconde constellation de 5 du 10 « fixe pour l’adulte » est alors prise en compte pour le résultat.

Si cette interprétation a du sens, on voit que ce décalage de 5 est peut-être un sous produit du discours « vertical » dans le calcul d’addition : on ne touche pas à ce qui est en bas, on calcule avec ce qui est en haut. Probablement qu’une précision plus métacognitive sur le sujet pourrait aider à modifier facilement ce type de comportement (en faisant exprimer par les élèves ce qui est différent maintenant « avec les grandes cartes »). Là encore ce point sera observé en détail lors des séances de la prochaine année scolaire.

VM3e - Un exemple de procédure personnelle

Ce court extrait est d’abord proposé pour ses 20 premières secondes sur un élève qui réussi d’ordinaire ses exercices avec un succès certain. Il s’agit de calculer 13 - 7. On voit ici l’élève compter, et recompter, les points qu’il doit cacher sur la constellation, même après avoir placé correctement une première fois le cache.

Cette démarche assez surprenante est peut-être d’abord le signe d’une surcharge cognitive puisque l’élève compte deux fois. Mais c’est peut-être dû à des considérations plus didactiques : de par le choix des nombres, le résultat est proche de ce qui a été enlevé, ce qui est assez rare dans ces exercices, d’où l’idée de recompter.

Quoiqu’il en soit, cet extrait illustre qu’une certaine incertitude replonge, même de bons élèves, dans le comptage.
Sur la seconde partie de cet extrait, on voit en particulier que les constellations de taille double sont faites avec les précédentes et donc ne sont pas écrasées sur les 5 comme les constellations collectives. Tous les résultats de cet élève sont exacts.

VM3f - Correction des soustractions

En dehors de la recherche de la bonne constellation — car elles sont longues, nombreuses, à manipuler avec précaution — les élèves montrent une certaine aisance dans la correction.

Dans le 6^e exemple (à 2 min 07 s), pour calculer 13 - 7, l’élève hésite à cacher 6 par le haut ou par le bas. Cette hésitation est remarquable car on l’a déjà vue — manifestée autrement — avec l’élève de l’extrait précédent : on peut donc penser que ce sont les nombres en jeu, et peut-être la proximité de la solution avec le nombre enlevé, qui est à l’origine de cette attitude.
L’élève choisit de cacher par le bas et la maîtresse valide en confirmant que « là, c’était plus facile ici de cacher par le bas, on le voit tout de suite le 7 ».

En accord avec les responsables administratifs (école, inspection) et les parents, il a été convenu que le projet engagé cette année se poursuivra l’an prochain. Ainsi les enfants de cette classe passent tous dans le même CE1 qui continuent la méthode (Picbille) que nous allons suivre encore régulièrement pour une vue d’ensemble sur le cycle 2 : ce sont les mêmes élèves que l’on retrouve dans les séances de soustraction au CE1.