Cet article (voir document joint) traite d’une famille de suites binaires $(u_n)_{n>0}$ que l’on obtient à partir d’une suite initiale $(U_n)_{n>0}$ définie par récurrence :
$
\left\{
\begin{array}{l}
U_1=b\\
U_{n+1}=\frac{a}{2} U_n+1\quad \mathrm{si}\ U_n\ \mathrm{est\ pair}\\
U_{n+1}=\frac{a}{2} (U_n+a^n)+1\quad \mathrm{si}\ U_n\ \mathrm{est\ impair}
\end{array}
\right
$
où a est un entier naturel impair tel que a > 1, et b est un entier naturel).
On considère alors la suite associée $(u_n)_{n>0}$ qui donne la parité des termes :
– si $U_n$ est pair alors $u_n =0$ ;
– si $U_n$ est impair alors $u_n =1$.
Le but poursuivi est de montrer que :
– ces suites binaires sont ultimement périodiques avec pour période l’ordre de 2 modulo $\frac{a(a-2)}{\mathrm{pgcd} (b-1, a)}$ ;
– elles sont périodiques si et seulement si 0 ≤ b < a.
Table des matières
- Introduction
- Première partie : b = 1
- I-A-1 Observation des premières valeurs des suites associées
- I-A-2 Cinq observations sur le motif
- I-B Existence d’une période pour tout nombre a
- I-B-1 Mise en évidence d’une suite
- I-B-2 La suite binaire associée (rn)n>0 est périodique
- I-C Des résultats sur la période et le motif.
- I-C-1 Le motif
- I-C-2 La période
- I-D Des réponses aux cinq observations
- I-E À propos de la périodicité ’’verticale’’ dans le tableau
- Deuxième partie : Étude d’une fonction
- II-A-1 à II-A-5 Propriétés
- II-B-1 Orbites
- II-B-2 Orbite conjuguée
- II-B-3 Un théorème
- Troisième partie : b appartient à N
- III-A Les suites associées sont périodiques si le premier terme vérifie 0 ≤ b < a
- III-B Le premier terme vérifie a ≤ b
- Pour aller plus loin
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