Un travail d’algorithmique et d’histoire des mathématiques a été donné en début d’année (3 septembre 2010). Le point de départ était un TP de l’IREM de Strasbourg, Première S, collection ISTRA :
Le sujet du travail à faire
Calculs, calculs
A/ Calcul de E
L’expression à calculer : 9*10864^4-18817^4+2*18817^2
– Calcul avec bc
– Calcul avec un javascript dans CarMetal
– Calcul avec gp
– Calcul avec MagicNumber
– Calcul avec Maxima
– Calcul avec Open Office Calc
– Calcul avec Processing
– Calcul avec Python (contribution Alain Busser)
B/ Vocabulaire mathématique
Voir la séance d’exemples en classe.
C/ Calcul exact de E
On pourra voir les calculs faits par les élèves dans les deux exemples fournis dans la conclusion.
D/ Autour des entiers naturels tels que $y^2-3*x^2=1$ $R$
Remarquons avec les élèves que si $(x,y)$ est un couple de réels vérifiant (R) avec $y$ positif, alors $(x,y)$ se trouve sur cette courbe, et les couples d’entiers $(x,y)$ s’éloignent de plus en plus. Cela peut se voir dans CarMetal avec un simple roulement de molette pour zoomer.
E/ Point d’histoire
[1]
– Equation Diophantienne
– Qui est Diophante ?
– Equation de Pell-Fermat
– Théorème de Fermat, son histoire
– Qui est Fermat ?
– Qu’est-ce qu’un triplet pythagoricien ?
Ce sont les triplets d’entiers naturels de la forme $(x,y,z)$ avec $z^2=y^2+x^2$.
– Il n’existe qu’un unique triplet pythagoricien d’entiers naturels consécutifs :
Posons $y=x+1$ et $z=x+2$
On a alors $(x+2)^2=(x+1)^2+x^2$, équation qui conduit à une équation du second degré dont l’unique solution positive est $x=3$.
Le seul triplet pythagoricien d’entiers naturels consécutifs est donc : $(3,4,5)$.
F/ Algorithmique
– Script du calcul de l’expression avec CarMetal
– Calcul des couples (x’, y’) de nombres de plus en plus grands vérifiant (R)
for (x=1; x<10000; x=x+1){
y=Math.sqrt(1+3*x*x);
if (y-Math.round(y)==0){
x1=2*x*y; y1=3*x*x+y*y;
Println("x= "+x+" y= "+y+" x'= "+x1+" y'= "+y1);
}
}Cela donne avec la coloration syntaxique d’un bon éditeur de textes :
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