Quand un guide part en randonnée avec un groupe, il prend sa carte topo et son relevé météo. Le pilote de ligne doit déposer son plan de vol avant d’embarquer. De même, l’enseignant jalonne l’apprentissage de ses élèves en programmant ses actions pédagogiques et en posant des indicateurs pour vérifier le bon déroulement de cet apprentissage.

C’est une expérience unique et exceptionnelle que nous vivons cette année avec ces nouveaux programmes et le S4C (socle commun des connaissances, des compétences et de culture). La nouvelle réforme nécessite un travail collaboratif entre les enseignants d’un même établissement et une certaine visibilité sur un cycle.

Cet atelier se propose de mener une réflexion approfondie sur la mise en œuvre et la maintenance d’une progression spiralée pour le cycle 4. Nos objectifs :

• approcher cliniquement l’objet « progression » ;
• proposer une méthodologie de mise en oeuvre d’une progression spiralée pour le cycle 4 ;
• développer le travail collaboratif entre professeurs de mathématiques d’un même établissement ;
• créer une dynamique disciplinaire autour de la nouvelle réforme des collèges au sein de l’académie ;
• optimiser la réflexion sur la mise en œuvre des nouveaux programmes ;
• créer une plateforme‐test de création, d’archivage et de partage en ligne des ressources de l’académie.

• Quantifier l’apport de l’algorithmique dans les situations de remédiation.
• Proposer un document-cadre pour l’évaluation des actions menées en algorithmique.

Face à un public de plus en plus connecté, pour lequel l’utilisation du numérique se développe de plus en plus tôt, il nous apparaît primordial d’intégrer davantage le numérique dans nos pratiques d’enseignement. Cet atelier de recherche-action aura donc pour thème d’étude l’usage possible du numérique au collège en accordant une attention particulière à l’outil tablette via une mise en œuvre de la classe inversée.

Nous voyons dans le développement du numérique l’occasion de mettre en place des stratégies de différenciation pédagogique. Dans l’optique de recentrer l’apprentissage autour de l’élève, de développer ses compétences, son autonomie tout en favorisant son implication dans des projets collectifs, nous nous appuierons sur des expérimentations dans des classes en nous attachant à décrire les étapes suivantes :

• la préparation, en amont pour le professeur ;
• l’investissement de l’élève hors de la classe ;
• la gestion du retour en classe.

Dans le contexte de la réforme du collège à la rentrée 2016, nous proposons de partager notre réflexion autour de trois EPI que nous allons mettre en place au collège Raymond-Vergès :

• EPI Maths/EPS (Randonnées en 4^e),
• EPI Maths/EPS (Évaluation de performances en athlétisme),
• EPI Éducation civique/Anglais/Maths (Droits civiques aux États-Unis).

Le point de départ de cette réflexion sur les EPI a été la motivation des élèves, qui est d’après nous l’un des points-clés de la réussite de la réforme. Ainsi, dans les trois projets proposés, cette notion de motivation sera abordée avec les élèves sous plusieurs approches :

• la première autour d’une meilleure connaissance d’eux-mêmes : dans les EPI Maths/EPS de 4^e, ils auront à étudier, évaluer, analyser et même anticiper leurs performances ;
• la seconde autour de l’influence de la motivation sur leur éducation : construction d’un barême scolaire dans l’EPI Maths/EPS (Évaluation de performances en athlétisme) ;
• la troisième prenant appui sur une meilleure compréhension du monde qui les entoure : l’environnement local avec l’EPI Maths/EPS (Randonnées en 4^e) et de manière plus globale avec l’EPI Éducation civique/Anglais/Maths (Droits civiques aux États-Unis).

L’objet d’étude de cette recherche-action est l’Accompagnement Personnalisé (AP) au cycle 4 en cours de mathématiques. Afin de répondre à la demande institutionnelle qu’est la mise en place de l’AP au cycle 4, nous avons choisi d’aborder cette pratique en privilégiant quatre entrées :

• le statut de l’erreur,
• les exercices à prise d’initiative,
• l’évaluation,
• le raisonnement logique.

Ces entrées devraient faciliter la prise en charge spécifique des élèves afin de leur permettre d’approfondir leurs connaissances et compétences ou de prendre en charge leurs difficultés.

Changer le statut de l’erreur, considérer l’erreur comme un obstacle à franchir, devrait apprendre aux élèves, quel que soit leur point de départ, à positiver l’erreur et à la considérer comme une difficulté objective pour s’approprier le contenu enseigné.

La pratique régulière de la résolution d’exercices à prise d’initiative facilitera la différenciation. Ainsi chaque élève pourra progresser à son rythme : certains en donnant du sens aux apprentissages par la résolution de problèmes issus de situations rencontrées couramment et d’autres par la recherche, dans des situations plus originales.

La mise en place d’une évaluation « validation » et non « sanction » devrait apprendre aux élèves à accepter de prendre des risques, plutôt que de les cantonner à des tâches répétitives.

Enfin, en utilisant la pratique du raisonnement logique et de l’algorithmique comme fil rouge tout au long de l’année, chaque élève devrait progressivement développer son autonomie.

Après avoir travaillé sur la logique l’année dernière, nous nous proposons, pour la période 2016-2017, de concentrer nos réflexions et échanges sur un thème central : la géométrie.

Un EPI test en lien avec le bloc Langues et cultures de l’antiquité sera mis en place dans une classe de 3^e au collège Texeira-Da-Motta : « La géométrie grecque par les textes ». Rappelons ici que dans l’approche grecque, on part d’une « géométrie perçue par les sens et contrôlée par les instruments » afin d’extraire des « propriétés des objets par le raisonnement ». À titre d’exemple, l’introduction explicite dans les nouveaux programmes du cycle 4 des notions de « triangles égaux » et de « triangles semblables » invite à redécouvrir, pour les mettre en valeur, des briques axiomatiques utilisées consciemment ou non par Euclide dans nombre de ses raisonnements. Les élèves utilisant ces briques – au moins implicitement - depuis la classe de 5^e, ils en acquerront une perspective rétrospective renouvelée et enrichie. Nous nous proposons de mettre en ligne à l’issue de chaque trimestre des exemples de fiches supports pour cet EPI. Des problèmes abordés par Euclide tels que des reconnaissances d’une configuration de base dans un environnement complexe, des problèmes d’alignement, de parallélisme ou d’orthogonalité y seront présentés avec le souci d’en dégager les points suivants : présentation des choix argumentatifs d’Euclide, contraintes étymologiques de la langue grecque sur la démonstration, problématique philosophique ou géométrique sous-jacente, proposition méthodologique à l’attention des collègues pour aborder chacun des trois points précédents avec les élèves.

En parallèle, nous approfondirons le rapport de la géométrie aux instruments logiciels. La logique de Hoare, qui permet simplement de démontrer des propriétés de programmes de calcul, peut-elle être transposée à la géométrie dynamique pour prouver des propriétés géométriques des figures ? Par ailleurs le logiciel Coq, qui est une aide à la démonstration, permet, du moins chez des élèves un tant soit peu anglophones, de mieux distinguer les hypothèses des axiomes, et les lemmes des théorèmes. Coq est basé sur le raisonnement hypothético-déductif et le chaînage arrière, et permet d’aller vite vers le raisonnement par l’absurde. Il peut être raisonnable alors de construire une « théorie » de Coq pour chaque niveau du cycle 4. Par exemple, l’existence de l’orthocentre d’un triangle peut être un axiome si on en a besoin dans un exercice, un théorème si on veut l’introduire dans le cours. Noter que la géométrie de la droite fait appel à la notion de nombre réel, et risque de nécessiter que cette notion soit introduite avant celle de fraction, du moins si on veut commencer la géométrie le plus tôt possible.

Nous apporterons enfin une touche critique quant aux « prétentions » de la géométrie : le géomètre a la réputation auprès des philosophes d’être expert en démonstration au point qu’on devrait à son activité propre l’invention de démonstrations véritablement rigoureuses, qui partent de la sensation et atteignent l’intelligible, en visant la nécessité purement logique. Nous illustrerons cette prétention à la saisie de vérités inconditionnées à l’aide de réflexions historiques et épistémologiques portant sur des objets géométriques à une dimension (points et lignes) à deux dimensions (polygones), à trois dimensions (polyèdres) et à n dimensions. Il sera question d’incommensurabilité, de quadrature du cercle, de preuves et réfutations, d’abstractions échappant à la saisie intuitive, notre démarche se proposant de montrer comment se réforme la raison et se forge la rationalité par le travail inventif du géomètre à l’aide de multiples instruments.

Une difficulté récurrente lorsqu’on veut créer des fichiers interactifs (jeux par exemple) pour tablette est que la « gesture » du « toucher-glisser » n’est pas toujours bien interprétée par le navigateur. Par exemple, certaines versions de Chrome pour Android confondent la manipulation d’un curseur vertical de GeoGebra avec le « swipe » pour aller en bas de la page. Pour programmer des jeux sur Android, il faut donc envisager

• ou bien d’abandonner les webApps pour programmer directement avec un logiciel comme App Inventor (et dans ce cas, l’idéal serait de permettre à tous les PE de créer leurs propres applications pour les tablettes de leurs élèves) ;
• ou bien de développer son propre GUI pour la reconnaissance des gestures (variante : Programmer des jeux sur DGPad qui a lui-même été programmé ainsi ; il y a déjà un précédent) ;
• ou bien d’explorer en priorité les jeux combinatoires faisant appel à des gestures de type « toucher court » comme celui-ci.

C’est ce dernier choix qui sera, au moins au début, prioritaire. Des jeux de type taquin ne nécessitent en effet que le choix de l’élément que l’on souhaite permuter. De tels jeux seront donc implémentés en html5 ainsi que des jeux ethniques comme Konane, fanorona ou des jeux de semaille.

Les jeux de type taquin permettant d’explorer les permutations, des exposés seront proposés lors de la semaine des mathématiques 2017, dont le thème est « langages », les permutations jouant un rôle important en cryptographie. Une nouvelle tentative sera effectuée de faire imprimer en 3D par les élèves un puzzle d’addition binaire, afin de faire présenter, toujours par les élèves, le puzzle à l’occasion de la semaine des maths 2017.

Mais le développement d’outils créés dans le cadre de cet atelier les années précédentes (alcoffeethmique, ekoarun ou sofus), a vocation à continuer ; en particulier Sofus, qui, récemment doté de fractions et matrices, bénéficierait d’un mode lent pour ce qui est de ses tortues.

Enfin il va sans dire qu’un atelier consacré à des jeux mathématiques a vocation à maximiser sa présence à la fête de la science 2016 comme dans le passé : Jeux de Nim à plusieurs pions, jeux de poursuite ou de fanorona, etc.

Outre le conception et l’animation des activités habituelles de l’IREM dans le domaine de la popularisation des mathématiques (stand de l’IREM à la fête de la science, caravane de l’IREM pendant la semaine des mathématiques, rallye de liaison troisième-seconde), le groupe travaillera cette année à la création de « Problèmes à ciel ouvert ».

L’ambition est de réaliser à ciel ouvert un parcours où des élèves iront « piocher » des problèmes du type « à prise d’initiative ». Plusieurs itinéraires pédagogiques seront proposés aux participants. Nos collégiens trouveront durant cette ballade pédagogique des indices et des situations-problèmes. Ils mettront en éveil leurs sens. Les compétences du S4C comme l’autonomie, la prise d’initiative seront sollicitées. Les savoir-faire et les compétences mathématiques seront travaillés. Le numérique s’intégrera discrètement sur le parcours (QRCodes, smartphones, tablettes...). Ce concept nomade pourra alors être installé sur plusieurs jours dans un établissement de l’académie. Des thèmes différents seront abordés à chaque fois et permettront de couvrir les connaissances mathématiques.

Objectifs :

• décloisonner et offrir du plaisir à résoudre des problèmes ;
• parler et faire des mathématiques autrement ;
• développer l’approche ludique des mathématiques ;
• proposer des situations d’apprentissage par l’approche kinesthésique ;
• permettre à tous les élèves de valoriser leurs compétences « invisibles ».

Le groupe se propose de mener des analyses historiques et didactiques sur les instruments anciens de calcul, notamment les abaques à jetons et bouliers, de concevoir des séquences pédagogiques utilisant ces instruments et de les expérimenter dans des classes du cycle 3. Cette recherche-action devrait aboutir à l’écriture d’un chapitre pour le livre « Histoire des mathématiques pour le cycle 3 », actuellement en projet au sein de la commission inter-IREM d’épistémologie et d’histoire des mathématiques.