Dans les années cinquante, la disparition des dix boules de la tige des unités du boulier, opérée par notre instituteur en blouse grise, m’avait paru magique. J’essaye dans cet article, qui s’adresse au niveau secondaire, de faire revivre cela au travers de l’élaboration d’un programme en relation étroite avec un boulier, qui construit les nombres premiers et permet un codage des entiers. Certaines questions qui ont animé et animent encore la communauté mathématique y apparaissent sous des formes différentes. Ce texte illustre d’une certaine façon les propos de D. Tournès :
« ...l’utilisation des artéfacts anciens, éventuellement instrumentalisés d’une nouvelle manière en interaction avec les ressources modernes disponibles... » (Perspectives historiques sur les abaques et bouliers, MathémaTICE, n° 51, septembre 2016).
Principe de l'algorithme
Au début (compteur = 1), on a une seule case marquée "2", et vide. Ensuite:
- On ajoute une bille (bleue) à chaque case ;
- On compare le nombre de billes dans chaque case, au numéro de la case ;
- On vide les cases ayant autant de billes que leur numéro ;
- Si on n'a vidé aucune case, on ajoute une case au tableau, portant le numéro du compteur, et initialement vide.
- On incrémente le compteur.
On a bouclé fois.
Le programme initial, écrit avec le logiciel Xcas, fournit les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Il ne fait pas appel aux notions de cribles, de diviseurs ou de multiples. Il est simplement manipulatoire. Pour l’interpréter, nous utiliserons un abaque composé d’une seule tige verticale et pouvant recevoir un grand nombre de jetons, et un boulier dont les tiges verticales ne peuvent recevoir qu’un nombre limité de boules.
Une version légèrement modifiée du programme permet de coder les nombres entiers. Ce codage est très éloigné des codes de numération qui n’utilisent qu’un nombre restreint de symboles et, de plus, on imagine mal l’utiliser pour effectuer des opérations. Il permet pourtant de visualiser sous un éclairage nouveau certaines grandes questions qui ont agité le monde mathématique pendant des siècles : résultat d’Euclide sur l’infinitude des nombres premiers, théorème des nombres premiers d’Hadamard et de La Vallée Poussin, théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, postulat de Bertrand, conjecture des nombres premiers jumeaux, théorème de Sylvester.
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