L’étude des fractales permet de développer la pensée algorithmique ou Computational thinking en classe [1].
Étant décrites par des algorithmes récursifs, les fractales permettent d’initier les élèves à la pensée récursive et ainsi de développer leur pensée algorithmique.
Étudier des fractales en classe m’a permis de réinvestir des méthodes de construction simples vues au collège et en primaire, de travailler sur des algorithmes autres que numériques, et d’aborder simplement des notions délicates telles que le concept d’infini et la récursivité.
Cette année, j’ai donné un projet évalué sur la fractale de Von Koch, projet comportant tous les thèmes cités précédemment. Deux années scolaires plus tôt, nous avions travaillé sur le triangle de Sierpinski.
Je vais détailler le contenu de ces deux projets et les différentes parties abordées.
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L’apport des fractales au cours de Mathématiques
Voici une carte mentale qui présente ce que l’étude des fractales apporte au cours de Mathématiques.
Comme on le voit sur cette carte mentale, les domaines touchés par l’étude des fractales en classe sont nombreux.
| Géométrie | Algorithmes | Suites |
|---|---|---|
| Dessin à la main Construction Règle et Compas sur feuille blanche A3, A4 Utilisation de crayon bien taillé Autosimilarité des figures Théorème de Thales Orientation du plan |
Algorithmique - Programmation Initiation à la pensée récursive Algorithmes en géométrie Algorithmes numériques Développer la pensée algorithmique |
Introduction, découverte Expression récurrente - expression explicite Démonstration d’une propriété par récurrence Dénombrement Calculs : périmètre, aire, théorème de Pythagore |
| Dimension émotionnelle | Dimension philosophique |
|---|---|
| Beauté des fractales [3] Envie de faire des Mathématiques Magie des Mathématiques |
Philosophie de l’infini Approche de la notion de limite Limites de suites Figures finies au périmètre infini |
Déplier tous les blocs
Replier tous les blocs
Devoir sur le flocon de neige
Le sujet détaillé
Ce devoir a été donné aux élèves au mois d’octobre de cette année scolaire. Nous y sommes revenus plusieurs fois au cours de l’année. Il nous reste la partie calculs pour le flocon à corriger.
Fractale de Von Koch
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Projet à rendre pour le 30 octobre 2018
Données :
Un segment [AB] de longueur a, n le numéro d'étape.
Le segment [AB] seul représente l'étape 0.
Initialisation :
Construire A1 et A3 qui partagent le segment [AB] en 3 parties égales (dans l'ordre A, A1, A3, B). Construire alors A2 tel que A2 soit sommet d'un triangle équilatéral A1A2A3.
Tracer alors les segments [AA1], [A1A2], [A2A3], [A3B].
Gommer le segment central [A1A3].
Reproduire le processus sur chacun des 4 segments [AA1], [A1A2], [A2A3], [A3B] jusqu'à l'étape n.
PARTIE DESSIN PAPIER (2 feuilles A4 blanches format paysage):
A l'aide d'un compas à la mine bien taillée, construire les étapes 1, 2, 3, et 4.
Choisir a de manière judicieuse...
Pour l'étape 2, faire un schéma détaillé qui indique les angles orientés de la figure.
L'objet que vous venez de construire s'appelle une fractale.
PREMIERS CALCULS :
A chaque étape, donner
- le nombre de segments S_n
- la longueur de chaque segment a_n
- la longueur totale de la figure obtenue T_n.
En déduire une expression de S_n, a_n et T_n de la figure obtenue à l'étape n en fonction de n.
PARTIE ALGORITHMIQUE :
Écrire l'algorithme qui permet de construire à l'écran l'étape 1 à partir des points A et B, en utilisant les instructions av (avance), td (tourne à droite) et tg (tourne à gauche), pendown et penup pour activer/désactiver un tracé éventuel. On suppose que la souris est au départ au point A et dirigée vers le point B.
...
On transforme cette série d'instructions en une fonction qui s'appelle graine(a).
On a donc :
graine(a)
...
Écrire maintenant l'algorithme qui permet de construire l'étape 2 en utilisant les instructions de base déjà fournies, et la fonction graine(a).
graine(...)
tg 60
...
...
On transforme cette série d'instructions en une fonction qui s'appelle VonKoch(a, etape), avec etape = 2 et où VonKoch(a,1) contient rigoureusement les instructions de la graine.
On a donc :
VonKoch(a, etape) (etape = 2)
graine(...)
tg 60
...
...
ou encore :
VonKoch(a, etape) (etape = 2)
VonKoch(..., etape-1)
tg 60
...
...
Écrire alors une fonction qui permet de tracer l'étape n.
VonKoch(a, etape) (etape = n, n>=1)
Si etape == 1
graine(...)
Sinon
VonKoch(..., etape-1)
tg 60
...
...
FinSi
PROGRAMMATION :
- Programmer avec Snap! l'algorithme précédent.
- Programmer avec Snap! la fractale de Von Koch (flocon de neige) en appliquant 3 fois l'algorithme précédent aux 3 côtés d'un triangle équilatéral.
Enregistrer les images de la scène pour obtenir de jolis flocons de Von Koch.
RETOUR SUR LA PARTIE CALCULS :
On s'intéresse au flocon de Von Koch.
A chaque étape, donner
- la longueur totale de la figure obtenue U_n
- l'aire du flocon f_n obtenu à l'étape n : commencer par calculer f_1, f_2, f_3 puis en déduire f_n. Expliquer votre raisonnement.J’utilise Snap! en classe pour écrire un algorithme mais aussi pour le programmer et le tester. L’idée est d’ouvrir l’esprit des élèves à une pensée algorithmique indépendante d’un langage précis de programmation.
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Géométrie : constructions Règle et Compas
Dans tous les dessins, j’ai demandé aux élèves de laisser les traits de construction apparents.
Diviser un segment en 3 parties égales
Nous avons revu grâce au théorème de Thalès comment diviser un segment en 3 parties égales.
Le segment central est ensuite effacé pour laisser place à la construction d’un triangle équilatéral (dessins de Leslie).
Étape 1
Pour arriver finalement à l’étape 1 (dessin d’Aliyah).
Étape 2
Les calculs...
... sont nombreux dans le devoir.
Et conduisent parfois à des erreurs, comme dans cette excellente chronique de Rose Polymath, bande dessinée sur les fractales [9], où j’ai dû retoucher l’image pour afficher un calcul juste.
On trouvera tous les calculs nécessaires au calcul final de l’aire du flocon de neige sur ce site.
Le calcul de l’aire du flocon est intéressant car il fait intervenir une somme de suite géométrique de raison 4/9 et de premier terme 1/9.
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Partie algorithmique du devoir
Le sujet annoté était une aide pour la partie algorithmique, aide donnée en séance d’Accompagnement Personnalisé (A.P.).
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J’essaie toujours d’amener les élèves à avoir une pensée algorithmique en classe, de les amener à penser fonctions en permanence.
Lorsque j’ai demandé aux élèves, lors de cette activité sur les fractales, quel était l’objet renvoyé par l’algorithme qui dessine le flocon de Von Koch, Aliyah m’a répondu comme une évidence « Et bien, le dessin Madame ! ».
On en a déduit ensemble que cet algorithme était bien une fonction : il en a tous les ingrédients : des entrées traitées dans une boîte, et le dessin qui en résulte.
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La partie algorithmique de ce devoir est sensée amener l’élève à écrire une fonction récursive.
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Voici l’algorithme Snap! pour une étape quelconque.
Et le rendu Snap! de l’étape 5.
Dessins d’élèves du flocon de neige à l’étape 3
| Angélique apporte toujours autant de soin et de précision à ses tracés. 
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Les tracés de Nell sont aussi très précis. 
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Étude du triangle de Sierpinski
Le sujet
Ce devoir donné aux élèves lors de l’année scolaire 2016-2017 ne comportait pas de partie programmation. Ce projet couvrait seulement la partie géométrie et la partie calculs.
FRACTALE DE SIERPINSKI
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Données : Triangle ABC, n le n°d'étape
(le triangle ABC seul représente l'étape 0)
Initialisations :
Triangle ABC
A* milieu de [BC]
B* milieu de [CA]
C* milieu de [AB]
Remplir les triangles BA*C*, A*CB*, C*B*A
Laisser vide le triangle A*B*C*
Recommencer le processus précédent sur chacun des 3 triangles BA*C*, A*CB*, C*B*A jusqu'à l'étape n.
Construire les étapes 1, 2, 3, 4 et 5.
A chaque étape : donner :
- le nombre de triangles colorés T_n
- leur côté c_n
- leur aire individuelle a_n
- leur périmètre individuel p_n
- l'aire totale du domaine couvert A_n
- le périmètre total des triangles P_nTravaux d’élèves , étapes 0 à 5
dessinées par Étienne
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dessinées par Julie
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Un algorithme récursif pour Sierpinski
def Sierpinski(A,B,C,etape):
A*=Milieu(B,C)
B*=Milieu(C,A)
C*=Milieu(A,B)
Si etape < 1:
Triangle(A*,C,B*)
Sinon:
Sierpinski(A*,C,B*,etape-1)
Sierpinski(B*,A,C*,etape-1)
Sierpinski(C*,B,A*,etape-1)
FinSi
L’algorithme version Snap! 
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Images du triangle de Sierpinski réalisées avec Snap!
étape 1
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étape 2
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étape 3
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étape 4
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étape 5
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étape 6
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Calculs sur les suites
Le triangle de Sierpinski, tout comme la fractale de Von Koch, sont d’excellentes illustrations de progressions géométriques en classe de première S. Cette étude s’est faite en classe de manière spiralée.
Voici les calculs rendus par Marie :
- pour les niveaux 3 et 4
- pour le niveau 5
Et le fichier de synthèse que Marie a réalisé sous Libre Office
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Comportement à l’infini des suites mises en jeu
Le comportement à l’infini des suites mises en jeu peut déjà se deviner à l’aide de ces calculs faits sur tableur.
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Pour aller plus loin
Générer du hasard
Benoît Mandelbrot [11] utilise le hasard pour améliorer le modèle de côte constitué par la courbe de Von Koch. Générer du hasard dans les générateurs de fractales permet d’affiner la modélisation du monde réel à l’aide de fractales.
Pour en avoir une petite idée [12], on pourra introduire une orientation aléatoire du générateur [13] et même une probabilité pour le choix de cette orientation.
Imagination will take you everywhere.
[14]
On peut imaginer de changer l’un des angles du motif de la graine pour la courbe de Von Koch afin d’augmenter l’effet de brisure, et afin d’apporter au modèle un peu d’asymétrie.
En remplaçant le motif de la graine pour la fractale de Von Koch, on obtient par exemple :
Mais aussi,
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Florence Messineo [15] imagine par exemple de remplacer dans le générateur de la fractale de Von Koch un segment par un arc de cercle... J’adore cette idée ! Cela permet de dessiner de jolies fleurs fractales.
Autres pistes...
Les exemples simples de fractales à étudier en classe sont encore nombreux.
Un élève nous a montré une image très convaincante pour utiliser des fractales à des fins d’exploration de suites par exemple, lors d’un exposé sur Cantor.
Bibliographie en images
Fractals for the classroom
Pour aller plus loin en classe avec les fractales, c’est ma bible en la matière. [16]
Des activités prêtes à l’emploi à faire en classe, écrite par une équipe qui a largement réfléchi à comment aborder les fractales en classe.
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Une nouvelle manière de voir le monde
Dans la collection Le monde est mathématique, ce livre explique quelle révolution la géométrie fractale apporte à la géométrie. Il est agréable à lire, et simple dans ses explications.
Benoît Mandelbrot et Adrien Douady
L’incontournable Les objets fractals de Mandelbrot. [17]
Les objets fractals étant des objets mathématiques introduits très récemment [18], on pourra évoquer rapidement aux élèves les noms des mathématiciens Benoît Mandelbrot et Adrien Douady.
Car il est impossible de parler des fractales sans citer Benoît Mandelbrot à l’origine de la dénomination fractal et Adrien Douady, le premier à avoir médiatisé les fractales en France.
Enfin un auteur français pour la classe
Florence Messineo a le don pour trouver des activités ludiques sur les fractales.
Le monde fascinant des objets fractals est très complet, simple et agréable à lire. Si vous ne deviez avoir qu’un livre sur les objets fractals, c’est celui-ci qu’il vous faut. Le second est un cahier de dessin proposé sur les fractales, mais aussi un cahier de calculs.
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Une bande dessinée sur les fractales
Les chroniques de Rose Polymath de Ian Stewart.
Et bien sûr, le Hors-série Tangente n°18 Les fractales
Les fractales - Art, nature et modélisation.
Magnifique hors série dans lequel vous pourrez puiser votre source d’inspiration pour aborder de jolies fractales avec vos élèves.
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