La logique s’est purifiée au fil des siècles de toutes les nuances et ambiguïtés héritées des langues dont elle est issue. Il lui a fallu préciser successivement son objet, ses connecteurs logiques, ainsi que la fonction de ses axiomes.

Le raisonnement est d’une nature différente de celles de l’observation et du calcul.
L’observation est plutôt l’apanage des sciences expérimentales, le calcul se borne à suivre des procédures opératoires limitées à un nombre fini d’étapes, le raisonnement s’établit sur des axiomes, un langage et des règles de déduction.
Certes, le raisonnement par récurrence permet d’aller au delà d’une vérification infinie par calcul pas à pas, mais si le calcul paraît toujours certain, il n’en va pas de même de tous les raisonnements.

Une question légitime : le raisonnement recouvre le calcul car toute vérification par calcul peut être transformée en preuve logique. Est-il réductible au calcul ?
Le problème de la décision analysé par Church répond par la négative (à quelques particularités près, cf. nos remarques dans l’onglet géométrie).

Le théorème de Gödel affine le résultat de Church en établissant qu’il y aura toujours certaines propriétés des éléments d’une théorie axiomatique qui seront inaccessibles aux raisonnements internes à cette théorie. D’où des querelles d’écoles concernant le statut ontologique de ces propriétés.

Dowek termine cette première partie en s’interrogeant sur la cohérence d’une théorie axiomatique i.e. la possibilité que dans une théorie, il y ait au moins une proposition qui soit à la fois prouvable et réfutable. Cette cohérence se révèle ne pouvoir être assurée qu’au prix de principes moins certains que ceux qu’elle est sensée garantir.

Quand je dis « tous les rubis sont rouges », de quoi s’agit-il ?. C’est une définition, conclut Dowek.
Soulignons simplement ici que le terme « définition » peut s’entendre d’au moins deux manières.

Il peut s’agir du résultat d’une induction.
Prenons l’exemple du mot chien. Personne n’a jamais expliqué à bébé qu’un chien est « un mammifère carnivore facile à domestiquer, courant vite, à l’odorat poussé et capable d’aboyer ». Personne n’a jamais dit à bébé « Non, Felix n’est pas un chien parce qu’il n’aboie pas et que ses griffes sont rétractiles ». En fait,

• on a commencé par montrer Médor à bébé en disant « ça c’est un chi-en, je répète, un chi-en ».
• Puis pour éviter une confusion entre les concepts de chien et de Médor, on a montré Rex à bébé en lui disant « ça aussi c’est un chien » ;
• Puis on a montré d’autres chiens comme Snoopy, qui n’ont ni la même taille ni la même couleur, en disant à bébé que ce sont aussi des chiens.
• Bébé a alors probablement commencé à élaborer le concept de chien comme « animal souvent en compagnie de membres de la famille, et doté de fourrure [2] ».
• C’est donc lorsqu’on lui a dit en montrant Felix « non ça ce n’est pas un chien, c’est un chat » que bébé a précisé le concept de chien avec une précision suffisante pour être capable un jour de le définir.

C’est l’approche de Stanislas Dahaene pour qui « définir un mot » est le résultat d’un raisonnement inductif.

Mais une définition peut aussi être faite sans recours à l’induction. Ce qui est premier dans ce cas, c’est une chose singulière à laquelle on donne un nom. Sont alors retenus comme faisant « définition » de la chose un certain nombre de ses propriétés. Plus tard, si on rencontre une autre chose ayant toutes les propriétés de cette définition, on dira qu’elle porte le même nom.
Par exemple, un triangle peut être défini comme un triplet de segments joignant trois points distincts. Il s’agit bien ici d’une définition qui peut être tirée d’un triangle singulier et qui correspond à tous les autres ; pas d’induction ici.

Concernant ces fameux rubis rouges, gageons que Dowek ait en vue ici le deuxième sens du mot « définition » : quelqu’un a trouvé une pierre rouge présentant quelques autres caractéristiques. Il a réuni cette couleur et ces caractéristiques sous un nom, celui de rubis. Ainsi, comme le fait remarquer Dowek (p.20), quand on trouve une pierre verte, on ne lui donne pas le nom de rubis.

Concernant la ritournelle chère à nos amis philosophes qui aiment à rappeler qu’on a longtemps cru que tous les cygnes étaient blancs jusqu’à en découvrir des noirs du côté de la Tasmanie, soulignons qu’il est peu probable qu’Aristote aurait validé l’utilisation du terme « cygne » pour les oiseaux noirs de Tasmanie puisque la couleur blanche faisait partie intégrante de la définition - inductive celle-ci - dudit terme : ces beaux oiseaux blancs qui chantent avant de mourir, appelons les « cygnes » puisque le beau héros Cycnos fils d’Apollon fut lui même changé en l’un d’eux par son père. Choisir d’appeler cygnes les sombres nouveaux venus consiste simplement à changer la définition du mot cygne, en en évacuant la référence à la couleur de l’oiseau.

Pour Gilles Dowek, « l’induction ... est indispensable dans les sciences expérimentales » (p.28), le monde matériel ne se révélant que peu à peu à notre expérience. Elle seule peut dés lors nous permettre d’établir qu’un mouton a 4 pattes [3].
Les objets mathématiques, quant à eux, présentent la particularité, de par leur abstraction, d’être théoriquement définis une fois pour toutes.
Ce qui implique qu’en mathématiques, l’induction peut laisser la place au raisonnement axiomatique et inférentiel qui a la puissance d’établir de façon indubitable des vérités générales. Ce dernier se révélant dés lors comme la méthode propre à la discipline.

Regrettons simplement ici que les programmes ne prennent pas la peine de souligner cette prééminence du raisonnement sur l’induction dans la matière. Leurs auteurs semblent en effet veiller à toujours accoler le terme de déduction à celui d’induction.
C’est par exemple le cas du programme du cycle 4 dont voici quelques extraits sur le sujet :

(page 10, dans la partie communes aux sciences, mathématiques ou autres).

Par ailleurs, on insiste bien dans le programme de mathématiques, sur le fait que « La formation au raisonnement est un objectif essentiel du cycle 4 », et que le raisonnement déductif est « au cœur de l’activité mathématique », mais on se plaît à ajouter (page 34) que

Dans la liste des compétences de mathématiques, on trouve

Et cela, jusque dans la grille d’évaluation par compétences de certains BTS où les mots « déduire » et « induire » sont encore appareillés (avec une note de 2 sur 10) parmi les compétences évaluées en CCF...

Dans « de rares théories réductibles au calcul », Gilles Dowek donne pour exemple les axiomes de Tarski : La géométrie élémentaire est décidable. Comme exemple, Gilles Dowek propose de démontrer par le calcul formel que les trois médianes d’un triangle sont concourantes :

En bougeant les points A, B et C on acquiert progressivement la « certitude » que les trois médianes passent toujours par un même point. Mais cette « certitude » est obtenue par un « raisonnement » inductif et le besoin se fait rapidement sentir d’une preuve par raisonnement ou, comme le propose ici Gilles Dowek, par un calcul. Voici une proposition praticable dans le secondaire, le jeu consistant à deviner à quel niveau :

Tout d’abord, il faut choisir un repère où les coordonnées des trois points sont les plus simples possibles, et là il y a un principe à appliquer, qui est à la portée d’un collégien « avant la réforme » :

Si le théorème à prouver parle de distances ou d’angles, le repère doit être orthonormé, sinon on le choisit comme on veut.

Or ici, bien qu’il soit question de milieux, il ne s’agit pas d’une histoire de longueurs mais d’une histoire de rapports de longueurs et le problème est affine et pas euclidien. Pour savoir si la figure est affine ou si elle est euclidienne, le logiciel GeoGebra est utile grâce à ses repères non orthonormés : Si, dans un tel repère, la figure perd ses propriétés, elle est euclidienne, sinon elle est affine. Par exemple si on veut montrer que tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle, on voit bien qu’un repère orthonormé est nécessaire [5] :

Coup de chance, l’exemple choisi par Gilles Dowek est affine, on peut donc choisir comme repère (A,B,C) ce qui fait que les coordonnées de A sont (0,0), celles de B sont (1,0) et celles de C sont (0,1). Alors, pour peu qu’on sache comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment (actuellement au programme de 2^nde), on trouve que les coordonnées du milieu de AB sont (1/2,0) et celles du milieu de AC sont (0,1/2). De plus, les coordonnées du milieu de BC sont (1/2,1/2) et on a directement une équation de la médiane issue de A : y=x.

Pour les deux autres médianes, on doit attendre la 2^nde aussi pour savoir comment calculer l’équation d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points ; on trouve y=1/2-x/2 pour la médiane issue de B et y=1-2x pour l’équation de la médiane issue de C. L’abscisse de leur point d’intersection se trouve alors en résolvant l’équation 1/2-x/2=1-2x qui, elle, est au programme du cycle 4 : On trouve [6] que l’abscisse du point d’intersection de ces deux médianes est 1/3, et en remplaçant x par 1/3 dans une des deux équations, on trouve que l’ordonnée est par exemple 1-2/3=1/3 aussi : Les deux coordonnées sont égales et ∴ le point d’intersection est aussi sur la médiane d’équation y=x CQFD.

Cette démonstration par le calcul est à comparer avec celle pratiquée antan au collège, ici donnée sous forme d’exercice :

Dans la section « La nature de la vérité mathématique » (p.48-50), Gilles Dowek fait allusion au désaccord ontologique opposant mathématiciens platoniciens et anti-platoniciens :

• pour les platoniciens, la vérité d’une proposition mathématique ne dépend pas du fait qu’elle soit démontrée ou non, réfutée ou non : toute assertion mathématique sensée est en soi soit vraie, soit fausse.

• pour le anti-platoniciens, toute assertion mathématique sensée qui n’a été ni démontrée, ni réfutée n’est ni vraie ni fausse. La vérité, c’est ce qui est démontré, la fausseté ce qui est réfuté.

Gödel se range lui même du côté platonicien en interprétant son théorème comme la preuve qu’il y a des assertions mathématiques qui sont vraies sans qu’elles puissent être démontrées. Il envisageait d’ailleurs la position platonicienne comme étant la seule tenable [7].

Concernant la distinction entre les positions pré-citées, le lecteur pourra consulter l’article [8].

Dans la section « De rares théories réductibles au calcul » (p.42-43), Gilles Dowek cite en passant le fait que l’arithmétique n’est pas réductible au calcul.
Il cite aussi le fait qu’au contraire la géométrie élémentaire l’est [9].
Remarquons que c’est aussi le cas de la théorie des nombres réels [10].

Cette comparaison peut sembler paradoxale : si la droite réelle est axiomatisable de façon à devenir complète et décidable, pourquoi n’en va-t-il pas de même de son sous-ensemble des nombres entiers ?

Donnons simplement ici quelques éléments de réponse :

Tout d’abord, quand on dit que la droite réelle axiomatisée [11] est décidable, on entend par là que pour tout système d’équations ou d’inéquations, il existe une procédure de décision déterminant s’il possède ou non des solutions réelles dans un domaine donné.

Rappelons aussi que le calcul des propositions (sans quantificateurs existentiels ou universels) est complet, c’est à dire que toute assertion bien formée y est décidable [12].

La spécificité des nombres réels est que pour vérifier si oui ou non, une équation possède des solutions réelles, il y a toujours possibilité d’éliminer des quantificateurs d’une proposition bien formée.
Par exemple, la proposition
il existe x, ax²+bx+c=0
équivaut à la suivante :
a=0 et b=0 et c=0 ou a=0 et b≠0 ou a≠0 et b≠0 et b²-4ac≥0,
proposition dans laquelle le quantificateur existentiel a disparu.

En conséquence, il est possible quand on travaille avec les nombres réels, de ramener un problème de logique du premier ordre (qui est posé avec des quantificateurs sur les variables) à un problème de logique propositionnelle.
Comme cette dernière est décidable, il en est de même de la droite réelle axiomatisée.

A l’inverse, concernant les nombres entiers, il n’existe pas de formule du type b²-4ac pour savoir si une équation à coefficients entiers possède ou non des solutions entières (théorème de Matiiassevitch) : le problème général de savoir si un entier naturel est solution ou non d’une équation diophantienne est indécidable.

La seconde partie, plus courte mais aussi plus dense que la première, pose la question de l’intérêt que peut présenter une théorie du raisonnement si le bon sens (la chose la mieux partagée selon Descartes) suffit à raisonner correctement : Il n’est pas nécessaire de comprendre comment un vélo tient debout pour faire du vélo !

Elle est articulée en trois chapitres :

1. Plus de questions : la logique, discours sur le discours, a su apporter des réponses notamment en arithmétique dont elle a su organiser en discours les structures logiques. Forte de cette expérience, l’ingénierie à conçu les ordinateurs et aujourd’hui encore, les travaux sur les machines à raisonner (du type langage Prolog) s’inspirent de ces résultats.
2. Plus de réponses : dans ce chapitre, Dowek expose avec clarté et simplicité l’apport de la théorie des modèles pour quelques problèmes mathématiques historiques.
3. De meilleures réponses fait un détour par les fondements de l’analyse non standard et une voie de sortie au conflit réalisme-intuitionnisme (cf. l’ onglet racines) pour montrer comment le raisonnement reste fécond aujourd’hui dans l’élaboration des mathématiques en tant que science logique.

Dans la section concernant le tiers exclu (p.80), Gilles Dowek écrit que selon les platoniciens, les phrases sont vraies ou fausses indépendamment de ce que nous en savons.
Remarquons que la logique épistémique semble être un bon moyen d’axiomatiser cette notion de savoir en terme de modalité. Elle fournit par là même une bonne illustration de l’approche des anti-platoniciens.

Ainsi, en logique épistémique, il y a d’une part les faits pour lesquels il existe une démonstration, d’autre part les agents raisonnants qui connaissent ses faits :

• par exemple, 2+2=4 est un fait démontrable et donc vrai (au sens des anti-platoniciens, c’est à dire des intuitionnistes),
• mais écrire K(2+2=4) c’est ajouter qu’en plus je suis au courant que 2+2=4 (K est l’initiale de « know »).

Parmi les axiomes de la logique épistémique figure l’axiome de la connaissance Kp⇒p. Il signifie que si un agent connaît quelque chose alors cette chose est vraie. Il y a donc bien dans ce type de logique la possibilité d’envisager le vrai comme ce qui est démontré par un sujet connaissant.

Définir ainsi la démontrabilité (ici assimilée à la connaissance) d’une proposition à l’aide d’opérateurs d’une logique modale intuitionniste a d’ailleurs permis à Gödel de montrer la cohérence relative de la logique intuitionniste par rapport à la logique classique. C’est l’objet de l’avant dernière section du livre de Dowek « les intuitionnistes vont-ils prendre le pouvoir ? » (p.84-86).

Le premier exemple que Brouwer avait donné, d’une proposition qu’il ne considérait ni comme vraie, ni comme fausse, est la rationnalité de a^b où

• b = √2 ;
• a = b^b

Avec le logiciel alcoffeethmique on peut explorer numériquement cette situation, en y copiant-collant ce script :

b = racine 2
a = puissance b, b
affiche puissance a, b

Tout adepte du théorème de Pythagore se rappelle que b vaut environ 1,4142135623730951 et que ce nombre est irrationnel. Mais le calcul de a effectué à la ligne 2 donne la valeur approchée 1,632526919438153 qui n’évoque pas de souvenir particulier aux extracteurs de racines en folie que sont les collégiens et leurs profs de maths. Ainsi, on constate numériquement (aux erreurs d’arrondi près) que 1,63252691943815...^{1,414213562373095...} vaut 2, et est donc rationnel d’exposant irrationnel, mais sans savoir (à l’époque de Brouwer) si 1,63252691943815∈Q...

Entre-temps on a trouvé que non. Mais jusque là, alors que pour un platonicien, ce nombre est une fraction ... ou pas, pour Brouwer ce n’était a priori ni l’un ni l’autre. Ce qui a déclenché semble-t-il des réactions assez vives, on le conçoit...

Pour Gilles Dowek, la discussion est de nature sémantique parce qu’elle porte sur le sens du mot « ou » qui, chez le platonicien à le sens classique alors que pour les intuitionnistes, A ou B signifie plutôt il existe une démonstration de A ou il existe une démonstration de B.

A l’issu de la lecture du livre de Gilles Dowek, on peut se demander si son auteur penche ou non du côté des platoniciens.
Faisons simplement remarquer sur ce point que la présentation de l’intuitionnisme apparait en toute fin d’ouvrage (Les intuitionnistes vont-ils prendre le pouvoir, p.84-86).
Dans ce même chapitre, Dowek discute de plus le fait que les deux points de vue sont interprétables l’un dans l’autre au prix d’un éclaircissement du sens des connecteurs logique comme « et », « ou », « si », « il existe »... Le « non » n’est pas listé.
Notons tout de même que le refus intuitionniste du tiers exclu ne s’interprète pas seulement comme une discussion sur le sens du mot « ou » (j’accepte ou je n’accepte pas comme vraie la proposition A ou non A, cf. l’onglet Racines) mais aussi comme une discussion sur le sens du mot « non ».
En effet, en logique intuitionniste, la double négation n’a pas le même sens qu’en logique classique. Gilles Dowek fait d’ailleurs remarquer (p.85) comment Gödel a pu, en interprétant la double négation comme un opérateur logique, traduire les opérateurs aristotéliciens en opérateurs de la logique intuitionniste.

On en (méta)déduit la cohérence de la logique classique par rapport à la logique intuitionniste, ce qui boucle la boucle entamée dans l’onglet « Savoir II » : Il est illogique de trouver illogique la logique intuitionniste ;-)