Diviser 7800 par 166

Avec la division de fer

🍐On veut partager 7800 poires entre 166 soldats. Combien chaque soldat aura-t-il de poires ? Combien restera-t-il de poires après le partage ?🍐

On pose le diviseur 166 en haut :

CM XM M C X I
1
6
6

Pour la division de fer, on se simplifie les calculs en utilisant, à la place du vrai diviseur, une valeur approchée par excès la plus simple possible. Par exemple 200 (qui s'écrit avec un seul chiffre). On ajoute alors, par-dessus le diviseur 166, son complément à 200 qui est 34 :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6

On remarque que cette étape ne dépend pas du dividende : diviser par 166 se fera en divisant par 200 et multipliant par 34, quel que soit le nombre à diviser par 166. Ce nombre, c'est 7800, qu'on pose ensuite :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
7
8

On commence donc par diviser 7000 par 200 (en fait le quotient est 35, mais pour avoir des étapes de calcul simples, on ne regarde que les 30 et on se réserve les 5 pour plus tard) :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
7
8
3

Maintenant comme 2×3=6, 200×3=6000 et non 7000, on garde donc 1000 parmi les 7000. On place aussi les produits de 30 et 4 par le quotient partiel 30 :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
1
8
9
1
2
3

On purge le reste :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
2
8
2
3

Le quotient de 2000 par 200 est 10 :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
2
8
2
1
3

Et le produit de la différence 34 par 10, est 340 :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
8
2
3
4
1
3

On itèrera après une nouvelle purge :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
1
1
6
1
3

En divisant 1000 par 200, on a 5 :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
1
1
6
1
3
5

On enlève donc 1000 du reste, et on ajoute les produits de 30 et 4 par le quotient 5 :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
1
6
1
5
2
1
3
5

On simplifie à nouveau par des additions :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
3
3
1
3
5

On en a enfin fini avec les milliers, alors on divise 300 par 200, le quotient est 1 :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
3
3
1
1
3
5

Dans la division de 300 par 200, il reste 100. Et on multiplie 1 par 34 :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
1
3
3
4
1
1
3
5

On simplifie à nouveau par une addition :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
1
6
4
1
1
3
5

164 étant inférieur à 200, on a fini la division, moyennant une dernière purge. Le reste est déjà visible, c'est 164, et le quotient est pour l'instant écrit sous la forme 11+35 ou 10+30+1+5, on simplifie :

CM XM M C X I
3
4
1
6
6
1
6
4
4
6

Abélard de Bath conseille de vérifier par le calcul (une multiplication plus l'addition du reste) que le quotient est bien 46.

Chaque soldat recevra 46 poires (les soldats d'Abélard de Bath sont végétariens apparemment), et il restera 164 poires non partagées. On peut s'en servir pour ériger un monument à la gloire de Sylvestre II à qui nous devons la division de fer.