Les nombres de la forme $n^2+n+41$ ont depuis longtemps intéressé les mathématiciens. Euler fit remarquer que pour n = 0, 1, 2, ..., 39, ils sont tous premiers. Un article récent de Daniel Perrin explique pourquoi et renseigne également sur les nombres premiers de cette forme pour des valeurs de $n$ au delà de 41.
Un nombre composé est un nombre entier naturel différent de 1 qui n’est pas premier. Le travail qui suit porte sur un ensemble de nombres composés de la forme $n^2+n+r$. Notre objectif est triple :
- Observer : écrire de petites lignes de calculs pour utiliser le logiciel Xcas afin d’observer des ensembles de nombres (le logiciel joue le rôle de la lunette de Galilée, les astres étant les nombres).
- Conjecturer : émettre des conjectures à propos des ensembles observés.
- Démontrer : essayer d’étayer le tout par de l’arithmétique élémentaire.
Ce travail nous permettra de faire connaissance avec la conjecture de Catalan (au moins dans un cas particulier).
Sommaire
- Introduction
- Première partie
- L’ensemble $A_r$
- Trois observations sur le cardinal de $A_r$
- Les deux formes du cardinal de $A_r$
- La conjecture (C)
- Les ensembles dont le cardinal est 12
- Deuxième partie
- Examen de la première observation
- La conjecture (C) résolue
- Examen de la troisième observation
- Compléments sur les éléments de $A_r$
- La propriété (P)
- Inclusions
- Ensembles à quatre éléments
- $r$ est impair
- $r$ est pair
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