1. Dérivée ponctuelle

C’est le point de vue du programme officiel, classe de première S. En respectant la conception de dérivée ponctuelle en x, on définit pour chaque x et pour chaque h ≠ 0 le taux d’accroissement :

$f_h (x) = \frac{|x + h|-|x|}{h}$.

1° Pour x < 0, x fixé, et |h| < – x, réécrire f_h(x) sans utiliser | |. En déduire :
f_h(x) tend vers – 1 lorsque h tend vers 0.
Ainsi, la fonction valeur absolue : $x \mapsto |x|$, restreinte à x < 0, admet – 1 comme dérivée.

2° Pour x > 0, x fixé, et |h| < x, réécrire f_h(x) sans utiliser | |. En déduire :
f_h(x) tend vers + 1 lorsque h tend vers 0.
Ainsi, la fonction valeur absolue : $x \mapsto |x|$, restreinte à x > 0, admet + 1 comme dérivée.

3° Pour x = 0 et h < 0, réécrire f_h(x) sans utiliser | |. En déduire :
f_h(0) tend vers – 1 lorsque h tend vers 0 par valeurs strictement négatives.
Pour x = 0 et h > 0, réécrire f_h(x) sans utiliser | |. En déduire :
f_h(0) tend vers + 1 lorsque h tend vers 0 par valeurs strictement positives.
Ainsi, on peut dire qu’on a une dérivée à gauche égale à – 1, une dérivée à droite égale à + 1, et, par voie de conséquence, absence de limite pour h tend vers 0, h ≠ 0 :
il n’y a pas de dérivée ponctuelle pour $x \mapsto |x|$ au point 0.

4° Dessiner un repère orthonormé, avec 5 cm comme unité, les axes étant représentés par un tracé extra fin. Représenter, dans ce repère, la fonction dérivée, aainsi obtenue, sur son ensemble de définition (on utilisera un
tracé en noir plus fort que celui des axes).

2. Dérivée globale graphique

Nous proposons ci-dessous une autre approche. Comme précédemment formons le taux d’accroissement, que l’on considère désormais, pour chaque h ≠ 0 fixé, comme une fonction f_h de la variable x :

$f_h (x) = \frac{|x + h|-|x|}{h}$.

1° Pour h < 0, réécrire, sans utiliser | |, f_h(x) en distinguant trois intervalles :

• x ≤ 0
• 0 ≤ x ≤ – h
• – h ≤ x.

Pour h > 0, réécrire, sans utiliser | |, f_h(x) en distinguant trois intervalles :

• x ≤ – h
• – h ≤ x ≤ 0.
• 0 ≤ x.

2° Représentez graphiquement dans un nouveau repère orthonormé identique à celui de 1.4°, f_h pour quelques valeurs de h de plus en plus petites en valeur absolue, par exemple :

• h = – 0,5 et h = + 0,5
• h = – 0,2 et h = + 0,2
• h = – 0,1 et h = + 0,1
• h = – 0,02 et h = + 0,02.

Utiliser, si possible, quatre couleurs différentes, autres que le noir, correspondant à chacune des lignes précédentes.
Constater que lorsque h se rapproche de 0, le graphe de f_h se rapproche d’une ligne brisée (L) constituée d’un segment de droite "vertical" et deux demi-droites "horizontales". [1]

3° On propose d’exprimer formellement ce qui précède en termes de limite.
Comment est faite la région du plan située entre le graphe de f_h et (L) ? Évaluer son aire et montrer qu’elle tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

4° (L) peut-être considérée comme la "dérivée globale graphique" [2] de $x \mapsto |x|$. Tracer cette ligne brisée en trait noir fort et remarquer quelle peut être tracée sans lever le crayon, en ce sens :
la dérivée globale graphique de $x \mapsto |x|$ est "continue".
Comparer avec ce qu’on a obtenu en 1.4°.