Activités guidées sur les points et segments

Dans une première phase, l’activité est menée par l’enseignant qui présente les fonctionnalités du logiciel CaRMetal aux élèves à l’aide du vidéoprojecteur, dans cet ordre :

• la palette restreinte avec les outils généraux d’action ;
  
• l’inspecteur d’objets.
  

Un document récapitulatif de la palette de CaRMetal est donné aux élèves qui pourront en disposer si nécessaire lors des séances suivantes.

Les élèves doivent créer deux points A et B et les déplacer en utilisant l’icône « déplacer » puis le Monkey.

Dans cette vidéo, un élève explique à sa camarade comment faire pour créer les deux points demandés ; on constate déjà une certaine aisance chez cet élève à exprimer sa démarche de construction.

Dans ces deux extraits vidéos précédents les élèves découvrent le Monkey et les effets de celui-ci sur les points créés.

Dans l’inspecteur d’objets, ils peuvent aussi changer la couleur, la forme des points et activer leurs traces. A partir de ces deux points A et B, les élèves tracent ensuite le segment [AB] et de nouveau le déplacent.

Ici, les élèves, impatients de faire comme leurs voisins, n’hésitent pas à demander, à questionner leurs camarades sur la manière de faire ce qui est demandé.

Avec le Monkey, le segment se déplace tout en « changeant » de longueur, constatent les élèves. Ce qui est normal car le Monkey fait bouger l’ensemble de la figure et non un objet uniquement.
Nous observons qu’une grande majorité des élèves, quand ils veulent déplacer le segment, cliquent non pas sur l’objet segment mais sur l’une de ses extrémités c’est à dire les points. Nous constatons aussi ce comportement chez des étudiants de Master PE mais aussi chez des professeurs des écoles titulaires lors de stage de formation continue. En effet, il ne semble pas naturel de prendre le segment.

Activité sur le triangle des milieux

Les élèves tracent un triangle ABC puis placent les milieux I, J et K des segments respectifs [AB], [AC] et [BC]. Ensuite ils tracent le triangle IJK.
Nous leur demandons par la suite de manipuler les points A, B et C et de dire ce qu’ils constatent. Nous voulons leur faire prendre conscience des propriétés invariantes de cette figure.

La construction du triangle.

Bien que le triangle soit une figure connue depuis la maternelle, sa construction nous a réservé quelques surprises.
Sur la vidéo suivante, une élève construit un triangle (construction juste par ailleurs) mais son camarade lui dit que ce qu’elle a fait n’est pas un triangle.

Quand on lui demande de justifier ce qu’il avance, il répond dans un premier temps qu’il y a des angles (ce que sa voisine s’empresse de répondre qu’il n’y a pas d’angle dans un triangle car si on met une équerre cela ne rentre pas). Première conception erronée sur les angles, cette élève assimile les angles à des angles droits.
Par la suite nous demandons à cet élève de construire un triangle, ce dernier s’applique de manière à faire des côtés de longueur identique. Ses explications nous indiquent que sa représentation du triangle est dans une configuration prototypique « inversé » (triangle équilatéral avec « la pointe vers le bas » (issu du vocabulaire élève)). On constate ici la prégnance de figure prototypique chez cet élève.

De manière générale, les figures simples sont mémorisées et reconnues par le biais de dessins les représentant : ce qui permet de mémoriser généralement un ensemble de propriétés géométriques. Les élèves enregistrent plus ou moins bien cela.

La figure (triangle dans notre cas) mémorisée par cet élève est donc marquée de caractères particuliers (pour cet élève l’équilatéralité) et de disposition ou d’orientation (pointe vers le bas ou le haut par exemple). Inconsciemment la forme prototypique mobilisée par cet élève sert de « patron de comparaison » avec ce qu’il voit à l’écran. La mobilisation de cette forme prototypique (triangle équilatéral) oriente la prise d’indices sur la figure construite par sa camarade pour finalement lui faire dire que cela ne répond pas à la définition que lui, a du triangle.
Il faut savoir que le triangle équilatéral est très présent dans le matériel utilisé en maternelle surtout avec les blocs logiques (dans ce type de matériel on ne trouve la plupart du temps que des triangles équilatéraux petits, moyens et grands).

« Les figures prototypiques peuvent aider au travail géométrique mais leur particularité peut être source de difficulté pour reconnaître une figure géométrique. »

Par la suite, lorsqu’il utilise le Monkey, le triangle qu’il a soigneusement construit c’est à dire perceptivement équilatéral, se déforme sans conserver ni ses propriétés spatiales ni ses propriétés d’équilatéralité. Ce qui fait dire à cet élève dubitatif, qu’il n’a plus un triangle. La déstabilisation est importante car l’élève est perturbé dans ses représentations.
L’élève a focalisé son attention sur certaines propriétés de la figure plutôt que sur d’autres. Il y a comme une résistance à se détacher de cette forme visuellement reconnue. Cette appréhension perceptive spontanée (ici, du triangle équilatéral) peut bloquer l’appréhension mathématique de l’objet triangle (trois sommets, trois côtés). Il est donc nécessaire de présenter aux élèves des figures variées avec des différences d’orientation, de propriétés et pas uniquement un cas particulier de figures.

Le Monkey a donc brisé la représentation du triangle de cet élève. Le milieu a modifié le rapport « au vrai » pour cet élève. De manière générale, comprendre et interpréter les effets d’une déformation (le mouvement déforme la figure ce qui diffère du déplacement d’un seul point) est une véritable difficulté pour les élèves. Il n’y a pas forcément d’analyse mathématique et les effets de la déformation sur les propriétés géométriques ne sont pas toujours compris. Dès les petites classes, les élèves sont amenés à déplacer les objets : il y a donc une représentation du mouvement d’une figure qui est essentiellement un déplacement composé de translations et rotations (de gabarits) et ensuite éventuellement de retournements, ce qui peut entraîner une représentation fausse du « mouvement » car ce sont des mouvements de pièces solides alors que la géométrie dynamique a une notion du mouvement différente, celle du point. Il semble donc que déplacer les objets ne suffise pas à construire les propriétés de ces derniers.
Finalement, on peut voir le Monkey comme un « modificateur global » qui est une aide sérieuse à l’instrumentation initiale mais qui peut être ensuite une limite à la compréhension fine.

Le triangle des milieux

Dans cette vidéo, nous suivons la construction et les échanges sur un groupe puis la mise en commun sur cette construction ; lors de cette mise en commun, l’enseignant insiste sur la mise en mots de ce qui est fait par l’élève.
Les échanges au sein du binôme permettent d’ajuster la construction. L’enseignante se permet à un moment de rappeler comment utiliser l’icône milieu (n’oublions pas qu’il s’agit de la première séance sur ce logiciel). On note aussi que certains élèves sont « experts » dans la nommage anticipé des points.
Dans la deuxième partie de la vidéo (mise en commun), une fois les milieux placés, nous demandons à l’élève d’utiliser le Monkey et de dire ce qui se passe pour les points I, J et K. Tous ne sont pas d’accord : ils « changent de place » ou non... La vision « 3D », pour reprendre l’expression d’un élève (bien entendu, il n’y a pas de 3D ici !), gêne la perception de ce qui se passe. Nous demandons alors à l’élève de tracer le triangle IJK et là, la réponse devient évidente : les milieux « sont toujours à leur place ».

Des erreurs de construction

Le Monkey permet à ce groupe d’élèves de constater que le triangle IJK n’a pas été construit correctement : un des points a été placé certainement de visu au milieu d’un segment. Suite à ce constat, ils recommencent le tracé des milieux.
L’avantage d’utiliser un logiciel de géométrie dynamique tient aussi au fait que la réversibilité des actions est possible de manière extrêmement rapide : les élèves recommencent donc sans « rechigner » contrairement à ce qu’on aurait pu avoir en environnement papier-crayon.

Autre activité sur le triangle

La dernière partie de cette séance reprend la construction d’un triangle mais cette fois-ci à partir de droites (AB), (BC) et (CA). Sur la droite (AB), on place un point M, sur la droite (BC) un point N et sur la droite (AC) un point P.

De manière générale, les élèves placent les points entre les points A et B mais pas du tout à l’extérieur du segment [AB] : est-ce dû à l’activité précédente ?
Après avoir fait placé un point à l’extérieur du segment [AC], nous demandons aux élèves de tracer le triangle MNP.
Par la suite, deux questions sont posées de manière séparée dans le temps :

1. Comment faire pour que le triangle MNP soit à l’intérieur du triangle ABC ?
2. Comment faire pour que le triangle ABC soit à l’intérieur du triangle MNP ?
   

Contrairement à l’environnement papier-crayon, l’environnement de la géométrie dynamique permet de tester, d’expérimenter des hypothèses beaucoup plus facilement comme nous allons le voir.

Le triangle MNP à l’intérieur du triangle ABC.

Pour répondre à cette question, les élèves pensent à « rétrécir » le triangle et de ce fait ils utilisent le zoom mais cela n’a pas l’effet escompté. Par la suite, ils déplacent les points M, N et P. Dès que l’un des points se déplace sur la droite, certains élèves commencent à comprendre ce qu’il faut faire. A partir de ce moment ils nous disent qu’il faut placer le point P dans le triangle ABC. Or ce terme n’est pas adéquat avec ce que l’on attend, nous leur demandons de réaliser l’action qu’ils pensent être correcte, afin de rectifier le vocabulaire utilisé : le point P n’est pas dans le triangle mais sur le segment [AC].
Même si les élèves connaissent les mots droite, segment... ils ont malgré tout du mal à les utiliser en situation.
Nous remarquons aussi que la prégnance du spatial (avec l’utilisation des mots rétrécir, agrandir, dans...) est encore très forte.

Le triangle MNP à l’extérieur du triangle ABC.

De nouveau l’élève utilise le terme agrandir mais cette fois-ci accompagné de la bonne action c’est à dire le déplacement des points M, N et P. Les élèves disent que l’on a donc éloigné les points pour avoir le triangle MNP à l’extérieur du triangle ABC.
L’enseignant demande de préciser ce qu’ils entendent par « éloigné les points » en posant la question « où se trouvent ces points ? »

Conclusion de la séance 1

On retiendra de cette séance l’importance donnée à la verbalisation, la mise en mots des actions menées par les élèves ou des argumentaires. L’enseignant a donc ici un rôle primordial lors des mises en commun et des institutionnalisations.

Cercle report de longueur

Lors de la première activité, nous proposons aux élèves de reproduire un triangle ABC à partir du point A’ qui est sur une droite, en utilisant le cercle report de longueur.
Dans un premier temps, nous demandons aux élèves comment on peut faire dans l’environnement papier crayon. L’une des premières réponses est « on utilise la règle et on mesure ». On constate ici la prégnance de la mesure dans les activités de reproduction. Même en réduisant le choix des instruments possibles (en interdisant tout instrument gradué), nous n’avons eu aucune réponse correcte de la part des élèves c’est à dire on utilise le compas.

Ainsi lorsque nous leur proposons le compas comme outil pour la reproduction du triangle et reporter des longueurs, un élève interloqué, nous dit que le compas sert à faire des cercles. Peut-être est-ce dû au fait qu’une des premières rencontres de l’instrument compas ne se fait que pour tracer des cercles. En effet nombre d’ouvrages et de fichiers proposent des exercices de manipulation du compas pour reproduire essentiellement des figures avec des cercles (je pense tout particulièrement aux rosaces). De plus on constate souvent que l’on demande de reproduire des figures en mesurant avec la règle, écartant ainsi les reproductions avec le compas.

Le compas

Sur le plan étymologique le mot compas (XII^e siècle) signifie « mesurer avec le pas » c’est à dire que le compas était un instrument de mesure servant pour des reports réguliers puis servant à tracer des objets mathématiques : « instrument servant à mesurer des longueurs et à tracer des circonférences » (Gloss. de Tours ds Bibl. de l’Éc. des Chartes, V, 1869, p. 330 ds T.-L.). On peut penser que cette approche est la même pour des élèves.

Cependant la fonction de transporteur de distance ne semble pas si évidente pour tous les élèves. C’est par le faire et donc le tracé que l’élève découvre des propriétés géométriques. En apprentissage et en renforcement, il faudrait permettre à l’élève de se familiariser avec le compas en tant qu’outil « transporteur de distance » les préparant ainsi aux futurs tracés géométriques et reproductions de figures.

Après avoir construit le cercle, nous souhaitons le cacher afin de ne pas surcharger la figure par les constructions intermédiaires. Nous en profitons donc pour présenter aux élèves deux outils qu’ils pourront aussi réutiliser lors des prochaines séances : l’outil cacher et supprimer.
Il est essentiel de distinguer le fait de supprimer un objet et par conséquent tout ce qui en dépend c’est à dire ce qui est construit à partir de celui-ci, et cacher un objet qui signifie le rendre invisible. Ce dernier outil est important, surtout lors des constructions de figures. Cet outil cacher a été souvent nommé « gomme » par les enseignants du fait de la ressemblance de son icône avec le dessin d’une gomme. Mais cela peut poser problème pour la compréhension de son action sur la figure.

Cacher et Supprimer

Nous demandons aux élèves de cliquer sur l’icône cacher puis sur le cercle qu’ils viennent de construire. Et nous les questionnons sur ce qui se passe.

La réponse attendue étant que le cercle disparaît mais le point B’ est toujours là.
En fait le cercle n’est plus visible mais il est toujours présent. On peut le faire
réapparaître en utilisant la « baguette magique » dans l’onglet édition juste à côté de l’outil cacher. Pour cela on clique sur cette icône (le cercle réapparaît) puis de nouveau sur le cercle.

Nous procédons de manière identique pour l’outil supprimer avec le même questionnement (Consignes : « cliquez sur l’icône supprimer puis sur le cercle que l’on vient de construire. » Question : « Que constate-t-on ? »).

La réponse attendue est que le cercle disparaît et le point B’ aussi.
En effet c’est comme si on gommait la figure ; le cercle est donc supprimé avec le point B car celui-ci a été construit avec le cercle donc appartient au cercle. Rappelons donc que l’outil « supprimer » supprime tous les objets créés et ceux qui en dépendent.

Les élèves construisent le point B’, ce dernier est le point d’intersection entre la droite passant par A’ et le cercle de rayon AB et de centre A :
Ensuite nous questionnons les élèves sur les segments [AB] et [A’B’].

Par la suite les consignes sont les suivantes : « Vous allez cacher le cercle que l’on vient de construire. Attention il doit vous rester le point B’. En utilisant le cercle report de longueur reproduire la longueur AC à partir de A’. De même reproduire la longueur BC à partir de B’. Comment construire le point C’ ? » .
On veut que les élèves nous disent que le point C’ est à l’intersection des deux cercles construits. Il y a deux intersections donc deux possibilités pour C’.

Les élèves choisissent un des deux points (en fait il y a un triangle direct et un autre indirect ; on peut leur dire qu’ils verront plus tard que ces triangles sont symétriques.)

Cette construction ne présente pas de difficulté majeure pour les élèves qui finalement se contentent de suivre les différentes instructions données par l’enseignant.

Cercle de rayon fixe

La deuxième partie de la séance porte sur l’utilisation du cercle de rayon fixe.
Voici le programme de construction que les élèves doivent suivre :

• Cliquez sur l’icône cercle de rayon fixe.
  
• Fixer son rayon à 2 dans l’inspecteur d’objets.
  
• Prendre un point A (le mettre en bleu) sur ce cercle.
  
• Cliquez de nouveau sur cercle de rayon fixe dont le centre est A.
  
• Fixer son rayon à 2 dans l’inspecteur d’objets.
  

Nous questionnons ensuite les élèves : « M est le « point de contact » des 2 cercles. Que constate-t-on ? »

On s’attend à ce que les élèves nous répondent que AM est le diamètre du petit cercle et le rayon du grand cercle.
Mais les élèves ne réussissent pas vraiment à mobiliser de manière correcte le vocabulaire attendu et surtout la relation entre le diamètre et le rayon des cercles concernés.
Remarquons que c’est un attendu qui se situe plutôt au niveau du CM1 (cf. B.O. 2008 p. 39 dans les tableaux de repères pour l’organisation de la progressivité des apprentissages : - Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d’un cercle, rayon, diamètre.)

Dans cette vidéo, on constate la difficulté qu’ont les élèves à utiliser le vocabulaire adéquat pour justifier ou expliquer. Le terme « diamètre » n’est apparu que très tardivement : les élèves parlent plutôt des 2 côtés du cercles ou des extrémités.

Les explications que l’on peut donner sont les suivantes : c’est parce qu’on a l’ensemble des points qui sont à 4, et sur le cercle de rayon 2, il n’y a qu’une corde qui mesure 4 c’est le diamètre (c’est la plus grande distance, la plus grande corde).

Conclusion de la séance 2

Durant cette séance, la mise en mots est particulièrement difficile, ce qui nous fait dire qu’on ne peut pas se contenter de la construction et que ce type d’activité (argumentation, justification) doit être repris peut-être un peu plus souvent afin que les élèves donnent du sens aux notions géométriques rencontrées.

Cercle circonscrit

Nous reprenons la figure de la séance 1 (sur le triangle des milieux) et nous demandons de tracer les cercles passant par les points cela pour vérifier que les élèves cliquent sur les points.
Si les élèves demandent pourquoi il a un cercle passant par 3 points (c’est comme quand on leur dit qu’il y a une perpendiculaire passant par un point) on peut leur dire qu’ils le verront plus tard.
Cette activité est accessible immédiatement, elle n’a pas de contenu mathématique parce qu’on ne s’intéresse pas à cela. Elle va permettre de voir si les élèves cliquent bien au bon endroit et on validera facilement car les trois cercles doivent être concourants.

Voici le programme de construction :
Tracer une droite (AB).
Tracer une droite (BC).
Tracer une droite (AC).

Tracé des droites

Placer le milieu de [AB], le nommer M. 
Placer le milieu de [AC], le nommer N.
Placer le milieu de [BC], le nommer P.

Tracé des milieux

Les élèves ont encore des difficultés ou oublient de cliquer au bon endroit ; le fait de pouvoir revenir en arrière de manière rapide permet de remédier facilement à l’erreur de construction. Des rappels sont nécessaires pour indiquer comment changer le nom d’un objet après sa construction.

En cliquant sur l’icône cercle passant par 3 points (on fait juste remarquer aux élèves qu’il s’appelle cercle circonscrit mais que nous, on utilise le terme de cercle passant par 3 points), puis sur les points A, M et P, tracer le cercle passant par ces 3 points.

Tracé des cercles circonscrits

Quelques erreurs apparaissent : les élèves ne cliquent pas par exemple, sur les bons points.

Faire de même avec les points B, M, N puis avec les points C, M, P.
Question : « Que remarque-t-on ? »

Remarques

Le dessin de cette figure est particulièrement difficile à lire pour nos élèves ; ainsi pour les aider nous décidons de leur faire nommer les cercles par leur couleur.

Les cercles se coupent entre eux et les trois cercles se coupent en un même point. Les cercles sont donc concourants* en un point M. (*ce terme n’est pas utilisé avec les élèves)

Cercle défini par un centre et un point

La dernière phase de travail sur les cercles porte sur l’icône cercle défini par un centre et un point souvent ajustement du cercle au jugé, sans construire le cercle passant par un point. Cela vient naturellement de l’usage du compas dans l’environnement traditionnel. Le compas est d’abord un instrument de report de longueur : une fois l’ouverture donnée, on peut commencer le cercle où l’on veut. Les élèves transposent cela dans l’usage du compas logiciel : ils cliquent comme s’ils posaient le crayon quand l’ouverture du cercle leur semble - à vue - correcte. Mais le compas de la géométrie dynamique ne fonctionne pas comme cela : le rayon est donné par le second clic, et il faut un petit apprentissage pour s’approprier cet outil. »

Yves Martin, Premières activités de Géométrie dynamique en primaire : quelques
pistes, IREM de la Réunion (2010)

Voici les différentes étapes de la construction :

• Tracer le cercle de centre A et de rayon AB. (ce sera notre premier cercle)
  
• Tracer le cercle de centre B et de rayon BA.
  
• Il coupe le premier cercle en deux points C et D.
  
• Tracer le cercle de centre C et de rayon AC.
  
• Il coupe le premier cercle en un point E.
  
• Tracer le cercle de centre E et de rayon AE.
  
• Il coupe le premier cercle en un point F.
  
• Tracer le cercle de centre F et de rayon AF.
  
• Il coupe le premier cercle en un point G.
  
• Tracer le cercle de centre G et de rayon AG.
  
• Tracer le cercle de centre D et de rayon AD.
  
• Qu’obtient-on ?
  

On peut travailler comme cela d’autres rosaces :
reprendre le même programme puis demander de prendre les milieux respectifs I, J, K, L, M, N de CD, DE, EF, FG, GB et BC . Puis de tracer les cercles respectifs de centre respectifs I, J, K, L, M, N et de rayons respectifs IA, JA, KA, LA, MA et NA.
Faites jouer votre imagination.
Et enfin pour finir, nous leur proposons une activité de tracé de cardioïdes.

On peut faire varier le nombre de points sur le cercle initial grâce au curseur.

Conclusion de la séance 3

Cette séance est résolument tournée vers l’instrumentation sur les cercles. Certains élèves excellent quand il s’agit de construire ses derniers.
On constate aussi que les élèves arrivent à suivre un programme de construction assez facilement.

Première partie de la séance

Cette séance nous permet de retravailler les concepts de parallélisme et de perpendicularité.
Sur le premier fichier, une droite (AB) est donnée (elle a été construite parallèle à l’axe) ; les élèves doivent tracer une deuxième droite quelconque qui passe par le point A. Puis ils testent la perpendicularité des deux droites.

Remarques

Contrairement à ce que l’on aurait cru, les élèves construisent majoritairement perceptivement une droite perpendiculaire à (AB). D’où leur étonnement quand ils procèdent au test perpendiculaire et que le logiciel leur renvoie la réponse suivante : « les objets ne sont pas perpendiculaires. »
D’ailleurs ils argumentent en disant que si on avait une équerre, elle « rentre » dans l’angle donc on a bien un angle droit.

D’un point de vue perceptif, les élèves ont raison. Rappelons simplement qu’au cycle 3 les propriétés sont vérifiées par l’utilisation des instruments : « L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. » (B.O. n° 8 p. 23)
Les élèves ne cherchent pas à contredire le logiciel mais la perception du dessin peut être telle que certains élèves n’arrivent pas à remettre en cause ce qui est vu et perçu.

Après avoir retracer la droite passant par A de manière à ne pas avoir visuellement, une perpendiculaire, on s’intéresse à l’angle en traçant l’angle CAB. (Dans la préparation de la palette restreinte, il faut bien faire attention d’enlever la mesure de l’angle car ce n’est pas au programme du cycle 3). Les élèves bougent ensuite la droite (AC) pour rendre les deux droites perpendiculaires.

A un moment donné, quand on déplace la droite, les élèves vont voir qu’il se passe quelque chose : le signe de l’angle devient droit et le texte du test change. Il y a ici deux registres : le registre graphique et le registre visuel (la forme de l’angle change).
Il faut cependant ne pas aller trop vite comme nous le montre cette vidéo :

Le fait de pouvoir manipuler les objets, de déplacer des points… bref le dynamisme de cette figure permet d’avoir un terrain propice à l’expérimentation. De plus l’exploration est rapide. Cette activité n’aurait pas du tout été envisageable en environnement papier-crayon.

Des erreurs
Dans un groupe, même après avoir rendu les deux droites perpendiculaires, le test indique le contraire. Il est aisé d’en conclure qu’il y a eu une erreur dans le choix des objets à tester car sur la figure l’angle qui apparaît, est bien un angle droit.

Après être revenu à la configuration initiale (c’est à dire deux droites sécantes), les élèves tracent une parallèle à la droite (AB) passant par C.

• Des erreurs dans le choix de l’outil :
  Dans cette vidéo, l’élève dit bien ce qu’il a choisi pour construire la droite parallèle mais à l’évidence, il y a eu une erreur quand il a cliqué sur l’icône car la droite construite n’est pas parallèle.

• Des erreurs dans les choix des objets à tester :
  Dans cette vidéo, l’élève obtient une réponse négative au test parallèle car il n’a pas cliqué sur les bons objets.

Lors de la mise en commun sur

Lors de la mise en commun sur la construction de la parallèle, un groupe annonce qu’il n’a pas construit la droite à partir de l’outil parallèle mais uniquement à partir d’une simple droite. Une élève intervient alors pour indiquer que cette droite n’est pas parallèle car elle peut « pencher » un peu. Cette élève a dépassé le stade du visuel et est déjà entrée dans une géométrie des propriétés.

On demande alors aux élèves de déplacer de nouveau la droite (CA) pour qu’elle soit perpendiculaire à (AB) puis on les questionne pour savoir si elle est perpendiculaire à la droite passant par C. On met ici en oeuvre les propriétés (double perpendicularité).

Une élève tente une explication mais se trompe (erreur d’inattention ?) : « la droite (CD) est parallèle à la droite (AB), et la droite (AB) et la droite (AC) sont parallèles (l’erreur est ici, en fait les droites sont perpendiculaires) donc la droite (CD) est parallèle à (AB) car elle est exactement placée »pareille« que la droite (AB) ». Ici l’élève termine sa justification par une remarque visuelle sur la position de la droite, comme pour appuyer son argumentation précédente.
La vidéo se termine sur le fait que pour être sûr il faut faire un test. Les élèves ont bien intégré l’utilisation des tests.

Cela permet entre autre d’explorer les questions suivantes :
« Une droite perpendiculaire à une des parallèles est-elle forcément perpendiculaire à l’autre ? » ou « Une perpendiculaire à une perpendiculaire à une droite est-elle toujours parallèle à la première ? ».
On peut même institutionnaliser sur la construction de parallèle en proposant par exemple : « Pour tracer une droite parallèle à une droite d et passant par un point A, on peut tracer une perpendiculaire à d passant par A, puis tracer une perpendiculaire à cette dernière. »
Dans cette activité, le déplacement permet de conjecturer sur une propriété.

Pour vérifier cela les élèves tracent l’angle ECF. En déplaçant de nouveau la droite (AC), le signe de l’angle devient droit. (De même le test parallèle avec les droites (AC) et (EF) est positif).

Malgré l’indice visuel sur l’angle droit, l’élève a besoin de confirmer cela avec le test perpendiculaire.

Ce dont on va s’apercevoir c’est que si on arrive à avoir l’angle droit, à la fois les droites sont perpendiculaires et les deux autres droites sont parallèles.
Cela permet de dire aux élèves (c’est une propriété, on est dans l’argumentaire) que quand on a deux angles droits les droites sont parallèles. Et en fait c’est la définition même du parallélisme.

Deuxième partie de la séance

La figure de départ est reprise ((AC) et (AB) deux droites perpendiculaires. Consulter la fiche pédagogique associée pour les étapes de la construction)
Après avoir tracé une droite passant par B qui coupe la droite (CF) en H puis tracer l’angle HBI, les élèves font le test perpendiculaire sur les droites (AB) et (CH).

Comme précédemment, les élèves manipulent la droite (BH) pour voir ce qui se passe.

On vient de dire que quand (AB) et (AC) sont perpendiculaires et (CH) et (AC) sont perpendiculaires, les deux droites (AB) et (CH) sont parallèles.
Si on ajoute une perpendiculaire à (AB) passant par B, on sait qu’elle sera perpendiculaire à (CF). Là il y a un angle droit, donc du coup, (AB) et (CF) sont perpendiculaires à (CH) cela veut dire que ces droites sont parallèles.

Dans un premier temps on peut se contenter de remarquer que si il y a trois angles droits, il y en a quatre. Mais ce n’est pas pour cela qu’on le fait ; en définitive, on a quatre angle droits donc c’est un rectangle (on vérifie qu’il y a un quatrième angle droit avec le test).

On peut faire remarquer aux élèves que c’est un rectangle certes, mais de temps en temps le rectangle va devenir un carré.
C’est intéressant car cela montre ce qui est difficile à comprendre en CE2 : si la définition du rectangle c’est avoir quatre angle droits alors un carré est un rectangle particulier. C’est un changement de paradigme important parce que jusqu’avant le CE2, rectangle et carré sont deux figures différentes. Maintenant comme on commence à rentrer dans les propriétés des objets, on va dire que ce ne sont pas des figures différentes mais qu’il y en a une qui est un cas particulier de l’autre.
Là encore seul l’environnement de géométrie dynamique peut nous permettre d’explorer cela.

Dans cette séance, nous travaillons l’alignement mais aussi l’utilisation des outils test : « points alignés ? » et « point appartenant à une droite ? ».

Première activité

Afin de ne pas perdre de temps sur les constructions du carré et du triangle (puisqu’ici ce n’est pas l’objectif visé), nous proposons aux élèves de passer par l’utilisation de macros.

Dans les trois vidéos suivantes, nous voyons les élèves construire les 3 figures demandées

Cet accès plus direct à ces constructions permet à l’élève de se concentrer plus sur le problème posé à savoir : « Est-ce que les points construits sont alignés ? ».

Remarques

Il est fort probable que les élèves ne voient pas que ces trois points sont alignés, dans ce cas, on peut leur demander :
« Si on trace une droite passant par A et par E, est-ce que le point F sera sur cette droite ? »
Les élèves risquent de répondre non. Dans ce cas, leur faire tracer la droite (AE).
Visuellement le point F est sur la droite ; on peut tester son appartenance soit avec le Monkey, soit par le déplacement manuel des points A ou B (le point F est toujours sur la droite) soit en utilisant le test : point appartenant à une droite ?.

Deuxième activité

Voici le programme de construction proposé aux élèves :

• Tracer les droites (AB), (AC) et (BC).
• Placer le point D milieu du segment [AC].
• Mettre un point E sur le segment [BC].
• Tracer une parallèle à (AC) passant par E. Elle coupe (BA) en F.
• Elle coupe (BA) en F.
• Tracer les segments [AE] et [FC].
• Ces deux segments se coupent en un point que l’on appelle G.
• Placer le point H qui est le milieu du segment [FE].

Questions : les points B, H G et D sont-ils alignés ? »

A la question précédente, les élèves peuvent répondre que oui, et que pour le savoir il faut tracer une droite ou utiliser l’icône test. Pour ceux qui disent non, là aussi ils peuvent dire que s’ils tracent une droite, certains points ne seront pas dessus ou que le test dira qu’ils ne sont pas alignés.

Pour le savoir, nous allons donc utiliser le test « points alignés ».
Laisser faire les élèves ; ces derniers remarquent alors que l’on ne peut tester l’alignement que pour trois points uniquement.
L’enseignant invite donc les élèves à tester d’abord l’alignement de B, H et D puis de B, G et D. Les deux tests montrent que les points dans les deux cas sont alignés.
On demande aux élèves ce que l’on peut en déduire.

Réponse attendue : les points B, H, G et D sont alignés.

Lors de cette séance un élève s’exclame tout à coup « J’ai compris. » ; après avoir expliqué à l’enseignant, ce dernier lui dit d’aller partager son raisonnement avec l’ensemble de la classe. :

Voici ce qu’il dit (ses dires sont accompagnés de gestes indiquant les objets impliqués)
Élève : « Si ces trois là sont alignés (en montrant les points B, H et G) et ces trois là sont alignés (en montrant les points H, G et D), eh bien, ils sont tous alignés ! »
Réponse de l’enseignant : « Effectivement oui… »
Élève : « Parce que ces deux-là sont alignés (l’élève indique les points B et G) et celui-là (en montrant le point H) fait parti de celui-là (en montrant le segment [BG]) et de celui-là (en montrant le segment [HD])… »

Plus clairement, si B, H et D sont alignés c’est que H appartient à la droite (BD) ; si B, G et D sont alignés c’est que G appartient à la droite (BD) donc on peut dire que H et G sont sur la même droite donc que les points B, H, G et D sont alignés.
Nous sommes donc en présence de ce que BALACHEFF appelle une expérience cruciale. Nous avons peut-être ici, un début de preuve intellectuelle.

Troisième activité

Voici le programme de construction et la question proposés aux élèves :

• Tracer les droites (AB), (AC) et (BC).
• Mettre un point F sur la droite (BC), à droite du point C.
• Placer un point G sur le segment [AC].
• Tracer la droite (FG).
• La droite (FG) coupe la droite (AB) en H.
• Placer I le milieu de [AF].
• Placer J le milieu de [CH].
• Placer K le milieu de [BG].
  Les points I, J et K sont-ils alignés ?
  On laisse les élèves utiliser ce qu’ils veulent pour « prouver » l’alignement : construction de la droite (IJ), utilisation des tests : alignés, appartenance...
  

  

  
  Il est aussi prévu de faire utiliser le Monkey pour voir que cela fonctionne tout le temps.
  Par manque de temps cette dernière partie n’a pu être réalisée.
  
  

« Le concept de carré évolue au cours de la scolarité. Le mot « carré » appartient d’abord au monde sensible. En effet, dans les tâches d’observation et de tri d’objets à l’école maternelle, l’enfant devra reconnaître la forme carrée parmi d’autres formes. Puis le mot « carré » change de statut. L’enfant devra être capable de décrire, de reproduire ou de tracer un carré sur son cahier. »
Enseigner autrement le concept de carré en CE2 (AC n° 5), MathémaTICE n°22, nov. 2010
http://revue.sesamath.net/spip.php?...

Cette séance a eu lieu en fin d’année scolaire, après plusieurs semaines où les élèves n’ont pas manipulé le logiciel.

Les élèves ont déjà vu comment construire un carré à partir d’une macro présente dans le logiciel (séance 5) : ce dernier propose l’outil polygone régulier puis carré qui permet de construire le carré à partir de deux de ses sommets.
Mais cette fois-ci, les élèves doivent construire un carré à partir d’un segment donné.
L’objectif de cette séance a donc pour but de produire un programme de construction du carré s’appuyant sur deux de ses propriétés géométriques caractéristiques, la perpendicularité et l’égalité des longueurs des côtés.
Le programme que l’on envisage est le suivant :
A partir du segment [AB], tracer deux perpendiculaires passant respectivement par A et B. L’égalité des longueurs est obtenue avec deux cercles de centre respectifs A et B et de rayon AB. On termine la construction avec des segments passant par les points construits (les sommets du carré) ; puis on cache les droites et les cercles ayant servi de support à la construction.

L’utilisation du logiciel de géométrie dynamique, CaRMetal, notamment avec l’utilisation du Monkey permet d’invalider les constructions respectant globalement la forme du carré mais qui ne sont pas issues d’une construction reposant sur les propriétés géométriques caractéristiques de celui-ci. C’est uniquement en tenant compte de ces propriétés par le choix des outils disponibles dans la palette de CaRMetal (outils perpendiculaire et cercle compas) que l’on aura un carré qui résiste au déplacement lors de l’activation du Monkey.

Dans un premier temps, nous laissons les élèves faire un carré sans leur donner d’indication.
La plupart des élèves construisent un carré de visu.

Quand on leur demande de justifier qu’ils ont bien un carré, leur argument reste visuel. Comme les propriétés sont inexistantes, la construction se déforme (suite à l’utilisation du Monkey) de manière non attendue pour l’élève. Cependant cela doit permettre à l’élève de porter son attention sur les propriétés du carré qu’il faut respecter pour qu’il résiste au déplacement.

La mise en commun met en avant les difficultés ; l’enseignant doit à ce moment faire un rappel des propriétés du carré.

2^e phase : Tracé de perpendiculaire
Les élèves tracent le segment [AB] et la perpendiculaire à celui-ci qui passe par A.
L’enseignant demande de décrire la position du point D ; ce dernier est sur la perpendiculaire à [AB] qui passe par A.

Mais comment placer le point D pour que ce dernier soit situé à la même distance que B par rapport à A ?
Les supports perpendiculaires étant présents, les élèves répondent qu’ils prennent la règle et mesurent pour reporter les longueurs.
Le recours à l’environnement papier-crayon permet à l’enseignant de faire mobiliser les connaissances des élèves sur la construction du carré dans cet environnement.
Mais lorsque celui-ci interdit l’utilisation de tout instrument gradué quel qu’il soit c’est à dire « mesurer avec un instrument papier-crayon qui n’est pas une règle » réduit le choix des instruments utilisables pour le report de longueur. Les élèves ne pensent pas à utiliser le compas pour reporter des longueurs. Un élève dit même : mais le compas c’est pour faire des « ronds » !

En jouant sur les outils disponibles, on peut aider les élèves à passer d’une procédure à l’autre, en contraignant ses manières de faire.

Tracé du point D.

Nous constatons que beaucoup d’élèves ne « voient » pas comment utiliser le cercle pour reporter la longueur.
Ainsi, le réinvestissement de la mise en œuvre du compas (en environnement papier-crayon) avec l’utilisation du cercle (report de longueur) de CaRMetal (donc en environnement de géométrie dynamique) et donc leurs rapports, passe par une certaine maîtrise des propriétés géométriques du cercle que certains élèves ne possèdent pas encore ou n’arrivent pas à mobiliser.

Tracé du point C.

Des erreurs dans la construction

Beaucoup d’élèves cherchent à fixer manuellement ce point, de manière perceptive plutôt que d’utiliser une relation géométrique.
L’élève sait ce qu’il doit obtenir, et avec le déplacement du point D au niveau spatio-graphique, il peut voir si ce qui est à l’écran ressemble à un carré.
Ici le déplacement est très vite mobilisable : en effet c’est quand même une fonctionnalité centrale de la géométrie dynamique.

Une fois le point D construit, on peut maintenant cacher les traits de construction pour ne garder visible que le carré.
La séance se termine par une mise en commun où les élèves avec l’aide de l’enseignant reprennent chacune des étapes pour construire le carré.

Dans notre cas, la construction d’une figure vise l’explicitation de procédures de construction plus que sa réalisation technique.