Présentation du stand de l’IREM au Parc technologique de Saint-Denis

par Marco Turrini, professeur au lycée Alessandro-Tassoni (Modène)

Une machine mathématique (liée au domaine de la géométrie) est un artefact conçu et construit avec un but précis : il oblige un point, un segment ou une figure plane à être transformé en accord avec une loi mathématique définie par le constructeur. Une machine mathématique peut être un traceur de courbe, un pantographe pour les transformations géométriques ou un outil pour dessiner en perspective.

Une machine mathématique très bien connue et utilisée par nous tous est le compas, également présent dans l’iconographie des mathématiques. Il peut être considéré comme l’ancêtre des traceurs de courbes et des pantographes. Un autre type de machine mathématique est représenté par les perspectographes qui sont liés aux origines de la géométrie projective.

Dans le stand « Machines mathématiques » de l’IREM, deux thèmes seront proposés aux élèves de lycée : sections coniques et transformations géométriques. La durée d’une session de laboratoire varie entre une heure et une heure et demie. Elle est composée de trois phases : brève introduction au thème, travail en petits groupes, présentation de l’exploration des machines par chaque groupe et conclusions.

Phase 1. L’introduction au thème des sections coniques commence par des éléments du développement historique à partir de la théorie de Menechme-Euclide et Apollonius. Ensuite on peut considérer l’ellipse comme section du cylindre droit. En ce qui concerne le thème des transformations, on décrit l’instrument pour la translation dans le plan (translateur de Kempe). L’introduction est présentée par les animateurs du stand, en utilisant les machines mathématiques et leurs animations.

Phase 2. Travail en groupe. Les élèves sont partagés en petits groupes (au maximum, cinq élèves par groupe) ; chaque groupe reçoit une machine mathématique et une fiche pour l’exploration. Cette fiche présente un certain nombre de questions sur la structure de l’instrument, sur les relations entre ses divers composantes et la courbe tracée (ou la transformation réalisée) ou sur les régions du plan accessibles à la machine.

Phase 3. Présentation du travail en groupe. Chaque groupe doit présenter au reste de la classe la machine mathématique étudiée pendant la phase 2. C’est un moment important, parce que les résultats de chaque groupe sont partagés et peuvent entrer dans le répertoire mathématique de la classe. En outre, ils deviennent disponibles pour être repris ensuite par l’enseignant. Cette phase est gérée par les animateurs du stand.

Il y aura à disposition deux exemplaires de chacune des machines suivantes :

1. symétrie axiale orthogonale
2. pantographe pour la symétrie centrale
3. translation (translateur de Kempe)
4. pantographe de Sylvester pour la rotation
5. pantographe de Scheiner pour l’homothétie
6. affinité orthogonale (quadrilatère de Delaunay)
7. traceur d’ellipse à parallélogramme croisé
8. traceur d’hyperbole à parallélogramme croisé
9. instrument de Cavalieri pour la parabole
10. traceur d’ellipse en fil tendu
11. traceur d’hyperbole en fil tendu
12. traceur de parabole en fil tendu.

Pour des informations complémentaires sur le laboratoire des machines mathématiques, on pourra consulter les sites suivants : CultureMATH ; EducMath ; Université de Modène.

Pour une simulation des traceurs de coniques avec CaRMetal, lire l’article d’Alain Busser.