Aimant 1. Présentation de l’activité

Ces extraits de la présentation de l’activité. reprennent les principaux points soulevés par l’analyse du ERMEL. Toutefois, compte tenu de l’orientation de la séance, les questions préalables sur la possibilité de ne prendre que des feuilles d’une même catégorie ne sont pas soulevées.

On voit, à 1 min, que l’appropriation des données du problème nécessite des précisions (là encore les données peuvent être éloignées de l’affichage usuel au tableau). L’élève qui place les aimants au tableau utilise naturellement la constellation du 5 pour placer 6 aimants. Un élève mentionne sa perception des doubles dans un regard additif.

L’extrait qui présente la règle de séparation des feuilles (à 2 min 03 s) est largement coupé, il est juste mentionné ici pour rappel.

Même si on ne le voit pas dans cet extrait, l’enseignant insiste tout particulièrement sur la lecture de l’énoncé. Celui-ci est tout d’abord lu silencieusement, puis à haute voix par le maître. Les problèmes lexicaux sont abordés (ici le sens de « dispose »).

Certaines informations explicites (4 aimants pour une petite feuille, 6 aimants pour une grande) sont illustrées. En particulier, la question finale est identifiée. Elle a été choisie plus ouverte que dans le document ERMEL pour permettre les différentes phases que l’on va voir. Tous les paramètres sont alors en place pour lancer la recherche.

Aimant 2. Premières recherches

L’enseignant rappelle les deux mots qui vont engager les démarches des élèves : « on peut bien évidemment calculer, on peut schématiser », même si le premier n’est pas naturellement inducteur.

Le montage s’intéresse à l’évolution de plusieurs procédures. Ainsi on voit le travail d’un élève — disons A — (à 1 min 02 s) qui a déjà dessiné 3 petites feuilles (4 aimants) et 2 grandes (6 aimants). Bien que les petites et les grandes soient justement côte à côte, il n’y a pas d’engagement arithmétique du type 4 + 6 = 10, mais au contraire, la schématisation — dans ce cas là — renvoie au recomptage de l’ensemble.

On peut observer ensuite (à 1 min 30 s) certaines impasses — sur un seul élève — qui écrit les constellations de 5 sans pouvoir vraiment en faire autre chose : prégnance des cartes de constellations, pas de décontextualisation et, au contraire, réactivation des activités de ce type en voyant les aimants sur la feuille.

Retour sur l’élève A (à 1 min 50 s) où l’on voit que le nombre d’aimants est maintenant clairement calculé. L’élève a placé 5 petites feuilles et 3 grandes feuilles ce qui fait 38 aimants. Et il va chercher ensuite à supprimer seulement deux aimants.

Pour cela il suffirait de transformer une grande feuille en une petite, mais l’élève ne le voit pas car la dernière feuille ajoutée est une petite et donc c’est sur cette dernière feuille qu’il va faire ses modifications, en particulier en utilisant une feuille à deux aimants (à 2 min 26 s). La maîtresse (titulaire de la classe) demande si « on a le droit de faire ça ? ». En terme de contrat c’est intéressant à observer, car, contre toute attente (nous sommes dans un registre que l’on pense numérique) l’élève a pensé que l’orientation de sa feuille n’était pas correcte et refait (à 3 min 08 s) la feuille à deux aimants dans l’autre sens.

La fin de l’extrait invite une élève qui exprime aisément son organisation à la traduire arithmétiquement par une ligne de calcul : le passage du niveau 1 au niveau 2 de l’analyse de Rémi BRISSIAUD, dans ce cas n’est pas aussi élémentaire que parfois on peut le supposer : il faut — au moins au début — la sollicitation de l’enseignant.

Pour cette élève (à partir de 3 min) la vérification demandée par le maitre nécessite la mobilisation de tout le travail fait sur le calcul réfléchi. L’activité de résolution de problème est un moment où ce travail, patiemment construit, prend son sens comme outil.

Aimant 2b. Suite des recherches

On revient (à 15 s) sur une organisation bien personnelle d’une élève (brièvement aperçue dans l’extrait précédent). On observe une solution correcte avec vérification par les boites de Picbille et une phrase de conclusion « on peut afficher 7 feuilles ».

Vers 58 s une autre organisation des recherche (élève B) avec la représentation préalable, en constellation, des 38 aimants et un décompte un à un par rayure sur les constellations de 5 des aimants utilisés : il semble que les constellations de 5 juxtaposées induisent un décompte en 6 + 4, ce qui va aboutir naturellement à une solution. Au départ cette élève est dans le mime complet de la situation (elle représente les 36 aimants et les prend ensuite). Mais elle tire profit de son organisation en constellation de 5 pour proposer un double affichage de 6 (grande feuille) et 4 (petite feuille). Les données numériques du problème font que cette organisation porte la résolution du problème.

Un autre élève (celui qui comptait avec les doubles dans l’extrait d’introduction, vers 1 min 20 s) a en fait utilisé un seul type de feuille et a clairement calculé, la schématisation servant alors de vérification. Puis on revient (à 1 min 44 s) sur la schématisation vue en début d’extrait, mais avec le maître qui la découvre (« p pour les petit et G pour les grands ») et invite l’élève à transformer cela en écriture arithmétique.

En fin d’extraits on commence à voir (vers 2 min 40 s) les premières écritures de calcul en ligne et ensuite (à 3 min 06 s) des stratégies probablement très efficaces (alternance des feuilles de 4 et 6 qui font (semblent faire ?) apparaitre des 10.

Le prochain extrait est sur la mise en commun : on aurait pu choisir d’exploiter l’organisation de l’élève B pour établir le lien avec l’écriture chiffrée des nombres : 36 c’est 3 dix et 6, soit 3 fois une double constellation puis 6, soit 3 fois (6 + 4) et 6 ce qui se traduit en feuilles, le fois est un terme français qui décrit une itération : il n’a pas encore de sens mathématique à ce moment de la classe. La séance aurait alors pris une toute autre tournure.

Aimant 3. Prise de conscience de deux réponses possibles

Pour cette première mise en commun, l’enseignant envoie au tableau deux élèves pour leurs organisations différentes des schémas sans avoir pris connaissance que ces élèves avaient trouvé deux solutions différentes : de toute façon, quelque soit la solution détaillée en premier, plusieurs élèves auront trouvé l’autre.

À partir de 2 min, on commence l’analyse — avec respect temporel des débats. Une élève explicite la démarche de l’élève qui a utilisé des « p » et des « G ». Puis on aborde (3 min) la question du problème : « combien de feuilles ? ». L’élève qui a schématisé à droite est sollicité pour préciser le nombre de petites et grandes feuilles. Et, après ses explications, à la question « On est d’accord ? » (4 min) un « non » lance un débat.

Le débat lancé ne porte pas sur le fait qu’il y ait 8 feuilles — en tout cas n’est pas exprimé ainsi — mais sur le décompte des aimants. L’enseignant lance alors une vérification : l’élève calcule assez vite, en utilisant les double « 4 et 4 », puis, par l’organisation géométrique de son schéma poursuit par « 8 et 6 », pour arriver à 36. L’élève — qui en fait a trouvé 7 feuilles — revient sur la vérification (à 5 min 30 s) et poursuit avec une argumentation, non pas centrée sur un calcul des aimants mais sur une référence aux doubles : « 4 et 4 ça fait 8, et 8 ça fait 16... et 16 ça fait 32 ». Envoyée au tableau — pour une dépersonnalisation de son argument — l’élève qui calcule rapidement, confirme le 36.

C’est seulement après cette ultime vérification qu’est abordé (vers 6 min 50 s) le cœur de la question « oui mais moi j’ai trouvé 7 feuilles ». Un élève commente rapidement qu’il y a deux bons résultats : il en avait pris conscience un peu avant, l’enseignant lui avait demandé d’attendre pour prendre la parole. L’extrait se poursuit sur les 7 feuilles de la schématisation de gauche. Va alors s’en suivre — extrait suivant — une vérification « rapide » laborieuse à trouver.

On voit là comment peut s’installer la dépersonnalisation si elle n’est pas naturelle, si le concept sous-jacent est loin, ou si l’attachement à des procédures personnelles reste fort : le passage au tableau pour la vérification du travail d’un autre élève force d’une manière naturelle cette démarche d’entrer dans un raisonnement a priori étranger : l’explicitation seule n’a pas de prise sur certains ancrages. Et le rituel du commentaire au tableau, par le regard collectif, participe à ce travail de dépersonnalisation, un peu comme des chercheurs dépersonnalisent leur démarche dans une réunion de pairs institutionnelles que sont les colloques ou les séminaires. « Un peu » car l’élève n’est pas nécessairement candidat à l’exposition et effectue ce travail sans nécessairement qu’il y ait métacognition à son sujet.

Cette attitude est une des caractéristiques des activités scientifiques : exposer ses travaux, les expliquer, les justifier... mais aussi rentrer dans la logique de ceux des autres. Chacun expérimente dans sa classe que cette dernière attitude n’est pas naturelle, et c’est à l’École de l’instaurer.

Aimant 3b. Difficulté à mobiliser les outils les plus efficaces

Il s’agit de vérifier par le calcul que dans le schéma de droite figurent 36 aimants. Le maître profite de l’écriture au tableau par une élève de collections juxtaposées de 4 et de 6, mais non organisées comme les cartes de constellations utilisées d’ordinaire en classe, pour une évaluation des capacités de recomposition dans ce contexte.

Bien entendu quelques élèves savent parfaitement le faire et le maître, a priori n’interroge pas ces enfants pour prendre connaissance des procédures d’autres élèves même si on voit qu’il est lui-même un peu surpris de la tournure de cet épisode.

Le maître refuse une première proposition qui reprend la démarche précédente et insiste sur une solution plus rapide. Puis il prononce cette phrase « comment je fais les 10 au fait ? » qui va induire des réponses à cette question mais hors du contexte au tableau (à 1 min 18 s).

Un élève réagit. Le maître semble convaincu de la compréhension de son message implicite (« viens nous montrer comment on fait un 10 »). L’élève, devant des constellations non organisées répond « 5 + 5 ». Le maître essaie de modifier la représentation de l’élève, mais devant l’absence de réponse il envoie un autre élève qui refait, avec ses mots, la même proposition.

Devant ces résistances, le maître prend en compte la réponse de l’élève (contrat de résolution de problème : le maître ne peut pas refuser une solution) et le laisse réorganiser la collection en paquets de 5. Mais pour activer le lien avec le calcul réfléchi comme outil, il fait passer au tableau un élève qui fait le lien avec la procédure attendue.

Une première conclusion est faite et l’extrait se termine sur la relance d’une seconde recherche sans aucune précision quant à ses résultats.
D’une manière générale, on voit ici que les élèves éprouvent des difficultés à mobiliser des connaissances dans le domaine du calcul réfléchi. Nous sommes en effet ici hors du contexte habituel d’entraînement. La résolution de problèmes est l’occasion de donner du sens au calcul réfléchi.

Aimant 4. Recherches de nouvelles solutions

Spontanément certains élèves s’orientent vers l’utilisation d’un seul type de feuille. On peut s’interroger sur cette prise de liberté spontanée car à aucun moment ce type de solutions n’a été suggéré. Après deux solutions complexes, en utilisant les deux types de feuilles, il est possible que les élèves s’orientent vers la simplicité. Cette itération naturelle va amener à utiliser le mot « fois » sans que la dimension arithmétique ai été vue en classe. C’est le cas du commentaire du premier élève (qui avait trouvé 6 grandes feuilles lors de sa première recherche) dont on voit la solution finale vers 1 min 30 s.

Certains élèves vont reproduire une des deux solutions déjà proposées sans le savoir dans leur recherche en acte (à 2 min et 3 min 10). Cette élève affiche les résultats intermédiaires dans des étiquettes.

Dans l’entretien qu’il a avec l’élève (que l’on va appeler C pour les extraits suivants), à 2 min 10 s, le maître l’incite à tenir compte des résultats qui ont déjà été trouvés pour s’orienter vers d’autres solutions. Cette élève propose alors d’utiliser « des 6 ». Comme elle s’apprête à dessiner les feuilles le maître l’oriente vers l’arithmétisation de sa démarche, et le calcul en ligne. À la fin de l’extrait (3 min 55 s), on voit qu’elle trouve une solution avec des 6 (sans dessiner les feuilles).

Dans le montage complet (DVD disponible à la médiathèque), le maître lui demande ensuite de chercher « une autre solution » : c’est ce qu’elle choisira d’exposer dans la mise en commun (extrait 8).
C’est l’occasion de mentionner les différentes nuances dans le passage de la schématisation (niveau 1) à l’écriture arithmétique associée (niveau 2). Dans ses ouvrages, Brissiaud met bien en garde devant l’illusion possible de ce passage, et on en a une illustration (à 3 min 36 s) où l’on voit un élève transcrire en ligne de calculs 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 son organisation des points figurant les aimants. L’élève C, quant à elle, est déjà dans une démarche arithmétique.

Aimant 5. La multiplication ? « Une addition très rapide ! »

Même s’il comporte différentes procédures d’élèves, cet extrait est centré sur un élève (D pour les extraits suivants) qui construit le sens de la multiplication comme additions réitérées.

On le voit d’abord vérifier qu’il a bien utilisé toute la collection d’aimants. La maîtresse titulaire lui demande : « Est-ce que tu pourrais pas trouver une opération ? » Selon lui, ce singulier ne peut pas se traduire par une succession d’additions, et il cherche une autre façon d’écrire. Cet élève, par des savoirs sociaux divers, sait que l’addition itérée se dit parfois « fois », et la question de la maîtresse est l’occasion de faire le lien entre ce savoir implicite et sa mise en œuvre.

Se pose alors la question de l’écriture (1 min 20 s). Le signe est donné par l’enseignante et, à la fin de l’extrait, l’élève est satisfait d’avoir trouvé « une addition très rapide » : ce symbole X est pour lui une simplification d’écriture de l’addition.

Dans cet extrait on voit aussi (vers 1 min) une élève qui tire partie de la mise en commun précédente en regroupant une grande feuille et une petite pour faire un paquet de 10 aimants, mais elle retrouve bien évidemment une solution déjà présentée. Soulignons qu’à ce moment de l’année, une partie des enfants sont prêts à aborder un des sens de la multiplication.

Aimant 6. À l’épreuve de la dépersonnalisation

Il reste deux solutions, une avec des petites feuilles, une avec des grandes feuilles. Le principe sous-jacent à cette deuxième mise en commun est l’analyse et l’interprétation d’écritures proposées par des pairs. Cela va se faire à deux niveaux : l’interprétation de calculs par des élèves ayant utilisé des schémas ou par des élèves ayant trouvé une autre solution.

L’élève C de l’extrait 7 qui a trouvé les deux solutions de manière arithmétique propose une écriture additive n’utilisant que des 4. Le maître va alors demander à une autre élève qui a utilisé la schématisation avec des grandes feuilles d’interpréter l’écriture précédente.

On voit apparaître les difficultés de la dépersonnalisation. Devant la suite de 4, l’élève reste sur sa procédure avec des grandes feuilles. L’élève est face à une double difficulté : une procédure différente (calcul/schéma) et une solution différente (petites/grandes feuilles). Le maître choisi alors de s’intéresser au paramètre « interprétation du 4 ».

Parallèlement, l’élève D — qui avait trouvé la même solution que celle écrite — est invité à résoudre la double difficulté précédente : trouver l’autre solution et dans l’autre représentation, ce qui ne lui pose pas de problème.

La situation est complexe pour les élèves, car le 4 est un signifiant qui a deux signifiés : il représente d’une part le nombre d’aimants et, entouré par les signes +, il prend le sens d’une feuille. C’est ce que cherche l’enseignant à faire verbaliser par les élèves.

Ensuite une autre élève — qui est restée dans la schématisation — est invitée à traduire arithmétiquement les schémas précédents.
L’exigence mathématique croît avec le déroulement de la séance. Dans la première mise en commun, aucune procédure n’est privilégiée. L’écriture additive n’apparaissant pas, on se contente d’une oralisation des décompositions de 10 pour les vérifications. L’appropriation de la situation permet, lors de la seconde phase de recherche — et pour certains élèves — de s’orienter vers des procédures plus conceptualisées. L’organisation de la deuxième mise en commun doit donner l’opportunité à tous les élèves d’effectuer ce saut conceptuel. L’interprétation d’une écriture additive est d’un autre niveau conceptuel que le passage de la schématisation à cette même écriture.

Aimant 7. Retour aux deux premières solutions : écritures arithmétiques

Cet extrait est l’occasion de voir deux choses : l’écriture de phrases réponses, le passage de la schématisation à une écriture arithmétique. À cette occasion, deux types de comportements apparaissent :
– une aisance dans la gestion de double signification des nombres : on voit une feuille : on écrit le nombre d’aimants associé ;
– au contraire une difficulté dans cette interprétation.

D’autre part, puisqu’il est apparu sur un cahier, on ne s’interdit pas de présenter une nouvelle écriture de l’addition itérée : le signe X. Là encore, l’élève l’a fait dans une situation qu’il n’avait pas rencontrée et qui peut poser question sur le sens (on écrit 6 X 6).

Aimant 8. Bilan de l’activité et de la séance

Cet extrait commence par répertorier toutes les solutions déjà trouvées, avec une exigence de dépersonnalisation (à 40 s). Puis vient la question « Vous en avez trouvé d’autres ? » (à 1 min 47 s).

Plusieurs élèves en proposent, mais ils s’aperçoivent bien vite qu’elles ont déjà été présentées.

Pour aller plus loin dans la dépersonnalisation, on peut envisager de revenir sur la situation quelques jours plus tard en proposant aux élèves un montage photocopié de travaux de recherche d’élèves de la classe. Cela permettrait d’élargir le champ des procédures personnelles et de les rendre plus proches de démarches expertes. Par exemple, en s’appuyant sur les travaux de l’élève B de l’extrait 3 on peut facilement évoluer vers des procédures plus expertes dans l’installation d’un débat sur le sens de ce qui a été fait. Il s’agit de dépasser la schématisation pour anticiper les résultats à partir de la décomposition additive.