Qu’est ce que l’’ethnomathématique ?
Les définitions possibles sont :
- Celles basées sur la structure du mot
Pour en savoir plus sur les origines possibles du mot « mathématiques », cliquez ci-dessous :
- Celles élaborées par les chercheurs :
• La première utilisation du mot « ethno mathématique » est attribuée à U. D’Ambrosio (1985), universitaire brésilien pour qui ce mot peut englober les mathématiques informelles, spontanées, quotidiennes ou encore indigènes, locales etc.
• Une autre définition, celle de Vithal et Skovsmose (1997, p133) :
« Les ethnomathématiques se réfèrent à un ensemble d’idées concernant l’histoire des mathématiques, leurs racines culturelles, les mathématiques implicites dans les contextes quotidiens et l’enseignement des mathématiques ;[...] Elles se réfèrent également aux mathématiques implicites utilisées par un groupe culturel, par exemple quand nous parlons des mathématiques implicites dans les pratiques de charpentiers*. »
*Millroy – 1991- a analysé l
Les concepts géométriques utilisés par un groupe de charpentiers sud africains.
• On peut aussi considérer l’approche de Marcia Ascher (1998) où il s’agit de
définir aujourd’hui les mathématiques à travers des observations de pratiques implicites ?
Après beaucoup d’observations de pratiques relevant de pratiques mathématiques implicites, M. Ascher finit par affirmer que les mathématiques n’ont pas de définition sur quoi on s’accorde en général et laisse ce sujet de réflexion aux philosophes et aux historiens.
« Les cultures partagent certaines idées, mais pas d’autres. Même lorsque les idées leur sont communes, ou sont apparentées, elles seront exprimées de manières différentes, et se trouveront développées dans des contextes différents selon les cultures.[…] l’expression occidentale des idées mathématiques n’est qu’une expression parmi de nombreuses autres »,P 13.
M. Ascher choisit de ranger au rayon des mathématiques (p.13) les idées qui traitent des nombres, de logique, de configurations spatiales, et surtout de combinaisons ou de l’agencement de ces composantes en systèmes ou en structures. Elle propose plutôt de repérer des idées mathématiques pour échapper aux connotations occidentales du mot « mathématiques ».
En fait, elle suggère que les idées et les concepts mathématiques existent dans des populations différentes mais que ces dernières ne les isolent, ni ne les regroupent comme un mathématicien le ferait.
Pour illustrer le questionnement de ce premier chapitre, on peut se référer à l’exemple suivant
Répartition en France des matériaux de toitures
Voici une carte tirée de Jean-Robert Pitte (1983). Histoire du paysage français, I, et réalisée d’après A la découverte des villages de France.
On perçoit ici l’impact du climat et du terrain sur les toitures
– Tuiles moulées en argile si présence de sil dans le sol
– Tuiles taillées dans de l’ardoise, lauzes de pierre et bardeaux en bois.
– Couvertures en végétaux coupés : chaume, roseau, genêt, sagne.
Ces différents matériaux vont nécessiter différentes structures d’accroche donc des charpentes géométriquement différentes qui devront avoir des pentes adaptées à la pluviométrie et à la puissance du vent local. De plus, des outils spécifiques devront être utilisés voire élaborés pour les différentes étapes : Assemblage des différents éléments de charpentes, production et fixation des tuiles.
Conclusion : Les architectures des toits de maisons sont constituées de formes géométriques dépendantes de la nature des sols, des éléments climatiques et des outils disponibles.
Une branche de l’ethnomathématique : l’ethnogéométrie
L’ethnogéométrie se développe à travers au moins 2 types de recherches :
– Type 1 : Recherche des origines avant la mise en place de la géométrie grecque fondée sur la construction de figures simples à la règle et au compas.Cette recherche peut s’effectuer soit sur de rares ressources très anciennes, soit auprès de populations actuelles ayant préservé des savoirs et savoirs faire a priori tout aussi anciens.
– Type 2 : Recherche de géométries différentes de celles que nous connaissons.
Un exemple : Construction d’une maison par les Chaggas* Travaux de Claudia Zaslavsky<br clear=all
Localisation en Afrique
Localisation en Afrique
*Les Chaggas (Chaga, Jagga, Dschagga ou Waschagga) sont un peuple d’Afrique australe, de langue bantoue, vivant en Tanzanie, principalement sur les contreforts du Kilimandjaro et du Mont Méru.
« Quand un Chagga construisait sa maison traditionnelle en forme de ruche sur les pentes fertiles du mont Kilimandjaro, il allait voir l’homme le plus grand qu’il connaissait. Ce voisin se couchait à plat sur l’emplacement de la future maison les bras écartés. L’étendue du bout des doigts d’une main à ceux de l’autre main est appelée un laa. Pour déterminer la circonférence le constructeur attachait une houe à une corde de longueur égale au rayon voulu, deux ou trois laa. La corde était attachée à un piquet, et en tournant autour du piquet il traçait un cercle avec sa houe. La hauteur de porte était égale à l’envergure des bras de l’homme ; la largeur était la circonférence de sa tête, mesurée avec une ficelle. "
L’Afrique compte ! Claudia Zaslavsky (1995)
Nous sommes en Afrique, près du berceau de l’humanité. Les Africains font plus que compter, le peuple Chagga dispose d’un algorithme précis de construction de leur maison, un algorithme de géométrie plane. Certes sans règle, sans compas, sans équation, sans vecteur… mais utilisation implicite de nombres entiers, d’unités de mesure, de cercle tracé sur un plan …et utilisation de la ficelle comme moyen de report de longueur !
C. Zaslavski (1995) précise qu’ici le Chagga adapte remarquablement sa maison à ses moyens de subsistance, aux matériaux disponibles et au climat. La rareté des matériaux induit une construction ronde : en effet pour une ligne fermée fixée, les mathématiciens savent que sur un plan, c’est le cercle qui entourera la surface d’aire maximale. D’autre part les chaggas doivent construire rapidement leur maison à cause des conditions climatiques et sans assistance professionnelle.
La maison circulaire est adoptée par les sociétés traditionnelles et convient bien aux peuples nomades, chasseurs et pasteurs. La technologie utilisée est en générale assez simple et la maison peut être facilement abandonnée lors des migrations dues à la rotation des terres agricoles.
La maison rectangulaire est surtout utilisée par les peuples forestiers mais fait appel à des technologies plus élaborées et surtout à des outils spécifiques. Dans les zones d’influences musulmane ou européenne, la maison rectangulaire est préférée et est de plus en plus perçue comme un signe d’ascension sociale.
Les concepts géométriques de symétrie en ethnogéométrie
• Référence à des travaux de recherches
– Géométrie de la préhistoire : O. Keller () montre que les 7 groupes de frises sont présents dans des dessins depuis - 35 000 ans et utilisent comme formes de motifs géométriques : rayures parallèles, horizontales ou obliques, des chevrons et des zigzags. Quand apparaissent des frises avec des animaux vers – 20 000, les symétries de type a sont le plus souvent utilisées.
Image extraite sur le site >http://nathalierun.net/passions/lam...]
Rappel : les différents types de symétrie
7 groupes de frises au départ si on ne tient pas compte de la couleur
Groupe engendré par une translation
Groupe engendré par la translation et une réflexion
Groupe engendré par la réflexion glissée
Groupe engendré par la translation et une réflexion orthogonale à la direction de la frise.
Groupe engendré par la translation t et un demi-tour
Groupe engendré par une réflexion orthogonale à la direction de la frise, et une réflexion glissée
Groupe engendré par la translation, une réflexion orthogonale à la direction de la frise, et une réflexion
– Géométrie sur les bandes décorées : A. Marcia (1998) étudie les bandes décorées maoris et incas et repère les différents types de symétries utilisées. Elle complète le classement des symétries en fonction des couleurs utilisées et en déduit 24 groupes de symétrie à coloriage parfait.
Classifications par M.Ascher
Classifications par M.Ascher
• Deux exemples d’activités en classe sur les symétries en lien avec l’ethnogéométrie
– Ethnomathématique dans l’océan Indien : les lambroquins à la Réunion - D.Tournès-
>http://www.math.ens.fr/culturemath/...]
– Etude des litema du Lesotho, Afrique du sud
Qu’est-ce qu’un litema ?
Au Lesotho et autour de l’Afrique du sud, les femmes Sotho ont développé une tradition de décoration des murs de leurs maisons avec des motifs géométriques appelés litema.
Les murs sont d’abord enduits avec un mélange de boue et de bouse puis peints avec une teinture naturelle.
Quand la dernière couche d’enduit est encore humide, les femmes gravent les murs avec leur index.
Cette production est saisonnière car le soleil sèche puis craquèle les peintures et la pluie finira par les lessiver.
Tout village est décoré avant une occasion particulière telle que des fiançailles, mariages, décès ou de cérémonies religieuses (en particulier Pâques et Noël). Cependant Il n’y a aucun symbolisme religieux ou sacré dans la mise en œuvre des litema : Ils reflètent seulement les événements au cours du temps et sont en accord avec le rythme des saisons.
Photo 2
Photo 2
En 1905 Stow publia un livre “The native Races of South Africa” contenant entre autres les premiers relevés de litema connus.
Malheureusement, presque un siècle sépare les dessins de Stow de ceux effectués par les étudiants de l’Institut National de Formation des professeurs du Lesotho. , Benedict Lira Mothibe, conférencière à l’Institut à cette époque, apprit aux étudiants à recopier les litemas dans le but de les utiliser en classe comme figures géométriques de bases à étudier puis à reproduire.
*Les illustrations ci-dessous sont extraites de la brochure publiée par B. Mothibe (1976)
- Principe de construction du litema
La cellule « unité » appelée téma est un carré contenant des figures de géométrie.
Les femmes Sotho préparent sur le mur un réseau de carrés et vont reproduire soit le dessin de base ou utiliser dans leur litema des symétriques des cellules « unité ».
Exemples (P. Gerdes .1999-p. 90-91)
- Une exploitation en cycle 3 : Réalisation d’un litéma - B. Roussel (IUFM de La Réunion)
Deux étapes
– On part d’un carré « téma » choisi par l’enseignant.
Chaque élève doit reproduire à l’identique le « téma »
Après validation par le calque, on construit collectivement le litema au mur.
– Travail en groupe de 4
Chaque élève reçoit un carré et doit imaginer une construction géométrique simple dans son carré.
Le groupe choisit l’un des 4 carrés et construit un « tema » symétrique du carré choisi.
.
Un programme de construction destination des autres élèves peut être rédigé afin de réaliser les 16 téma utiles à la réalisation du litema.
Voici des exemples de productions d’enseignants en stage de formation continue à Saint Benoît (La Réunion) et d’élèves de cycle 3 à Rabat (Maroc).
Les dessins sur le sol
M. Ascher (1991), M.Chemillier (2007) et P. Gerdes (1995) ont étudié les différents dessins sur le sol en plusieurs endroits de la planète.
• Du côté de l’Angola
Chez les Bushoong
Vers 1905, un ethnologue européen en séjour chez les Bushoong fut invité à tracer certaines figures sur le sable avec la contrainte de ne jamais lever le doigt, ce que les Bushoong réussissaient parfaitement car initiés de générations en générations à ces pratiques.
La chefferie Bushoong est un sous-ensemble du royaume Kuba et dans le système des échanges Kuba, les Bushoong avaient le statut de décorateurs d’objets de la vie quotidienne ou d’objets cérémoniels ; Ils sculptaient le bois , brodaient les tissus et les échangeaient les jours de marché contre du sel, de la viande et du poisson etc.
Les décorations bushoong sur les objets vendus n’ont pas qu’une valeur esthétique mais doivent refléter la position sociale des clients ; cette relation entre décoration et pouvoir politique est marquée par un élément d’intronisation du nyimi : un motif particulier qui constituera une marque officielle.
C’est dans ce contexte précis que l’on retrouve des enfants qui jouent à tracer des figures sur le sable dans un quartier de la capitale Kuba.
Les Bushoong considèrent qu’un dessin est composé de plusieurs dessins élémentaires : des dessins qui paraissent semblables pour un occidental pourront porter des noms différents.
Chez les Tshokwe
Les sona (lusona au singulier) sont utilisés par les membres du peuple Tshokwe qui habitent près du royaume Bushoong au Nord-est de l’Angola.
Les sona sont des supports de légendes, de fables, d’animaux ; en effet, jusqu’à la fin des années 1950, les Tshokwe se réunissaient le soir autour d’un feu et écoutaient l’un d’eux raconter des histoires selon un rituel précis.
Le principe est le suivant :
Le conteur lisse le sol sableux, puis dessine un réseau de points régulièrement espacés (en employant simultanément le pouce et l’index et en ramenant ensuite un des doigts dans l’empreinte laissée par l’autre). Il raconte son conte en traçant autour des points une ligne courbe qui va servir de support à son histoire.
La contrainte est que chaque portion de ligne doit être parcourue une seule fois et sans jamais lever le doigt.
Un exemple de tracé géométrique, un lusona, associé à une histoire, une fable.
• Du côté de la république de Vanuatu (Malekula et îles de Vao et Atchin)
M.Ascher (1991) et M. Chemillier (2007) indiquent qu’aux îles Vanuatu les dessins sur le sable appelés nitus avaient un rôle essentiel dans la vie sociale. Durant les années 1920 l’ethnologue B.Beacon a recopié dans des carnets certaines figures qu’il avait vu tracer sur le sable et a surtout collecté un maximum d’informations sur leur signification et la manière de les tracer.
Les nitus sont assimilables à des graphes définis par des sommets et des arcs et vont de formes simples comme de courbes fermées à des ensembles de plus de cent sommets dont certains de degré 10 ou 12 si on se réfère à la théorie des graphes.
Les thèmes de ces dessins sont variés : ils peuvent signaler une simple visite en cas d’absence devant une maison, représenter des objets ou des animaux ou des thèmes liés au monde du sacré.
La plupart du temps, les dessins sont associés à un récit comme celui du défunt qui doit regagner le pays de ses ancêtres et on peut imaginer que le support visuel a une fonction de mémorisation.
Toujours la règle de la ligne continue
Le principe de base des ces dessins est qu’ils sont construits sur le principe de la ligne continue, c’est-à-dire sans lever le doigt du sol, en revenant au point de départ et sans repasser par un arc déjà tracé. Cette règle est explicitée dans les carnets de B.Deacon (1934)avec l’exemple de la tortue.
Etude de la tortue par M. Chemillier (2007)
« Contrairement à ce qu’on pourrait imaginer, le dessin n’est pas effectué de proche en proche, mais il est en quelque sorte constitué d’une combinaison de sous-courbes qui parcourent l’ensemble de la figure. Au lieu d’avoir des petits éléments, qui sont tracés chacun à part et reliés les uns aux autres, en fait, le dessin procède par des grandes courbes qui se superposent, et se complètent pour former le dessin final. »
On est ici en présence d’un véritable programme de construction
– On trace un rectangle constitué de 8 carrés isométriques,
– les diagonales des 8 carrés
– puis s’ensuivent les tracés des différentes lignes continues fermées suivies pour certaines de constructions de différentes figures symétriques.
Pour en savoir plus, cliquez sur le lien suivant :
http://ehess.modelisationsavoirs.fr...
• Au pays Tamil Nadu au Sud-est de l’Inde : la tradition du Kolam
Dans certains villages, tous les matins, les femmes se livrent à un rituel : elles balayent le seuil de leur maison, l’aspergent d’un mélange de bouse de vache et d’eau, puis le couvrent de figures complexes élaborées avec de la poudre de riz.
Selon la tradition, la bouse de vache purifie le sol alors que la poudre de riz constitue une offrande pour les fourmis. En Inde dans la culture tamoule, il est important de commencer la journée par une bonne action. Cette tradition du kolam se transmet de mère en fille. M.Ascher (2005)
une autre photo en cliquant
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voir aussi le site http:/ www.anthropologieenligne.com/pages/...]
Etude du tracé d’un kolam
L’exécution d’un kolam démarre par la création d’un réseau de points.
Pour dessiner celle de la figure c, une première ligne continue fermée a est reproduite trois fois après une rotation de 90 ° par rapport à la précédente.
Pour terminer le dessin et aboutir à la figure d, les figures élémentaires précédentes sont entourées par une ligne fermée et continue e.
Quelques remarques pour terminer
– On vient de voir que dans au moins trois régions du monde on retrouve des tracés sur le sol constitués de lignes continues fermées avec des intentions culturelles très différentes : Décoration, représentations d’animaux, support de légendes ou d’histoires, objet en relation avec des croyances etc .
– Peu d’éléments sont actuellement connus pour savoir si ces techniques de tracés de courbes fermées sont des pratiques strictement locales ou importées.
– On peut remarquer qu’en Angola et au Vanuatu, ces lignes sont tracées par des hommes alors qu’en Inde du Sud, ce sont des femmes.
– On peut affirmer que l’intention propre des différents producteurs de tels dessins sur le sol ne sont pas mathématiques,
Mais
La réalisation de certains dessins repose sur une idée mathématique que le mathématicien associera à la théorie des graphes.
Extrait Déclic T ES
« Déclic Terminale ES, Edition Hachette Education (2006)
Ces théorèmes sont appelés théorèmes d’Euler (1707-1783) car Euler les a utilisés pour résoudre le problème des « ponts de Königsberg » dans un mémoire publié en 1736. »
Et on peut remarquer qu’on est en présence d’une géométrie dont les lignes ne relient pas les points mais les contournent !
Quelques pistes d’utilisation en classes de telles figures
– En cycle 3
Analyse d’une figure simple sur le sable avec pour projet la construction d’un sona, d’un nitus ou d’un kolam.
– En collège
Analyse des figures : recherche de symétries, recherche de la construction voire d’un programme de construction.
– En lycée
• Classe de seconde et de première : recherche des sous-courbes puis des différentes transformations
• Classe de Terminale ES : Etude des figures (en particulier celles des Bushoong) en lien avec les théorèmes d’Euler (théorie des graphes)
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