L’OCEAN INDIEN AU CARREFOUR DES MATHÉMATIQUES ARABES, CHINOISES, EUROPÉENNES ET INDIENNES (Saint-Denis de La Réunion, 3-7 novembre 1997)

Actes du colloque édités par Dominique TOURNÈS.
Un volume de 456 pages, en format 16 x 24.
Publication de l’IUFM de La Réunion avec le concours de l’APMEP et de l’ILA.

SOMMAIRE

– Préface, LIU Dun

– Avant-propos, Dominique TOURNÈS

– Mathématique et anthropologie dans une île de l’océan Indien, Christian BARAT

Thème 1 : Le contexte culturel, philosophique et religieux du développement des sciences

– La philosophie des Upanishads, Bernard PITOU

Les Upanishads sont un ensemble de textes religieux à caractère spéculatif. Ils s’efforcent d’établir des corrélations entre le rituel, l’homme et le cosmos. Ils ne forment pas un corpus clairement défini, leur nombre variant d’un auteur à l’autre ; c’est plutôt un genre littéraire. À ce titre la Bhagavad-Gita en fait partie. Je voudrais montrer qu’il existe une véritable philosophie de l’hindouisme ; que tous les thèmes de la philosophie occidentale se retrouvent dans ces textes, non sous la forme de longs développements doctrinaux, mais sous la forme de courts aphorismes, dont la brièveté donne à penser. Il y est question de l’Absolu, de l’âme individuelle dans son rapport au premier, du Temps, de la Matière et de l’Éternité. Un rapprochement semble intéressant pour souligner les points communs et les différences. La présence de ces thèmes montre que l’hindouisme n’est pas seulement une religion, mais une métaphysique, une spéculation sur l’être et sur l’étantité.

– Les sciences dans la pensée indienne, Soucé Antoine PITCHAYA

Contrairement au monde occidental où “la Science, la Philosophie et la Religion co-existent dans une trêve armée”, selon le mot de M^me Rhys Davids, en Inde, toutes les trois sont filles de la Connaissance et ne s’opposent nullement ni ne s’excluent. Il n’y a jamais eu de tabou dans la recherche scientifique indienne, ni de dogme à ne pas enfreindre.
La quête progressive de la Cause première absolue a laissé tomber de son établi des copeaux appelés Religion, Philosophie et Sciences. Si la religion retient l’homme un instant dans une posture statique, la philosophie le porte vers le “pourquoi ?” inaccessible des choses et des êtres et les sciences restent les modestes vecteurs des modestes découvertes des modestes “comment ?”.
Les textes anciens indiens arpentent les domaines des sciences d’observation, des sciences expérimentales et des sciences appliquées (nous ferons abstraction des sciences exactes).
Nous verrons les sources, les méthodes, les instruments, etc. que les sciences utilisent ainsi que les applications de ces dernières dans la vie de tous les jours.
Ce qui est curieux dans la recherche scientifique indienne, c’est qu’elle ait été capable de concevoir et d’exprimer avec une autre terminologie peut-être, mais avec la même certitude que les sciences modernes, l’existence des galaxies, la théorie des quanta, les atomes et les molécules, etc. uniquement par la perception, l’imagination, la déduction et l’intuition sans jamais éprouver le besoin d’inventer des instruments matériels d’observation ou d’expérimentation comme la lunette astronomique ou le cyclotron.

– Taoïsme et sciences chinoises, Philippe CHE

L’histoire des sciences chinoises est, comme il a été souvent démontré, largement liée à celle du taoïsme, et en particulier à la recherche de l’immortalité physique. C’est ainsi que les alchimistes chinois sont à l’origine de découvertes importantes telles que la variolisation, ancêtre du vaccin moderne, ou, dans un tout autre domaine, de la poudre à canon. Notre communication aura pour but de préciser la nature des liens étroits qui unissent taoïsme et histoire des sciences, et de tenter d’établir un inventaire de l’héritage scientifique chinois en Orient et en Occident, en particulier dans les domaines de la médecine traditionnelle – acupuncture, pharmacopée – et de l’hygiène quotidienne – diététique, taiji quan, qigong, etc.

– L’école rationaliste de Bagdad, Tahar MEJRI

Thème 2 : L’environnement politique, économique et scientifique de la construction des mathématiques

– De la nécessité de gérer à la naissance de l’écriture en Mésopotamie, en Égypte et dans la vallée de l’Indus, Daniel BERTHE

Il est admis communément que le passage de la préhistoire à l’histoire correspond à l’existence de documents écrits. Mais une difficulté est de définir ce qu’est un tel document. En effet, quelle est la différence entre un dessin isolé (une main par exemple) décorant une poterie et le même dessin “mélangé” avec d’autres dessins ?
Les premières “écritures”, qui vont représenter la pensée et le langage humains par des signes, correspondront à la nécessité de gérer mieux les échanges entre les cités-états (Uruk, Suse…), ainsi que leurs comptabilités.
Dans ce texte seront abordés l’invention de l’écriture, les premières évolutions de l’écriture en Mésopotamie et en Égypte et une présentation de l’écriture de la civilisation de la vallée de l’Indus.

– Aperçu de l’histoire des mathématiques en Chine ancienne dans le contexte d’une histoire internationale, Karine CHEMLA

L’exposé esquissera à grands traits les temps forts de l’histoire des mathématiques en Chine, en cherchant à mettre en évidence certaines particularités du cours pris par les explorations mathématiques dans l’Empire du milieu. Il montrera sur quelques exemples comment des résultats mis au point en Chine se sont frayés un chemin jusque dans une mathématique internationale. Mais il discutera également de la manière dont il convient de rendre compte de spécificités des productions mathématiques de la Chine ancienne.

– Physique grecque et physique chinoise, Michel SOUTIF

On compare la Physique grecque et la Physique chinoise. Convergence profonde de la Physique de la matière. Divergence totale sur la Mécanique. Conséquences : les actions à distance (Magnétisme - Vibrations…).

– La marine chinoise du X^e au XV^e siècle, Philippe CHE

L’histoire de la marine chinoise, son importante avance technique – boussole, cartographie, techniques de construction –, ses apports à la marine européenne, sa puissance dans les domaines de la guerre et du commerce jusqu’au 15^e siècle, restent des sujets largement méconnus du monde occidental. Des travaux récents portant sur la période 10^e-15^e siècles ont permis de combler cette lacune. Nous tenterons, au cours de cet atelier, de résumer les avancées de la recherche dans ce domaine, en rappelant au passage l’épopée maritime de l’amiral Zheng He dans l’océan indien (première moitié du 15^e siècle).

– L’empire maritime portugais, la diplomatie française et la transmission des sciences mathématiques européennes en Asie orientale aux XVII^e et XVIII^e siècles, Catherine JAMI

La transmission de certaines connaissances scientifiques d’Europe en Asie au cours de ces deux siècles fut surtout l’œuvre de missionnaires jésuites. Si ces derniers étaient originaires de tous les pays d’Europe, la mission fut sous le patronage exclusif du Portugal jusqu’en 1685. Le déclin de la puissance maritime portugaise poussa les jésuites à chercher ailleurs soutien financier et politique, alors que, parmi d’autres puissances européennes, la France cherchait à étendre son influence en Asie orientale. Servant à la fois d’instrument d’exploration et de composante d’une image diplomatique, les sciences jouèrent dans cette évolution un rôle crucial. En retour, elles furent marquées par cette fonction, avant tout dans cette région du monde, mais aussi, dans une certaine mesure, en Europe même.

– Traductions et synthèses : les mathématiques occidentales en Chine, 1607-1782, Catherine JAMI

– L’observation du transit de Vénus : expéditions astronomiques dans l’océan Indien aux XVIII^e et XIX^e siècles, Dominique TOURNÈS

La connaissance des dimensions de l’univers passe par la mesure de l’“unité astronomique”, c’est-à-dire de la distance entre la Terre et le Soleil. Il est possible d’obtenir cette distance avec précision en exploitant un phénomène rare qui a lieu environ deux fois par siècle : le passage de la planète Vénus devant le Soleil. Nous rendons compte des nombreuses expéditions qui ont été envoyées aux quatre coins du globe pour observer ce phénomène en 1761, 1769, 1874 et 1882, en insistant tout particulièrement sur le voyage du chanoine Pingré à l’île Rodrigues en 1761.

Thème 3 : Le zéro, les chiffres et les lettres : de l’arithmétique à l’algèbre

– La symbolique des nombres, Franck BÉROUJON

Les chiffres comme supports graphiques, logiques et archétypiques pour l’élaboration de mythes d’évolution individuelle, collective et universelle. Recherche des invariants qui structurent la symbolique numérique des cosmogonies, des métaphysiques et des techniques de prédiction. Brèves incursions dans la numérologie, le Tarot, le Yi-King et l’ésotérisme judéo-chrétien. Question directrice : les chiffres seraient-ils les structures fondamentales de l’univers ou à tout le moins de l’esprit humain ?

– La diffusion de la numération décimale de position, Michel SOUTIF

L’écriture des chiffres en Chine depuis la période de Anyang (–1350). L’écriture des chiffres en Inde depuis Açoka
(–269). L’apparition du zéro dans le Sud Est asiatique en corrélation avec l’histoire politique et religieuse de cette région. La diffusion des connaissances indiennes vers les arabes. L’introduction des chiffres “ghubar” en Europe à travers l’Espagne et la Sicile. Les maîtres de calcul au début de la Renaissance.

– Nombres, outils de calcul et expressions mathématiques en Chine ancienne, LIU Dun

– Histoire de la numération et de l’arithmétique indiennes des origines au XII^e siècle, Catherine MORICE-SINGH

Après avoir examiné les nombres et les opérations apparaissant dans les textes védiques les plus anciens, le concept du zéro chez le grammairien Panini (environ 500 av. J.-C.), le zéro et son symbole chez Pingala (entre 400 et 200 av. J.-C.), un scénario pour une naissance indienne du zéro et du système décimal de position sera proposé.
De nombreux exemples tirés d’inscriptions et de textes permettront ensuite de mieux apprécier l’utilisation de ce système de numération par les mathématiciens indiens de l’ère chrétienne pour exprimer les nombres et effectuer les opérations arithmétiques fondamentales.

– L’apport de l’Inde aux mathématiques arabes, Khalil JAOUICHE

Nous n’avons pas beaucoup d’informations concernant les relations entre les mathématiques arabes et les mathématiques indiennes. L’ouvrage d’Al-Biruni sur l’Inde n’en parle pas. Nous devons donc nous contenter des références explicites que les mathématiciens arabes nous donnent quand ils empruntent un certain nombre de calculs aux indiens. L’exemple le plus frappant et le plus important du point de vue historique est évidemment le calcul indien emprunté par Al-Khuwarizmi à l’Inde.

– Quelques aspects des suites et des fractions dans le Ganita-sâra-sangraha de Mahâvîrâçârya (IX^e siècle), Lawrence Somesh IGNACE

Un rapide panorama des mathématiques indiennes de 1500 av. J.-C. au 9^e siècle permettra tout d’abord de replacer le Ganita-sâra-sangraha dans son contexte historique. Il sera ensuite proposé d’étudier quelques règles de calcul et exercices tirés de cet ouvrage.

– Un exemple d’équation quadratique chez Al-Khowarizmi, Daniel BERTHE

Muhammad Al-Huwarizmi, mathématicien du 9^e siècle de la Maison de la Sagesse à Bagdad, est entre autres l’auteur d’Al-Kitab al muhtasar fi hisab al-grab wa-l-muqabala. Dans cet ouvrage, il montre que toutes les équations du premier et du second degré se ramènent à six types d’équations. La chose (say) cherchée est trouvée d’abord par des calculs, ensuite des preuves géométriques de la justesse des algorithmes sont données.

– Les carrés magiques dans la tradition mathématique arabe, Yves MARTIN

À partir de la récente réédition d’un traité arabe médiéval sur les carrés magiques, nous explorerons l’évolution de ce thème dans les mathématiques occidentales (Euler…). Nous terminerons par exposer quelques résultats originaux illustrés par un logiciel dédié à l’analyse des carrés magiques.

Thème 4 : Géométrie, géométries : plusieurs façons de voir le monde

– Les origines de la géométrie, Franck BÉROUJON

Contre le mythe de Renan figuré par l’expression “miracle grec”, repérage des conditions politiques, techniques, anthropologiques, religieuses et culturelles nécessaires à l’émergence de la géométrie.
Analyse du gnomon ; fondements mythiques de la structuration de l’espace (ex. : Anaximandre) ; origines optiques, éthiques et astronomiques de l’œuvre de Thalès ; fondements socio-politiques des Éléments d’Euclide.
Références principales : épistémologie de Michel Serres, anthropologie de Jean-Pierre Vernant.

– La méthode des pesées chez Archimède, Michèle BATHIER-FAUVET

Découper une surface, un volume respectivement en lignes et en tranches sans épaisseur que l’on “pèse”, voilà l’idée qu’exploite Archimède dans La Méthode (traité qui ne nous est parvenu qu’en 1899) pour évaluer aires et volumes. Après une rapide présentation de la vie et l’œuvre d’Archimède, nous comparerons la démonstration de la proposition 1 de La Méthode (quadrature de la parabole) avec une des 21 démonstrations données par Torricelli du même résultat. En étudiant les propositions 14 à 16 de La Quadrature de la Parabole, nous verrons comment il met en rigueur – toujours en utilisant l’idée de pesée – cette démonstration de type infinitésimal. Il s’agit là d’une très belle utilisation de la méthode d’exhaustion. Enfin un tableau récapitulatif du contenu de La Méthode nous montrera qu’on peut penser que tous les travaux d’Archimède ne nous sont pas encore parvenus.

– Relations entre procédure et démonstration : La mesure du cercle dans les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques et dans leur commentaire par Liu Hui (III^e siècle), Karine CHEMLA

Des commentaires chinois datés du troisième siècle de notre ère démontrent la correction des algorithmes que des documents antérieurs proposent pour calculer l’aire du cercle ou le volume de la pyramide. La comparaison entre ces deux démonstrations met en évidence l’existence, en Chine, de modes de raisonnement stables pour aborder des questions impliquant l’infini, mais différents de ceux que recèlent les textes grecs pour mettre en œuvre les mêmes idées mathématiques. On examinera l’ensemble des raisonnements disponibles dans ces deux corpus, et l’on précisera leurs points communs ainsi que leurs différences.

– Démonstration grecque et démonstration chinoise : une opposition entre le discursif et le visuel, Évelyne BARBIN

Nous proposons d’analyser le rôle du discours et celui du visuel dans la démonstration géométrique. Pour cela, nous comparerons des démonstrations de la géométrie grecque contenues dans les Éléments d’Euclide (3^e siècle av. J.-C.) avec des démonstrations des mathématiques chinoises contenues dans les Neuf Chapitres sur l’Art Mathématique et commentées par Liu-Hui (3^e siècle).

– Quelques aspects de la théorie des parallèles dans la géométrie arabe, Khalil JAOUICHE

Le cinquième postulat d’Euclide concernant les parallèles a fait l’objet depuis la plus haute antiquité de doutes sérieux quant à sa validité. Les mathématiciens arabes ont repris le problème et ont élaboré de nombreuses théories pour lui substituer d’autres postulats qui leur paraissaient plus clairs et plus évidents. Ils ont également essayé, mais bien entendu en vain, de le démontrer. Ces démonstrations sont toutefois importantes historiquement parce qu’elles ont laissé des méthodes qu’on voit réapparaître chez les mathématiciens occidentaux des 16^e, 17^e et 18^e siècles. L’exemple de Saccheri et d’Al-Khayyam est particulièrement intéressant à cet égard.

– La pulsation entre les conceptions optiques, algébriques, articulées, et projectives, des ovales cartésiennes, Évelyne BARBIN et René GUITART

Dans les années 1630, Descartes introduit les ovales comme solutions d’un problème optique et il en donne une double définition, par équation et par mouvement bien réglé. Deux siècles plus tard, Quételet montre que ces mêmes ovales interviennent dans un autre problème d’optique en un sens dual de celui résolu par Descartes, et il donne une définition par intersection de cône de ces ovales. Nous proposons de voir comment l’objet ovale et les méthodes pour l’étudier se transforment, et comment ces transformations accompagnent les métamorphoses de la géométrie.

– Le théorème d’Erdös-Mordell par la méthode des aires, Jean-Louis AYME

Dans la forêt vaste et obscure des exercices sur le triangle où l’on s’égare sans guide sur des “voies fausses”, nous proposons un historique, voire un “fil d’Ariane”, et une méthode, celle des aires, reliant Pythagore au hongrois Erdös, en passant par l’hindou Brahmagupta, le persan Thâbit ibn Qurra, le grec Pappus et le russo-américain Kazarinoff. C’est l’art de procéder de ce dernier dans sa démonstration du théorème d’Erdös qui nous a permis cette filiation.

Thème 5 : Applications pédagogiques de l’histoire des mathématiques

– Un PAE sur l’histoire des mathématiques de l’Inde ancienne, Catherine MORICE-SINGH

Ce P.A.E. a été effectué en 1996-97 dans le cadre du Projet d’Établissement de l’École Française de Delhi. Ses objectifs principaux étaient : permettre aux élèves, qui ne passent en général que quelques années en Inde, de partir à la découverte du monde indien ancien et, les mathématiques étant l’élément central de l’enquête, mettre en valeur le fait qu’une civilisation crée les mathématiques dont elle a besoin.
Dans ce texte, nous présentons la méthodologie et le résultat (un “livre” photocopié d’une centaine de pages) de ce P.A.E.

– Le boulier chinois, Nathalie AYMÉ

Le boulier chinois est à la fois un art et une technique. Nous présentons son histoire, ses diverses formes, la place qu’il occupe encore aujourd’hui dans certains pays et ses possibles applications pédagogiques à l’école primaire et au collège. Nous expliquons aussi comment on peut l’utiliser pour effectuer les quatre opérations.

– Regard sur un mathématicien indien : Srinivasa Ramanujan (1887-1920), Dominique TOURNÈS

Ramanujan est un cas unique dans l’histoire des mathématiques : entièrement autodidacte et exceptionnellement imaginatif, il a rempli plusieurs carnets de formules profondes qui, à l’heure actuelle, sont exploitées dans diverses branches des mathématiques et de la physique. Après un rapide survol de sa vie et de son œuvre, nous puiserons dans ses travaux deux thèmes qui peuvent donner lieu à des activités en classe au niveau lycée : la décomposition d’un entier en sommes de cubes et le calcul approché du nombre Pi.

– Histoire des mathématiques sur l’Internet, Yves MARTIN

Une liste d’adresses concernant les mathématiques arabes, chinoises et indiennes et, plus généralement, l’histoire des mathématiques.

– Annexes

– Programme du colloque

– Personnes et organismes ayant contribué à l’organisation du colloque

– Adresses des auteurs

– Liste des participants