L’année 2015 verra peut-être la conjecture des nombres premiers jumeaux s’éteindre. De grandes avancées ont été réalisé ces deux dernières années à la suite d’une publication de Yitang Zhang. Celle-ci prouve qu’il existe une infinité de couples (p, p’) de nombres premiers tels que la différence p’ – p est inférieure à 70 106.
Un groupe « polymath8 » a même été crée, il regroupe des mathématiciens illustres tel Terence Tao. Son objectif est d’améliorer la majoration trouvée par Yitang Zhang et si possible la ramener à 2. Le travail d’un jeune mathématicien, James Maynard, a déjà permis de la ramener à quelques centaines.
Le moment me paraît donc bien choisi pour sensibiliser les élèves de classes terminales et leurs professeurs sur un sujet qui défit l’esprit depuis des siècles : « Existe-t-il une infinité de paires de nombres premiers jumeaux ? »
Le court texte qui suit ne cherche pas à démontrer la conjecture, ni à donner, en une poignée de secondes, la liste des paires de nombres premiers jumeaux inférieures à 10 000 000. Dans une première partie, il donne une interprétation géométrique du résultat de Yitang Zhang qui mène à l’énoncé d’une conjecture équivalente à celle des nombres premiers jumeaux et, dans une deuxième partie, il met en évidence un crible qui permet de déterminer les premières paires en s’inspirant du crible d’Ératosthène pour les nombres premiers. Le logiciel Xcas permet de mettre en œuvre le crible.
La lecture est aisée pour un élève qui s’intéresse aux mathématiques. Seule une allusion au postulat de Bertrand : « pour n > 1, il existe un nombre premier strictement compris entre n et 2n », sort du programme.
Il me semble que les amateurs de dénombrement, comme le fut certainement Viggo Brun en son temps, en tireront profit pour faire quelques pas vers la conjecture, des pas qui sans nul doute les mèneront vers le Capitole.
Sommaire
- Introduction
- Notations et définitions
- Première partie
- Interprétation géométrique du résultat de Yitang Zhang
- Propriétés élémentaires de la fonction z
- Retour sur le résultat de Yitang Zhang
- Équivalence de deux conjectures
- Deuxième partie
- Le crible d’Ératosthène pour les nombres premiers jumeau
- Antécédents
- Écriture d’un antécédent
- À la manière d’Ératosthène
- Le principe
- Le programme
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