Pour commencer, un exercice classique au collège : Les nombres au-dessus des solides sont proportionnels à leurs volumes respectifs.
En effet si $R$ est le rayon commun à ces trois objets, le cylindre et le cône ont pour hauteur $2R$ donc le volume du cône est $\frac{\pi R^2 \times 2R}{3}=\frac{2 \pi}{3}R^3$, celui du cylindre est notoirement son triple, et celui de la boule $\frac{4 \pi}{3}R^3$ en est le double :
Puis un « fractal » décrit par B. Mandelbrot dans son ouvrage« The Fractal Geometry of Nature » sous le nom de Devil’s pyramid : Sur chaque face d’un tétraèdre régulier, on ajoute un tétraèdre de taille moitié, collé de façon qu’une de ses faces occupe le « triangle des milieux » d’une des faces du grand tétraèdre. Puis on recommence sur chacune des faces des petits tétraèdres, etc. Le fractal obtenu à l’infin n’est pas un fractal : C’est un cube, comme le montre l’image ci-dessous :
Un fractal plus intéressant s’obtient en collant sur chaque face d’un cube, un cube plus petit, et en recommençant. Le modèle a été construit avec un logiciel de grammaires L appelé LParser puis rendu par POV. Cette image a beaucoup de succès malgré sa relative simplicité.
Sur Youtube se trouve un film fait avec POVray, montrant la fenêtre de Viviani, montrée dans l’article sur les sections
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