Le produit remarquable (a+b)²=a²+2ab+b² peut se réécrire, par passage de certains termes d’un membre à l’autre, ab=d(a+b)-d(a)-d(b) où d est la fonction « demi-carré », qui à x, associe x²/2. La table de valeurs de cette fonction peut donc être utilisée pour effectuer le produit de a par b selon la méthode montrée ci-dessous :

On suppose que a est plus petit que b

• à l’étape 0, on reporte la longueur OA à partir de B pour « construire » a+b ;
• à l’étape 1, on utilise la parabole pour repérer les demis-carrés de a, de b et de a+b ; il ne reste alors plus qu’à soustraire les deux premiers au troisième pour avoir le produit de a par b ;
• à l’étape 2, on soustrait d(a) à d(a+b) par un nouveau report de longueur ;
• enfin, à l’étape 3, on soustrait d(b) au résultat par un nouveau report de longueur. On a alors le produit de a par b.

On peut modifier a et b en les faisant glisser sur l’axe des abscisses dans la figure ci-dessus.

La lecture de la table des demi-carrés peut remplacer l’utilisation de la parabole. Au lieu d’effectuer une multiplication, on effectue une addition (à l’étape 0) et deux soustractions (étapes 2 et 3) ou une addition (d(a)+d(b)) suivie d’une soustraction (à d(a+b)) ; opérations plus simples à effectuer qu’une multiplication, surtout s’il y a plusieurs décimales.

Voici la table des demi-carrés en pdf :

Le produit remarquable (a-b)²=a²-2ab+b² peut se réécrire ab=a²+b²-(a-b)² ce qui donne un autre algorithme de multiplication à l’aide d’additions, de soustractions, et de lectures de la même table de demi-carrés vue dans l’onglet précédent. Avec la figure ci-dessous, toujours en supposant a plus petit que b :

• à l’étape 0, on soustrait a à b en reportant la longueur OA à OB ;
• à l’étape 1, on utilise la parabole pour repérer les demi-carrés de a, b et b-a ;
• à l’étape 2, on additionne d(a) à d(b) ;
• enfin à l’étape 3 on soustrait d(a-b) au résultat, toujours par un report de longueur, pour avoir le produit de a par b.

Les deux méthodes basées sur la table des demi-carrés (celle de l’onglet précédent et celle-ci) ont donné lieu à un devoir maison en terminale STI2D, dont voici l’énoncé (l’annexe est la table proposée en téléchargement en bas de l’onglet précédent) :

En développant (a+b)²-(a-b)², on démontre que le produit de a par b est la différence entre q(a+b) et q(a-b), où q est la fonction « quart de carré » qui, à x, associe x²/4. La table des quarts de carrés permet alors de ramener la multiplication de a par b à des calculs d’addition,, de soustraction et de lecture de table. En voici la version graphique, toujours en supposant a inférieur à b :

• à l’étape 0, on additionne et soustrait a à b par reports de longueur (à l’aide d’un compas) ;
• à l’étape 1, on utilise la nouvelle parabole pour repérer q(a+b) et q(a-b) ;
• à l’étape 2, on repère q(a-b) comme longueur,
• et à l’étape 3, on la reporte à partir de q(a+b) pour avoir la différence, qui est le produit de a par b.

Le devoir maison donné à l’onglet précédent était prolongé par une illustration de cette méthode basée sur les quarts de carrés, et accompagné d’une autre annexe que voici :

L’un des premiers auteurs de table trigonométrique, l’astronome Claude Ptolémée, donnait le nom de prostaphérèse pour désigner un terme correctif dans une équation. Pour l’astronome Tycho Brahe, la prostaphérèse était la formule suivante :

Tycho Brahe s’en servait donc pour effectuer des multiplications à l’aide d’additions, de soustractions, de division par deux et d’une table de cosinus. La méthode semble être connue depuis le Moyen-Âge (le problème étant d’avoir des tables de cosinus assez précises). Voici la description graphique du procédé, toujours avec a inférieur à b :

• à l’étape 0, a et b sont repérés cette fois-ci non sur l’axe des abscisses mais celui des ordonnées puisqu’en réalité les facteurs sont des cosinus.
• à l’étape 1, on utilise la représentation (ou la table de cosinus lue à l’envers) pour trouver les deux angles dont les cosinus valent respectivement a et b.
• à l’étape 2, on additionne et soustrait ces deux angles (par exemple en reportant la plus petite des deux à l’aide d’un compas).
• à l’étape 3, on utilise encore une fois la représentation (ou la table) pour lire les cosinus de la somme et de la différence.
• enfin à l’étape 4, on calcule (ou construit par un milieu) la moyenne des deux cosinus en question : C’est le produit de a par b.

Après le cours sur la trigonométrie, un deuxième DM a été donné dans la même classe, avec les mêmes difficultés à effectuer des additions, mais aussi de très intéressantes remarques sur le manque de précision de la méthode par prostaphérèse par rapport aux méthodes précédentes, à moins de disposer d’une table de cosinus plus précise [1]. En voici l’énoncé avec son annexe :

énoncé	annexe

L’astronome anglais Henry Briggs, contemporain de Tycho Brahe, utilisait également la méthode par prostaphérèse pour effectuer des muliplications, à l’aide de tables de cosinus dont il était d’ailleurs l’auteur [2]. Aussi était-il bien placé pour comprendre l’intérêt de l’invention des logarithmes par son contemporain John Napier. Voir l’onglet suivant pour la suite de l’histoire.

Impressionné par l’efficacité des tables de logarithmes par rapport à celles de cosinus pour effectuer des multiplications (on remplace une somme, une différence et un calcul de moyenne par une simple somme, mais en gardant dans les deux cas, des lectures directe et inverse de tables), Briggs est allé rendre visite à l’écossais Neper pour l’aider à calculer des tables de logarithmes [3] ce qui a permis d’effectuer des multiplications plus simplement qu’avec les méthodes précédentes, comme on le voit ci-dessous avec la version graphique (logarithme en base 1/e) :

• à l’étape 0, on repère les deux nombres a et b (à multiplier) sur l’axe des abscisses. On suppose toujours que a est plus petit que b ;
• à l’étape 1, on lit leurs logarithmes à l’aide de la courbe ;
• à l’étape 2 on additionne les logarithmes par report de longueur sur l’axe des ordonnées ;
• L’étape 3 permet alors d’avoir le produit à l’aide de la courbe, par lecture inverse.

Après le cours sur les logarithmes, un troisième DM sur le sujet a été confié à la même classe de STI2D, avec toujours les mêmes difficultés à effectuer correctement une addition, mais des progrès en rédaction d’algorithmes [4] :

énoncé	annexe