Présentation ERMEL

Le problème de construction est le suivant : les élèves doivent construire un cercle tangent à deux cercles concentriques donnés. Deux types de solutions sont alors possibles mais nous n’envisagerons que la première configuration, la seconde n’étant apparue que très rarement dans la classe où l’on a mené l’activité dans l’environnement papier-crayon :

Alors que l’équipe d’ERMEL propose de travailler avec des mesures sur l’écart entre les cercles concentriques pour trouver le rayon et le centre du cercle tangent, nous avons choisi de réadapter en géométrie dynamique le contexte statique et les mesures.
ERMEL propose quatre fiches d’activités : les deux premières respectivement nommées « dessiner » et « anticiper le centre et le rayon », et deux autres qui permettent de discuter de propositions d’élèves. Nous avons choisi de garder les deux premières activités et une seule des discussions de propositions.

Les compétences et les objectifs visées sont les suivants :
Compétences mathématiques :
– utiliser en situation le vocabulaire géométrique : cercle, centre, rayon, écart, points alignés, droite, segment.
– tracer une figure (…) à partir d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée ( avec indications relatives aux propriétés et aux dimensions ).
Compétences des Techniques usuelles de l’Information et de la Communication (B2i) :
– domaine 1 : s’approprier un environnement informatique de travail.
– domaine 2 : adopter une attitude responsable ( attitude critique face aux résultats renvoyés par le logiciel ).
– domaine 4 : s’informer, se documenter. ( utiliser les fenêtres, ascenseurs, boutons de défilement, icônes et onglets )
Objectifs mathématiques :
– faire émerger des propriétés géométriques d’une figure pour la construire.
– argumenter la validité d’une procédure de construction.
– utiliser en situation le vocabulaire géométrique : cercle, centre, rayon, écart, points alignés, droite, segment.
Objectifs opérationnels pour le B2i :
– utiliser la souris pour déplacer le pointeur et fixer la position du curseur, ou pour valider un choix.
– choisir le bon icône pour chaque « exercice » dans la palette du logiciel de géométrie dynamique.

En ce qui concerne l’organisation, les élèves de CM1 sont, par ordinateur, en binôme.
Les élèves en sont à leur troisième séance avec le logiciel CaRMetal : ils commencent à bien le connaître. Cependant pour cette séance, ils vont travailler avec une nouvelle version du logiciel* (version3.5.2).

remarque

* Le logiciel CaRMetal est libre, gratuit et multiplateforme. Il a été choisi pour les idées développées dans l’introduction de cet article, en cohérence avec d’autres productions de l’IREM de la Réunion.

L’utilisation du vidéoprojecteur permet de faire les mises en commun, les élèves pouvant présenter leur travail montrant ainsi comment ils ont fait via l’ordinateur de l’enseignant relié au vidéoprojecteur, le soumettant ainsi plus facilement à la discussion.

La palette restreinte

Dans un premier temps, il est nécessaire d’adapter la palette de CaRMetal à l’activité proposée aux élèves : nous allons donc travailler avec une palette restreinte.

Dans l’onglet construction : seules les icônes qui nous semblaient nécessaires pour la réalisation de ces problèmes ont été laissées : point, milieu, droite, demi-droite, segment et les trois icônes cercles : cercle, cercle de rayon fixe et cercle défini par rayon et centre.

Le Monkey

Les élèves pourront, lors de cette séance à l’occasion de la nouvelle version de CaRMetal (version3.5.2) utiliser une nouvelle icône : le Monkey.

En maintenant un clic gauche sur le Monkey, la figure est « secouée » de manière aléatoire, permettant ainsi de valider ou non une construction. La construction est validée si cette dernière résiste au déplacement provoquée par le Monkey.
A priori, le Monkey est un outil de validation de la figure, mais il peut devenir un outil d’investigation ; nous pourrons ainsi proposer aux élèves des débuts d’investigations de recherche. En utilisant l’icône Monkey, certains élèves, et selon leur construction, pourront ainsi apercevoir une solution au problème posé et aussi percevoir la deuxième configuration : ce qui n’est pas possible dans une production papier-crayon où tout reste figé dès que les tracés sont réalisés. L’outil Monkey, utilisé comme test de validation, sera donc pour certains élèves un simple retour sur leur construction, et pour quelques autres une opportunité d’investigation.

Les figures et les fiches de travail

Pour la construction des cercles concentriques sur CaRMetal, leur centre a été fixé pour des raisons de vérification.

Ainsi quand les élèves vérifieront leur figure, avec l’activation du Monkey (clic gauche maintenu), les cercles concentriques ne bougeront pas, facilitant ainsi la visualisation.

Animation des deux solutions par le Monkey

Le fichier .zirs se présente sous forme d’un classeur où nous avons mis trois fiches de travail : les cercles fiche 1, les cercles fiche 2 et les cercles fiche 3.
Sur chacune des fiches, du texte rappelant les consignes a été rajouté.

Les cercles fiche 1 : deux cercles concentriques de rayons respectifs 1 et 8.

Dans un premiers temps on demande aux élèves de décrire ce qu’ils voient. Les réponses attendues sont : deux cercles, un petit et un grand, ils ont le même centre...
Remarque : on peut ici apporter le terme de cercles concentriques sans en exiger l’usage par les élèves.
Puis on leur donne la consigne suivante : « Sur l’écran sont tracés deux cercles de même centre. Vous devez tracer un autre cercle qui touche les deux premiers. »
Collectivement toujours, le terme « touche » sera bien entendu commenté : ici, on dira aux élèves que toucher signifie un « point de contact » avec chaque cercle.
Laissez les élèves chercher sans donner plus d’indications si ce n’est le rappel des icônes. Dans cette première situation, les élèves vont, on le pense, largement utiliser l’une des trois icônes cercles.
Après la phase de recherche des élèves, la mise en commun se fera par le biais du vidéoprojecteur : des exemples de constructions seront choisis pour leur intérêt par l’enseignant et seront réalisés par les élèves ayant produit ces constructions puis soumis à la discussion.

Les cercles fiche 2 : deux cercles concentriques de rayons respectifs 2 et 8.

Pour cette activité, on distinguera deux phases : une phase de recherche à l’écrit où les élèves doivent anticiper sur le centre et le rayon du cercle qui touche les deux autres et une seconde phase où ils vont réaliser ce cercle en suivant la méthode qu’ils ont décrite auparavant avec le logiciel de géométrie dynamique.
La consigne donnée aux élèves est la suivante : « Dans un premier temps, sur papier sans utiliser le logiciel, vous allez réfléchir à la manière de faire le troisième cercle correctement. Vous allez écrire sur la feuille que l’on va vous distribuer :
où vous placeriez le centre du cercle en expliquant votre choix,
quel rayon vous choisiriez pour votre cercle en expliquant votre choix.
Dans un deuxième temps, vous tracez le cercle exactement en utilisant la méthode que vous avez écrite. »

De la même manière que pour la première activité, après la phase de recherche, la mise en commun sera faite via le vidéoprojecteur. On peut prendre en photos les productions écrites des élèves, les télécharger directement sur l’ordinateur et les projeter au tableau (si cela n’est pas possible, on fait lire les productions par les élèves) puis l’enseignant en choisit deux ou trois pertinentes et demande aux élèves qu’ils les ont produites de réaliser leur construction sur CaRMetal. Les élèves pouvant ainsi discuter de ce qui a été écrit et construit.

Les cercles fiche 3 : deux cercles concentriques de rayons respectifs 5 et 9.

Pour cette dernière activité, nous avons choisi de présenter une production d’un élève sur le choix du centre et du rayon du cercle tangent aux deux autres alors que l’équipe ERMEL en présente deux.
Nous avons du réadapter les réponses car dans l’activité originale, l’équipe ERMEL avait inclus les mesures pour trouver le rayon (« j’ouvre le compas à 2 cm d’écart » ) et dans le deuxième cas pour placer le centre (« j’ai pris le point en mesurant 5 cm à partir du centre des cercles »).
Nous avons donc changé les réponses de l’élève de façon que n’intervienne aucun mesure. Ce qui donne la consigne suivante :
« Sur l’écran est écrite une réponse concernant le tracé d’un cercle qui touche deux cercles de même centre. L’élève a écrit avec quel rayon il fait son cercle et comment il place son centre.
Voici la réponse d’un élève :
(maître) - Explique comment tu places le centre du nouveau cercle.
(élève) - Je trace un segment qui va d’un point sur le petit cercle à un point sur le grand cercle. Je prends le milieu du segment (en utilisant l’icône milieu), c’est le centre du cercle.
(maître) - Comment fais-tu pour terminer ce cercle ?
(élève) - Je clique sur l’icône cercle puis sur le milieu du segment et sur un des bouts du segment.
Si on fait comme il le dit, est-on sûr de réussir ? Répondez par oui ou par non. Expliquez votre réponse sur la feuille que l’on va vous distribuer. »

Il faut bien insister sur le terme de « sûr ».
Remarque : cette formulation « Je trace un segment qui va d’un point sur le petit cercle à un point sur le grand cercle... » ne suffit pas car l’élève ne précise pas que les points choisis sont alignés avec le centre des cercles.

Là encore pour cette activité, on distinguera deux phases : une phase de recherche à l’écrit où les élèves doivent dire si cela fonctionne ou non et pourquoi (sans utiliser le logiciel) et ensuite dans un deuxième temps, ils devront réaliser ce cercle en suivant la méthode décrite par cet élève avec le logiciel de géométrie dynamique.
Lors de la mise en commun, un élève viendra faire ce qui est écrit sur la production écrite (donnée au début) sur l’ordinateur de l’enseignant. Ainsi, tous les élèves verront comment cet élève à interpréter les instructions données : à partir de là, d’autres élèves pourront passer pour montrer qu’eux n’ont pas compris de la même manière, par exemple.
L’utilisation du Monkey invalidera les instructions données pour la construction du cercle tangent car il manque une information (voir plus haut).

Les attendus

Pour ce premier travail, nous pensons que les élèves vont utiliser l’une des trois icônes cercles.

le cercle (cas 1)
le cercle de rayon fixe (cas 2)
le cercle défini par un centre et un rayon (cas 3)

Dans le cas 1 :
Le centre du cercle sera placé de façon approximative, empiriquement et le point qui servira à finir ce cercle sera mis soit sur le petit cercle soit sur le grand cercle (point d’intersection et les deux cercles apparaissant jaune fluo).
De ce fait, ce cercle ne sera tangent qu’à un seul des deux cercles.
S’ils utilisent l’icône déplacement, en déplaçant le centre ou le cercle, ils peuvent ajuster empiriquement le rayon du cercle pour que le cercle soit tangent aux deux autres. Les élèves peuvent tout de même arriver à faire toucher le cercle aux deux autres mais un zoom permettra de voir qu’il n’y a qu’en fait soit aucun point de contact soit qu’il y a des intersections. L’activation du Monkey permettra de voir que cela ne fonctionne pas.

Dans le cas 2 :
Le centre du cercle sera placé de façon approximative, empiriquement et le point qui servira à finir ce cercle sera mis soit sur le petit cercle soit sur le grand cercle. Là aussi, ce cercle ne sera tangent qu’à un seul des deux cercles.
Si les élèves utilisent l’icône déplacement : ils peuvent bouger soit le cercle, soit le centre du cercle ; dans les deux cas, ils vont essayer de réajuster la position de ce cercle pour qu’il soit tangent aux deux autres mais cela restera peu probable.
Ils pourront aussi changer le rayon du cercle dans l’inspecteur d’objets pour l’ajuster de façon à ce que le cercle soit tangent aux deux autres. La capacité à engager les objets en manipulation directe au cours de leur construction, dans CaRMetal permet aux élèves de voir directement les effets de leur action.
En combinant ces deux actions, les élèves peuvent tout de même arriver à faire toucher le cercle aux deux autres.
L’activation du Monkey permettra de voir que cela ne fonctionne pas. Un zoom permettra de voir que cela n’est pas précis.

Dans le cas 3 :
Le centre du cercle sera placé de façon approximative. Les élèves choisiront comme rayon l’écart entre le centre nouvellement crée et le « bord » du petit cercle ou du grand cercle. Dans les deux cas, le cercle nouvellement crée ne sera tangent qu’à l’un des deux et aura soit plusieurs points d’intersection avec l’autre cercle ou aucun.
En utilisant l’icône déplacement, en déplaçant le centre ils peuvent ajuster empiriquement le rayon du cercle pour que le cercle soit tangent aux deux autres.
L’activation du Monkey ou un zoom permettra de voir que cela ne répond pas aux attentes.

Ce qui nous permet de dire que les productions des élèves peuvent être de deux sortes :
– construction d’un cercle avec un point de contact avec un cercle mais pas avec le deuxième cercle.
– construction d’un cercle avec un point de contact avec l’un des cercles et deux points d’intersection avec l’autre cercle.
La validation de la construction par l’élève se fera essentiellement de manière visuelle.

Ce qui s’est passé, les productions des élèves

Les élèves ont majoritairement utilisé l’icône cercle, quelques-uns l’icône cercle de rayon fixe. La troisième icône n’a pas du tout été utilisée. On pense que cela est dû au fait que les élèves ne savaient pas trop comment faire et comment l’utiliser. Puis les élèves ont fait des ajustements de manière visuelle.
Le cercle a deux paramètres, son centre et un point, mais les élèves s’évertuent à en ajuster un avec précision, alors qu’il faut jongler sur les deux : il est difficile pour les élèves de prendre conscience qu’en déplaçant un point on modifie aussi son rayon.
Pour trouver le milieu de l’écart, majoritairement les élèves l’ont placé de façon empirique ; seulement quelques-uns ont utilisé l’icône milieu.

Dès le départ, des élèves nous ont posé la question de savoir ce que voulez dire « toucher ». Nous leur avons expliqué que le terme de « toucher » en mathématiques signifie « un seul point de contact ».
Nous leur avons apporté le terme de tangent sans, bien entendu, en exiger l’usage par les élèves.

Lors des précédentes séances menées dans cette classe de CM1 en géométrie dynamique, les élèves n’avaient travaillé que sur les droites et s’ils manipulent spontanément, ces élèves n’ont pas une connaissance personnelle des icônes cercles et donc construisent, au cours de cette séance, leur propre apprentissage de l’icône cercle.
Les difficultés d’ajustement laissent à penser qu’une ingénierie intermédiaire serait à construire pour développer des compétences spécifiques.

Les attendus

Nous leur avons demandé d’écrire ce qu’ils devaient faire pour construire le cercle tangent.
Voici les réponses que l’on attendait :
– je trace un segment entre le petit et le grand cercle et je prends le milieu, c’est le centre du cercle. Le rayon est donné par la longueur entre le milieu et l’un des bords du segment. (A)
– je trace un segment entre le centre des cercles concentriques et le bord du grand cercle, je prends le milieu, c’est le centre. Le rayon est donné par la distance entre le milieu du segment et le bord du petit cercle (ou du grand cercle) (B).
Cette dernière réponse est intéressante car en utilisant le Monkey on voit, que le cercle reste tangent à l’un des deux cercles de départ contrairement à la première proposition.
– j’utilise l’icône milieu pour trouver le centre du cercle en prenant deux points l’un sur le petit cercle l’autre sur le grand. Le rayon est donné par la distance entre le milieu et l’un des points sur le petit ou le grand cercle.(C)
Pour cette réponse, on se rapproche de la première : la nécessité de tracer un segment pour avoir le milieu ne se fait plus sentir.
– je trace un segment entre le centre des cercles concentriques et le bord* du grand cercle, je prends le milieu de l’écart entre les deux cercles, c’est le centre. Le rayon est donné par la distance entre le milieu du segment et le bord du petit cercle (ou du grand cercle). (D)
Remarque : les élèves peuvent indifféremment choisir au lieu du segment, la droite ou la demi-droite.

remarque

* Le mot « bord » est pris volontairement dans le langage courant de l’élève. Bien entendu s’il est utilisé, cela sera à corriger, il n’y a pas de bord sur un cercle.

Ce que les élèves ont écrit

Cet exercice a été assez difficile pour les élèves : nous avons remarqué qu’en général, les élèves avaient du mal à utiliser le vocabulaire adéquat et à décrire leur action sur CaRMetal.
Les élèves travaillant par deux ou trois, nous avons recueillis treize productions dont deux où les élèves utilisent le terme de mesure, cinq difficilement exploitables car non finies ou mal expliquées, les six restantes étant les plus intéressantes.

a- Élèves utilisant le terme de mesure.

Deux groupes d’élèves ont utilisé le terme de mesure sans mesurer. Il semblerait que ce soit du vocabulaire pour dire simplement qu’ils ont pris l’icône milieu.
Mais ces derniers n’ont pu réalisé la construction avec le logiciel.

Production élèves

On peut supposer l’expression « milieu de la moitié du cercle » pour ces élèves, signifie l’écart entre les deux cercles.

Même dans un environnement uniquement géométrique, la référence à la mesure peut rester forte ; cependant, cela n’est apparu que dans deux cas sur les treize productions.

b- Élèves utilisant les icônes milieu et cercle.

Les productions de ces élèves montrent une bonne instrumentation du logiciel en particulier sur tout ce qui touche les points. Ce qui montre bien que les activités précédentes (lors des premières séances) ont bien instrumenté les élèves sur point, droite et segment.
Les élèves décrivent correctement les actions à réaliser : exemple pour l’icône milieu :« je clique sur le petit cercle et sur le grand cercle et j’obtiens le milieu » ; puis « je clique sur l’icône cercle et on clique sur le milieu et on obtient le 3^e cercle. »

Productions élèves

Chez Mathilde et Sarah, « on obtient le 3^e cercle » est écrit sans précision c’est à dire qu’on ne sait pas de quel cercle on parle ( cercle ou cercle de rayon fixe ?) et ni comment elles le font.

Ici l’expression, « le milieu des deux cercles » employée par ces deux élèves, signifie probablement l’écart entre les deux cercles.

Perceptivement les élèves se mettent sur un diamètre mais cela n’est pas retranscrit dans le discours. Ces derniers sont encore dans l’ajustement perceptif.

En ce qui concerne l’utilisation de l’icône cercle : pour les deux premières productions d’élèves citées, les élèves n’ont pas positionné le point pour finir le 3^e cercle, sur l’un des points déjà placés sur le grand ou le petit cercle. Les élèves placent donc ce dernier point au jugé, ils attendent aussi que cela deviennent « bien » jaune fluo.

Ce qui donne avec l’utilisation du Monkey une construction fausse :

Animation de cette production

Le point bleu est supposé fixe par les élèves et ils sont très étonnés de le voir se déplacer lorsqu’ils appuient sur l’icône Monkey ; donc nous leur avons suggéré de fixer ce point et de relancer le Monkey : ce qui donne l’animation suivante.

Variante, si on fixe le point comme dans la représentation des élèves :

Mais la déception des élèves est toujours aussi grande.

Par contre pour la dernière production, les élèves ont bien su utilisé l’icône cercle : le point pour finir le cercle est bien positionné.

Animation avec point bien placé

Le diamètre du cercle évolue comme la distance entre les deux cercles.

Tout cela nos montre, qu’il aurait fallu faire auparavant des séances où l’on pratique aussi une instrumentation des cercles, par exemple comme celle décrite dans cet article de prise en main du logiciel, lui-même écrit après cette séance.

c- Élèves utilisant les icônes milieu et cercle de rayon fixe.

Production élèves

Le choix du cercle ne permet pas d’avoir une construction juste : en effet, le cercle de rayon fixe signifie que le rayon de changera jamais.
Lorsque que l’on va utiliser le Monkey, on va avoir ceci :

Animation avec cercle de rayon fixe

Ici, on voit clairement que le cercle de rayon fixe (en vert) n’est pas attaché aux points sur les cercles.

d- Autre.

Ici, les élèves ont fait passer le segment pour faire le milieu, par le centre des cercles concentriques. Mais cela a été réalisé de manière visuelle :

Cette production a retenu notre attention car elle semble provenir d’une investigation avec le Monkey. En effet, nous avons lors du travail sur la fiche précédente des solutions élèves erronées passer aléatoirement par cette position, ce qui a pu inspirer les élèves : si tel est le cas, c’est donc bien que l’outil Monkey sert aussi quand la figure est fausse, à l’auto-réflexion et à l’investigation chez certains élèves.

Conclusion
Dans toutes ces productions (sauf une, la dernière présentée mais qui n’est pas dynamique), aucun élève n’a précisé le fait que les points choisis doivent être alignés avec le centre des cercles concentriques. Cependant, on a l’impression que les élèves le perçoivent intuitivement car dans la plupart des constructions, le nouveau cercle construit, était en position plus ou moins verticale ou horizontale. Il semblerait que l’on perçoit mieux le concept de distance en vertical ou horizontal.

Cette activité d’écriture a été particulièrement difficile pour certains élèves : premièrement parce que ce n’est pas dans leur habitude d’écrire ce qu’ils doivent faire (ce qui est un préalable aux activités d’écriture de programme de construction), les élèves ayant plus l’habitude de construire en géométrie que de dire ce qu’il faut faire.

Lors de la mise en commun, les élèves ont été déçus de ne jamais avoir réussi à produire ce qui était demandé. Devant leur déception, nous leur avons montré, depuis l’ordinateur relié au vidéoprojecteur, comment il aurait fallu procéder pour y arriver. Les élèves ont alors commenté en disant que « là, ça tient. »

Les attendus

Les réponses attendues étaient les suivantes (les élèves étant toujours par binôme) :
Oui, c’est juste...
Ce n’est pas précis,on ne sait pas exactement où il faut prendre les points sur les cercles.
Ça ne marche pas tout le temps
Ici on ne s’attend pas à ce que les élèves apportent de réelles explications.
Cependant, le fait que les élèves aient déjà auparavant, utilisé le Monkey, on peut s’attendre à ce qu’ils anticipent si cela marche ou pas.

La formulation donnée « Je trace un segment qui va d’un point sur le petit cercle à un point sur le grand cercle... » ne suffit pas car ici, on ne précise pas que les points choisis sont alignés avec le centre des cercles.

Ce que les élèves ont écrit

Nous avons remarqué que ce fut l’étape la plus difficile pour les élèves et donc la moins productive.
Nous avons eu : quatre « oui », quatre absences de réponses et cinq binômes ont répondu « non » dont un qui précise que « non, car, il n’a pas fait passer la droite par le centre ».

Cette activité d’explication/justification fut particulièrement difficile ; certains élèves justifient leur choix (pour ceux qui ont répondu « non ») par l’utilisation du Monkey ou par le fait qu’ils l’ont déjà fait et que cela ne fonctionne pas.
Pour les autres, il n’y a pas eu d’explication ou de justification. Toutefois, un groupe (celui qui a écrit que « il n’a pas fait passer la droite par le centre ») a compris l’importance du centre des cercles concentriques.
Il semblerait tout de même que ce type d’exercice arrive peut-être un peu trop tôt.

Ayant donné la solution aux élèves, il y avait deux démarches possibles :
– leur proposer de la faire mais nous n’avions pas prévu de fiche de travail et cela aurait été un peu difficile pour beaucoup d’entre eux sans un protocole détaillé ;
– s’en tenir à l’activité prévue (qui est de toute façon une des procédures élèves mais pas celle de tous les groupes), ce qui permet de voir si les élèves retrouvent leur procédure.