Le dodécaèdre rhombique était l’une des figures préférées d’Escher. On en voit par exemple sur ce tableau :
un clic sur la figure ci-dessus a pour effet de télécharger le fichier. Après on peut l’ouvrir avec CarMetal.
La figure ci-dessous montre un cuboctaèdre (14 faces dont 6 carrés) inscrit dans un octaèdre. Ou plutôt non, c’est un icosaèdre (20 faces) non régulier dont 12 faces ayant une forme de triangles rectangles isocèles sont regroupées 2 à 2 en carrés. Et en pliant ces carrés selon leur diagonale (curseur), on peut constater l’existence d’une position du curseur pour laquelle l’icosaèdre est régulier :
Le dodécaèdre tronqué est un ... dodécaèdre ... qu’on a tronqué ! Non !? Si, si ! Plus précisément on l’a tronqué de telle manière que les triangles et décagones sont réguliers :
Si on tronque le dodécaèdre de telle manière que les plans de section passent par les milieux des arêtes, on a le même résultat que si on avait fait l’opération (chirurgicale...) sur un icosaèdre. On obtient un icosidodécaèdre :
L’icosaèdre tronqué a un succès fou chez mes élèves, surtout les footballeurs, on se demande pourquoi...
La figure suivante est un hommage à Escher qui semble avoir découvert cette propriété de pavage de l’espace par des octaèdres et tétraèdres (qui est en fait une conséquence du pavage de l’espace par des dodécaèdres rhombiques). Manipuler les curseurs transforme la figure en un film 3D :
Le pavage a inspiré à Escher l’œuvre intitulée Planaires
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