1. Tirages avec remise

Les machines du type TI-83 de Texas Instrument ou les Casio du même genre sont équipées de fonctions qui permettent de simuler facilement des tirages successifs avec remise.

J’utilise le mode programme, dans l’écran qui suit, uniquement pour que le texte soit entièrement dans l’écran, sinon les instructions utilisées fonctionnent dans l’écran de calcul.

On applique plusieurs fois ce programme :

Ce programme envoie une liste de six éléments qui sont des entiers « aléatoires » entre 1 et 5, on peut dire qu’il simule six tirages successifs avec remise dans une boite contenant, par exemple, trois boules noires et deux blanches en décidant que les noires sont les entiers 1, 2, 3 et les blanches 4 et 5. Le dernier écran donne trois séries de six tirages ; les tirages étant supposés aléatoires.

On peut aisément, à partir de là, faire un programme qui calcule des fréquences qui avoisinent des probabilités pourvu que n soit grand.

2. Tirages sans remise

Le programme de l’écran suivant envoie une p-liste d’entiers aléatoires et tous distincts entre 1 et n, p ≤ n, il simule donc p tirages aléatoires et sans remise parmi n boules.

Pour n=7 et p=4 on obtient :

Dans l’écran précédent on a tiré, de façon aléatoire, successivement et sans remise quatre boules parmi 7 et on a obtenu les boules 4, 2, 6, 7.

3. Les éléments de la liste sont-ils tous distincts ?

L’algorithme est le suivant :

• On génère une liste L1 d’entiers.
• Un compteur F démarre à 0.
• On ordonne L1 dans l’ordre croissant.
• On balaye cette dernière liste L1 du premier à l’avant dernier et, dès qu’un terme est égal au suivant, le compteur F augmente de 1.
• Si, à la fin, F=0 alors ils sont tous distincts, sinon ils ne le sont pas.

Le programme suivant traduit cet algorithme :

Comme applications on a :

a) Le problème des anniversaires : l’exercice est adapté d’un exercice proposé dans Les certitudes du hasard d’Arthur Engel.

Dans un groupe de 30 personnes, par exemple une classe de lycée, quelle est la probabilité qu’il y en ait au moins deux ayant la même date d’anniversaire ?

La probabilité se calcule aisément, mais pour la simulation on utilise l’algorithme suivant pour faire un programme qui a déjà été fait dans un autre article de l’auteur :

• On génère n listes de 30 entiers aléatoires de 1 à 365 (qui sont 30 jours dans l’année).
• On initialise un compteur C à 0.
• Pour chacune de ces listes on teste si ses éléments sont tous distincts, si la réponse est oui le compteur C augmente de 1.
• À la fin on fait afficher C/n qui est, pour n assez grand, la probabilité de l’évènement contraire.

Exemple : On utilise le menu « programme » uniquement pour que le texte tienne entièrement dans l’écran :

Le programme génère une liste L1 de 30 dates de naissances, visible dans le menu « STAT » si on veut :

Toutes les valeurs de L1 sont-elles distinctes ou non ?

Elles ne sont pas toutes distinctes, dans ce groupe de 30 personnes il y en a au moins 2 qui ont la même date d’anniversaire, pour l’algorithme ci-dessus le compteur C ne varie pas.

b) Le problème des canards : l’exercice est aussi adapté d’un exercice proposé dans Les certitudes du hasard d’Arthur Engel.

10 chasseurs tirent, sans échec et de façon aléatoire, sur 10 canards sauvages, plusieurs chasseurs pouvant toucher le même canard.
Combien de canards survivent en moyenne ?

Arthur Engel fait alors ce commentaire : « l’expérience peut être réalisée sans effusion de sang ».

Le calcul des probabilités et de l’espérance mathématique ne soulèvent pas de difficulté, mais voilà comment simuler cette situation :

• On génère une liste de 10 entiers aléatoires entre 1 et 10.
• Les canards survivants sont les entiers manquants.

Exemple : Le menu « programme » n’est utilisé, dans l’écran qui suit, que dans l’intention de faire passer le texte entièrement dans l’écran.

Ce programme génère la liste L1 de l’écran suivant :

Dans cette liste, qu’on peut voir affichée dans le menu « STAT », il manque 1, 3, 7, 9, 10. Il y a donc 5 survivants.

Pour faire trouver le nombre de survivants à la machine, ce nombre est en fait la valeur du compteur F de l’algorithme du (3), il suffit de rajouter dans le programme « DISTINCT » vu plus haut, l’instruction « afficher F », ce qui est fait dans l’écran suivant qui affiche la fin du programme « DISTINCT » ainsi que la nouvelle instruction :

On teste alors ce nouveau programme sur la liste L1 vue plus haut, où il y a 5 canards survivants :

Le programme voit bien 5 canards survivants.

On dispose maintenant de tous les ingrédients pour faire un programme qui simule et donne une réponse au problème des canards, ce que nous allons faire.

Les écrans qui suivent donnent le programme qui calcule, pour n simulations de l’expérience aléatoire, la moyenne des canards survivants.

Dans l’écran précédent l’instruction « Then » est passée 2 fois, ne prendre en compte qu’une seule fois cette instruction.

Les écrans qui suivent donnent les moyennes pour n=100 puis pour n=1000 :

On ne résiste pas à la tentation de voir si ces résultats « collent » aux calculs des probabilités :

La probabilité pour un canard donné de survivre est 0.9¹⁰, c’est la probabilité que tous les chasseurs tirent sur un autre que lui.

Si on note X_i la variable aléatoire qui vaut 1 si le canard i survit et 0 sinon, i=0, 1, ..., 10, alors X_i vaut 1 avec la probabilité 0.9¹⁰.

La variable aléatoire X=∑X_i est alors une loi binomiale de paramètres 10 et 0.9¹⁰, d’où son espérance mathématique E(X)=10*0.9¹⁰=3.4867… qui est la réponse au problème posé.