Épreuve pratique 2009, sujet 37

samedi 14 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Comme on calcule $u_{n+1}$ à partir de $v_n$ et $v_{n+1}$ à partir de $u_n$, on a besoin de stocker $u_n$ et $v_n$ dans des variables temporaires (appeées $u$ et $v$) :

var un=1,vn=-1;//valeurs initiales
var u,v;//variables temporaires
for(n=1;n<=20;n=n+1){
	u=vn+n-1;
	v=-un+2*vn+n;
	un=u;
	vn=v;
	Println("|"+n+"|"+un+"|"+vn+"|");
}

Ce script produit le tableau suivant [1] :


voir le résultat

n $u_n$ $v_n$
1 -1 -2
2 -1 -1
3 1 2
4 5 7
5 11 14
6 19 23
7 29 34
8 41 47
9 55 62
10 71 79
11 89 98
12 109 119
13 131 142
14 155 167
15 181 194
16 209 223
17 239 254
18 271 287
19 305 322
20 341 359

Conjectures

L’énoncé suggère que l’on extraie des informations sur les nuages de points. Le script précédent sera alors modifié en le suivant [2] :

var un=1,vn=-1;//valeurs initiales
var u,v;//variables temporaires
for(n=1;n<=20;n=n+1){
	u=vn+n-1;
	v=-un+2*vn+n;
	un=u;
	vn=v;
	a=Point(n,un/10);SetColor(a,"blue");
	b=Point(n,vn/10);SetColor(b,"red");
}

Puis sur la figure avec les deux nuages de points, on crée 4 curseurs $a$, $b$, $c$ et $d$, puis les fonctions

(a*x^2+b*x+1)/10
(c*x^2+d*x-1)/10

En effet, les paraboles, si paraboles il y a, passent nécessairement par les points de coordonnées (0 ;1) et (0 ;-1). Et il a été nécessaire de diviser les trinômes par 10 puisque les ordonnées des points des nuages sont elles-mêmes divisées par 10...

les paraboles

En manipulant les curseurs, on a peut-être la possibilité, qui sait, de faire passer les paraboles par les nuages de points de la même couleur qu’elles...

L’énoncé suggère aussi la possibilité de représenter les points de coordonnées $(u_n ;v_n)$ :

var un=1,vn=-1;//valeurs initiales
var u,v;//variables temporaires
for(n=1;n<=20;n=n+1){
	u=vn+n-1;
	v=-un+2*vn+n;
	un=u;
	vn=v;
	a=Point(un,vn);
}

Comme les points semblent presque alignés, on essaye de trouver une droite passant presque par ces points, avec deux curseurs $a$ et $b$ :

la droite

ce qui ne mène pas à une conjecture exploitable.

Mais les deux nuages de points suggérent la possibilité que $v_n-u_n$ soit une suite arithmétique, ce qu’on peut vérifier avec le script suivant :

var un=1,vn=-1;//valeurs initiales
var u,v;//variables temporaires
for(n=1;n<=20;n=n+1){
	u=vn+n-1;
	v=-un+2*vn+n;
	un=u;
	vn=v;
	Println("|"+n+"|"+un+"|"+vn+"|"+(vn-un)+"|");
}


voir le tableau

n $u_n$ $v_n$ $v_n-u_n$
1 -1 -2 -1
2 -1 -1 0
3 1 2 1
4 5 7 2
5 11 14 3
6 19 23 4
7 29 34 5
8 41 47 6
9 55 62 7
10 71 79 8
11 89 98 9
12 109 119 10
13 131 142 11
14 155 167 12
15 181 194 13
16 209 223 14
17 239 254 15
18 271 287 16
19 305 322 17
20 341 359 18

[1] bonus : il est fabriqué par CaRMetal au format spip ce qui permet de l’incorporer directement à cet article

[2] les ordonnées des points ont été divisées par 10 pour que les nuages de points ne soient pas trop verticaux.


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