CaRMetal possède tout ce qu’il faut pour lancer une animation. Pour commencer il faut créer une figure 3D :

La première chose à faire dans ce repère 3D est évidemment de placer les points A, B, C et D d’après leurs coordonnées. L’outil adéquat est le premier des outils de 3D :

Il faut choisir un point d"ancrage des coordonnées, qui seront ensuite partie intégrale de la figure (ici en haut à gauche). Ensuite on entre au clavier les coordonnées :

Il suffit de faire pareil avec B, C et D et de les renommer. Ensuite, pour mieux voir la figure, on trace les demi-droites AB et CD puisque t est le temps, donc a priori supposé positif (la figure est téléchargeable d’un clic droit) :

Alors en bougeant cette figure dans tous les sens, on constate que (AB) persiste à rester parallèle à (OI) ce qui se démontre en calculant les coordonnées du vecteur allant de A à B. Mais aussi que (CD) est dans un plan parallèle à (OJK) ce qui peut se montrer en constatant que puisque C et D ont même abscisse 11, ils sont tous les deux situés dans le plan d’équation x=11 qui est bel et bien parallèle à (OJK).

Pour la question suivante, On a tout intérêt à ne pas utiliser les coordonnées de E mais à les chercher : On calcule l’intersection de (AB) et P, en remplaçant x,y, et z par les coordonnées de M dans l’équation de P. C’est plus vite fait que dit, puisque comme l’équation de P est x=11, on n’a que l’abscisse à remplacer et celle-ci vaut t. On obtient alors t=11 qu’on remplace dans les coordonnées de M_t, on trouve alors que E=M₁₁ a pour coordonnées (11,-1,5) comme annoncé dans l’énoncé.

Pour voir cela, on peut ajouter E dans la figure CaRMetal et dessiner le triangle CDE qui représente bien le plan P sans trop encombrer la figure. En faisant tourner celle-ci on voit l’orthogonalité entre P et (AB) :

La même manipulation de la figure permet aussi de voir que (AB) et (CD) sont non coplanaires. De toute manière, (AB) étant orthogonale à P, ne peut être parallèle à (CD), et l’intersection E n’est pas alignée avec C et D, comme on peut le montrer en résolvant le système

• 0,8t=-1
• 1+0,6t=5

qui aurait donné la valeur du paramètre pour laquelle N serait en E.

Pour la suite, il est nécessaire de synchroniser le mouvement de N sur celui de M, le temps devant s’écouler à la même vitesse sur les droites (AB) et (CD). Par conséquent, on va animer automatiquement t et définir les coordonnées de M et N en fonction de t.

On crée une expression t avec l’outil adéquat :

On la met en mode curseur et on fixe sa borne inférieure à 0 :

Ensuite on crée les points M et N en utilisant t dans les coordonnées :

Après, il ne reste plus qu’à choisir l’outil d’animation :

Celui-dit demande quel est le point que l’on souhaite animer, et en choisissant t au lieu d’un point, l’animation se fait toute seule, comme sur la figure CaRMetal obtenue, que l’on peut télécharger en cliquant sur la copie d’écran ci-dessous :

Pour commencer, vu qu’on est en 3D, il faut afficher la fenêtre 3D de GeoGebra :

Après quelques réductions, l’image ressemble à ceci :

Après on entre au clavier

A=(0,-1,5)
B=(2,-1,5)
C=(11,0,1)
D=(11,4,4)

Difficile d’imaginer plus simple !

Ensuite, l’outil demi-droite permet de compléter la figure. Il faut donc quelques secondes pour obtenir ce dessin en anaglyphe, qui, regardé avec des lunettes rouge-cyan, montre immédiatement

• que (AB) est parallèle à (Ox)
• que (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires
• que (CD) est parallèle à (Oyz), donc orthogonale à (AB) :

Une difficulté rencontrée par les élèves pour cette épreuve de bac est qu’ils ne sont pas nécessairement habitués à identifier x=11 comme une équation de plan. Avec GeoGebra c’est facile à voir, il suffit d’écrire x=11 dans la fenêtre d’entrée :

L’inclusion de (CD) dans ce plan saute aux yeux munis de lunettes anachromes. La suite est un vrai bonheur : On sélectionne l’outil « intersection » puis la demi-droite AB et le plan, et un point apparaît, qui s’appelle E et a pour coordonnées (11,-1,5). C’est à se demander si l’énoncé n’a pas été conçu avec l’aide de GeoGebra... Par contre, on a du mal à voir le point E, qui est clair et partiellement caché par le plan :

La suite doit se faire dans la figure 2D : Créer le curseur t, lui donner pour bornes 0 et 12. Ensuite, retour à la fenêtre 3D, et on écrit

M=(t,-1,5)
N=(11,0.8*t,1+0.6*t)
Distance[M,N]

Ensuite, en actionnant le curseur t, on cherche à minimiser la distance, en regardant l’affichage. Ceci répond à la question. Mais pour mieux voir, on peut représenter cette distance par la sphère de diamètre MN :

MilieuCentre[M,N]
Sphère[F, M]

Après il est conseillé de cacher les plans parce que sinon on ne voit pas grand-chose. La suite est un jeu en 3D : Bouger t pour rendre la sphère la plus petite possible :

Après avoir joué un peu, le bonheur revient avec

Minimiser[d,t]

qui crée un nombre de valeur 6,3. Le bonheur...

Après avoir renommé t autrement (pour libérer la variable t), un petit séjour par la fenêtre de calcul formel permet de rapidement démontrer le résultat coinjecturé :

La construction de la figure est immédiate aussi avec DGPad, grâce à son outil « calculatrice » :

• Avec la macro « repère 3D », créer un repère de centre O (qui se crée là où on clique) dont il est bon de renommer les points I, J et K pour rester le plus proche possible de l’énoncé ;
• On ouvre la calculatrice et on entre A=[0,-1,5] et des choses analogues pour B, C et D.
• On clique sur A, on choisit l’outil demi-droite et on sélectionne B ; idem pour C et D.
• Pour calculer les coordonnées des vecteurs (questions 1a et 1b), on crée des expressions B-A (on voit à ses coordonnées qu’elle est colinéaire à OI) et D-C (on voit à ses coordonnées qu’elle est perpendiculaire à OI) ;
• On entre E=[11,-1,5] puis on représente le plan P=(CDE) par le cercle circonscrit à CDE (on voit alors que CD est une corde du cercle et que (AB) lui est perpendiculaire en E) ;
• On crée un curseur t allant de 0 à 12 ;
• On crée les expressions [t,-1,5] et [11,0.8*t,1+0.6*t] que l’on met en mode point et que l’on nomme M et N ;
• La macro distance 3D, appliquée à M et N, fournit une expression qui finit la construction (cependant ça ne fait pas de mal de dessiner aussi le segment [MN]).

La figure obtenue est celle-ci :

// Coordinates System :
SetCoords(388,19,40,true);


// Geometry :
P1=Point("P1",-2.8191176470588233,-5.872058823529412);
I=Point("I","[1,0,0]","1");
J=Point("J","[0,1,0]","1");
K=Point("K","[0,0,1]","1");
A=Point("A","[0,-1,5]","1");
B=Point("B","[2,-1,5]","1");
C=Point("C","[11,0,1]","1");
D=Point("D","[11,4,4]","1");
E=Point("E","[11,-1,5]","1");
S11=Segment("S11",P1,I);
S21=Segment("S21",P1,J);
S31=Segment("S31",P1,K);
R1=Ray("R1",A,B);
R2=Ray("R2",C,D);
E1=Expression("E1","","","","B-A","7.55","-3.525");
E2=Expression("E2","","","","D-C","7.8","-4.775");
C1=Circle3pts3D("C1",C,D,E);
t=Expression("t","","0","12","1.26","-8.2","-9.525");
Center1=Center("Center1",C1);
M=Point("M","[t,-1,5]","1");
N=Point("N","[11,0.8*t,1+0.6*t]","1");
S1=Segment("S1",M,N);
M1=MidPoint("M1",M,N);
MN=ExpressionOn("MN","","","","d(M,N)",M1,[-33.723688196805654,-7.374942174628131]);


// Styles :
STL(P1,"c:#2a2a58;s:2;f:30;fl:true");
STL(I,"c:#131314;o:1;s:3;sn:true;f:24");
STL(J,"c:#0e0e0e;o:1;s:3;sn:true;f:24");
STL(K,"c:#161617;o:1;s:3;sn:true;f:24");
STL(A,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:30");
STL(B,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:30");
STL(C,"c:#006633;s:6;sn:true;f:30");
STL(D,"c:#006633;s:6;sn:true;f:30");
STL(E,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:30");
STL(S11,"c:#117dad;s:1;f:24");
STL(S21,"c:#0e0e0e;s:1;f:24");
STL(S31,"c:#191a1a;s:1;f:24");
STL(R1,"c:#0000b2;s:1;f:30;p:0");
STL(R2,"c:#006633;s:1;f:30;p:0");
STL(E1,"c:#0b6b2b;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(E2,"c:#0c613e;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(C1,"c:#cc66cc;o:0.5;s:1;f:30;p:0");
STL(t,"c:#007c7c;s:7;sn:true;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojMDA3YzdjO286MC42O3M6MTA7ZjozMDtzcDoz");
STL(Center1,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
STL(M,"c:#760012;s:6;sn:true;f:30");
STL(N,"c:#760012;s:6;sn:true;f:30");
STL(S1,"c:#760012;s:1;f:24");
STL(M1,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
STL(MN,"c:#760012;s:6;sn:true;f:16;p:8;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO3M6MTA7ZjozMA==");
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