En CM1 comme en CE2, les équipes étaient idéalement formées de 3 personnes, l’une pour bouger le pion (« Monsieur Post »), une autre pour bouger le doigt et une troisième pour effectuer les semis :

Des élèves viennent de finir (on le voit au fait que Monsieur Post arrive sur un panneau stop) le calcul 4+2 :

L’opération 4-2 est en cours de calcul ici :

En fait la soustraction 4-2 a été transformée en 3-1 qui donne le même résultat.

Et ici c’est l’opération 5-1 qui est en cours de calcul :

L’opération 5-1 a été transformée en 4-0 ce qui fait que le calcul est bientôt terminé :

On voit ici une erreur de calcul :

En effet, là où se trouve Monsieur Post, l’exécution du programme devait mener la main à un mouvement vers la gauche (la droite sur la photo) :

Typiquement il y a trois élèves par équipe :

• l’un s’occupe des mouvements du pion,
• un autre gère le doigt
• un (ou deux) autre sème les graines :

Parfois les mouvements des membres de l’équipe sont simultanés :

On verbalise beaucoup avec cette activité :

Parfois il faut bien stabiliser le doigt (et surtout se rappeler où il était, en cas d’accident) :

Le pion s’appelle Monsieur Post. Il se promène sur un graphe. À chaque étape de sa promenade, il regarde l’instruction (en se penchant en avant, le cas échéant) :

Il a parfois besoin de revenir à son point de départ :

Parfois Monsieur Post arrive à un carrefour. Pour savoir de quel côté il doit aller, on regarde si le doigt montre une case vide ou une graine.

Si le doigt montre une case vide alors Monsieur Post fait un virage à gauche (il descend vers la droite du graphe) :

Si le doigt montre une graine (voire plusieurs) alors Monsieur Post effectue un virage sur sa droite (il descend vers la gauche du graphe) :

Dans la case montrée par le doigt, il y a deux opérations possibles :

• incrémentation (semer une graine dans la case, devant le doigt). Ici la main en haut de la photo vient d’effectuer ce semis.

• décrémentation (enlever une graine de la case). Ici la main en haut s’apprête à retirer une graine dans la case désignée par le doigt :

Le principe de l’algorithme est que si on incrémente la seconde case après avoir décrémenté la première case, on ne fait que transférer une graine depuis la première case jusqu’à la seconde. Ceci ne modifie pas la somme des contenus des deux cases et on calcule bien une addition. Ici on voit le début d’une décrémentation de la première case (à droite sur la photo ; début du calcul de 3+0) :

En fait l’algorithme revient à transférer les graines de la première case vers la seconde, ce qui a parfois été verbalisé.

Pour essayer de deviner quelle opération a été effectuée entre les deux nombres (de graines dans les deux premières cases) on peut faire des expériences et les consigner dans une table de l’opération (ici clairement identifiée comme une addition, à voir le signe opératoire utilisé) :

Pour expliquer que l’algorithme effectue bel et bien une addition, un élève a tenté de vérifier la présence d’un invariant (la somme des contenus des deux cases est constante) :

Tout d’abord il a été demandé aux élèves de regarder où est la différence entre les programmes d’addition et de soustraction, puis il leur a été demandé ce que fait ce dernier. C’est plus difficile que pour l’addition :

(le 5-2 en haut est la trace écrite d’un calcul de la fonction décrite plus bas)

On constate une erreur de calcul dans la dernière ligne : oubli d’une décrémentation ; erreur fréquente lorsqu’on essaye de mener les calculs avec des grands nombres :

Pour la fonction donnée en exemple, il n’y a plus besoin de 3 colonnes comme dans les tables d’addition et de soustraction, mais seulement de deux colonnes (le nombre initial de graines dans la première colonne, le nombre final dans la seconde colonne). On obtient alors un tableau de valeurs de la fonction, mais la notion de colonnes n’est pas toujours naturelle (le tableau fait plus penser à un diagramme sagittal) :

Des problèmes de coordination entre membres de l’équipe se sont montrés. Ici, la graine est prélevée ailleurs que dans la case montrée par le doigt :

Les élèves ont eu du mal à choisir combien de graines ils voulaient mettre dans les cases, se contentant souvent de mettre toutes les graines disponibles dans une case, au détriment des autres cases (et de l’équipe voisine, avec laquelle ils étaient censés partager les graines) :

L’avantage d’une grande quantité de graines, c’est que les élèves ont le temps de l’apprentissage (et l’animateur a le temps de s’occuper des autres élèves). L’inconvénient essentiel est qu’ils font plus facilement des erreurs de calcul (oubli d’une incrémentation, semis d’une graine dans la mauvaise case...). Et une fois l’addition effectuée, pour connaître la somme, il faut compter toutes les graines ce qui prend du temps :

En effet, même en CM2, les élèves ne pensent pas forcément à regrouper les graines par quinaires :

L’usage d’une règle a facilité la préparation de la table d’addition (les élèves ne savaient pas encore que c’est une addition) :

Mais les élèves n’utilisaient pas tous une règle, et la notion de tableau à deux dimensions ne leur était pas toujours naturelle :

La trace écrite est intéressante parce qu’elle permet de voir les erreurs de comptage :

Pour cela, il est important que les élèves verbalisent entre eux et le conflit socio-cognitif n’a pas toujours été apparent dans cette école.

Ici des élèves effectuent la soustraction 4-3 :

Ici aussi :

Ici c’est la soustraction 3-2 qui est en cours de calcul :

Les élèves verbalisent plus sur cette activité que sur l’addition :

Une difficulté avec ce programme est qu’il calcule la différence entre la deuxième case et la première. C’est l’ordre inverse de celui dans lequel on énonce la soustraction. Donc dès que les élèves commencent à deviner qu’il s’agit d’une soustraction, des problèmes de latéralisation apparaissent :

Mais avec du soin on peut voir apparaître une table de soustraction correcte :

Voici l’état de la machine de Post juste avant de calculer la moitié entière de 3 :

Et juste après avoir calculé la moitié entière de 10 (les élèves de cette école aiment les grands nombres !) :

Le mot « moitié » a été trouvé assez souvent pour décrire l’effet de cette fonction. Et les tableaux de valeurs sont plus connexes que dans l’école visitée la veille :

Mais pas toujours :

Ci-dessus on voit une erreur de calcul (incrémentation de trop), la moitié entière de 15 étant 7 et non 8.

Les élèves les plus rapides et passionnés sont allés jusqu’à vouloir effectuer une multiplication.

Mais pour corser la difficulté, ils ont décidé d’effectuer une rotation de l’équipe à chaque étape du calcul :

Une tentative de calcul parallèle (prefetch ou pipelining) a été faite :

Si en faisant en même temps, on va plus vite, on risque néanmoins de faire plus d’erreurs de calcul (semis dans la mauvaise case).

Le temps leur a manqué pour finir la multiplication (ils avaient choisi 7×2). D’autant qu’ils ont dû recommencer plusieurs fois à cause d’erreurs dans le calcul :

La présence d’une erreur est identifiable à l’aide d’un invariant : chaque fois que Monsieur Post retourne en haut du bloc du milieu, il y a autant de graines dans la case 3 et la case 4. Ci-dessus ce n’est pas le cas.

Il n’y a pas que les nombres entiers que l’on puisse construire :

• Hamilton au début du XIX^e siècle modélisait un nombre complexe comme un couple de réels, avec les opérations idoines (par exemple (0,1)×(0,1)=(-1,0) pour i²=-1). Encore fallait-il construire les réels.
• C’est Dedekind qui a effectué cette construction, à l’aide de ce qu’il appelle coupures de rationnels. Une coupure est formée de deux ensembles A et B tels que
  • toute fraction est dans A ou dans B
  • aucune fraction n’est à la fois dans A et dans B
  • aucune fraction de A n’est plus grande qu’une fraction de B.
• La construction des fractions a été formalisée par Peano mais à partir du livre VII d’Euclide (des proportions) : une fraction est la donnée (en fait, le quotient) de deux entiers. À l’époque des « maths modernes » les fractions étaient le quotient de l’ensemble des couples d’entiers par la relation d’équivalence « le produit des moyens égale le produit des extrêmes ».
• Toujours à l’époque des « maths modernes », les entiers relatifs étaient le quotient de l’ensemble des couples d’entiers par la relation « la somme des moyens égale la somme des extrêmes ». Donc la construction est similaire à celle des fractions (positives) vue ci-dessus, et Conway fait la remarque qu’on peut construire les fractions de deux manières :
  • on commence par construire les entiers relatifs (une fois construits les entiers naturels) puis on utilise la construction des fractions à partir de couples d’entiers relatifs (c’est le choix effectué par les « maths modernes »),
  • ou on commence par construire les fractions positives, et ensuite on leur applique la construction des relatifs vue ci-dessus pour aboutir aux fractions relatives. Conway conseillait cette seconde approche, historiquement plus cohérente.
• Les décimaux sont des fractions particulières (dont le dénominateur est une puissance de 10). On peut aussi commencer par construire les décimaux par décalage de virgule (ce qui revient à diviser par 10) et ensuite seulement étendre aux fractions, alors définies comme nombres dont l’écriture décimale est ultimement périodique. Cette approche, pratiquée avant les « maths modernes » nécessite cependant d’aborder l’infini.
• les fractions dyadiques peuvent se définir de façon analogue aux décimaux : une fraction dyadique est obtenue en divisant un entier par 2 plusieurs fois de suite. Le premier à leur accorder de l’attention a été John Horton Conway dans les années 1970.
• Mais la base de toutes les constructions de nombres, c’est encore celle des entiers naturels, axiomatisée par Peano à la fin du XIX^e siècle. On va détailler celle-là avec comparaison des approches notamment en ce qui concerne les 5 opérations.

Peano utilise la fonction successeur pour construire les entiers. Cette fonction est liée à la construction des ordinaux par Von Neumann (chaque ordinal est l’ensemble contenant les ordinaux inférieurs à lui). Cette construction permet de rapidement aller vers la relation d’ordre des entiers : chaque entier est inférieur à son successeur. La fonction successeur pose un problème concernant la notion de l’infini : tout entier naturel possède un successeur, autrement dit, lorsqu’un enfant sait compter jusqu’à mille, il sait aussi compter jusqu’à mille et un, euh non, mille deux, etc. Comprendre qu’il n’y a pas de réponse possible à la question « jusqu’où sais-tu compter ? » est une approche de l’infini potentiel. À partir de quel âge un enfant peut-il comprendre cela ?

Le modèle des machines à registre donne au contraire une place importante à la fonction partielle prédécesseur. Cette fonction est partielle parce que, contrairement à la fonction successeur, il existe un entier (1 pour Peano, 0 en informatique) qui n’a pas de prédécesseur. Il est d’ailleurs important qu’un entier n’ait pas de prédécesseur, c’est ce qui garantit que les programmes bien conçus terminent en un temps fini : si je demande de compter à rebours, je sais combien de temps cela prendra, si je demande de compter le plus loin possible, cela peut prendre un temps infini...

Le prédécesseur permet de comparer récursivement deux entiers : comparer un entier avec 0 est facile (c’est 0 le plus petit des deux) et sinon, comparer deux entiers revient à comparer leurs prédécesseurs ce qui est plus facile puisque les prédécesseurs sont plus petits.

Les 5 opérations ont une interprétation plus simple en terme de cardinaux (taille d’une collection) que d’ordinaux :

• La somme de deux cardinaux est le cardinal de la réunion disjointe des deux collections. C’est ce que fait la machine à registres mais c’est aussi la base du calcul des probabilités.
• La différence entre deux cardinaux est le cardinal de la différence ensembliste, sous réserve que le plus petit cardinal soit inclus dans l’autre. C’est l’approche « complément » dans la typologie de Vergnaud.
• Le produit de deux cardinaux est le cardinal du produit cartésien (on accouple les élements des deux ensembles de toutes les manières possibles). C’est la définition de la multiplication comme addition itérée qu’on verra plus bas.
• Le cardinal d’un ensemble quotient est, on s’en doute, un quotient d’entiers. Par exemple, en considérant que deux événements sont survenus à la même heure s’il s’est écoulé un nombre entier de jours entre les deux, on n’a que 24 heures possibles dans une journée.
• Le nombre de fonctions d’un ensemble A dans un ensemble B est la puissance Card(A)-ième de Card(B). Par exemple, il y a 32 manières de colorier en deux couleurs les 5 solides de Platon.
• En fait même la relation d’ordre peut être expliquée par les cardinaux, avec l’inclusion d’une collection dans une autre (avec les ordinaux de Von Neumann c’est l’appartenance et non l’inclusion).

Voyons maintenant comment Peano définissait les 5 opérations :

Addition

Peano définit l’addition ainsi :

a + (b+1) = (a+b) +1

Autrement dit, la somme de a et du successeur de b est le successeur de a+b. En ajoutant que a+0=0, on définit l’addition comme une incrémentation itérée.

Avec la machine à registres, on utilise une formulation équivalente mais basée sur la fonction prédécesseur :

• si b=0, a+b=a
• sinon, la somme de a et b est la somme du successeur de a et du prédécesseur de b.

Cela revient à transférer une par une les graines de la case b vers la case a et donc de réunir deux collections en une seule.

Soustraction

Pour Peano, la différence x=b-a entre b et a est l’unique solution de l’équation x+a=b. Peano définit donc la soustraction comme une addition à l’envers (l’inverse d’une augmentation chez Vergnaud). Avec la machine à registres par contre, comme on ne fait qu’itérer à tour de bras, on voit plutôt la soustraction comme une décrémentation itérée :

• si b=0, a-b=a (soustraire du rien revient à ne rien faire).
• sinon la différence entre a et b est la différence entre leurs prédécesseurs.

L’équivalent chez Vergnaud est la relation de comparaison : on ne modifie pas celle-ci si on incrémente les deux quantités, ou si on les décrémente.

Multiplication

Peano définit la multiplication ainsi :

• a×1 = a
• a×(b+1) = a×b+a

Une multiplication est donc une addition itérée. La traduction moderne des axiomes de Peano donne

• le produit d’un entier a par 0 est nul (égal à 0).
• le produit de a par le successeur de b est la somme de a×b et a.

En version machine à registres cela se traduit avec le prédécesseur :

• a×0 = 0
• Si b n’est pas nul, a×b est la somme de a et du produit de a par le prédécesseur de b.

Division

Pour Peano, on dit que x est le quotient de b par a si et seulement si x×a=b. Peano définit donc la division comme une « multiplication à l’envers » (voir Vergnaud). Gerbert d’Aurillac par contre ramenait la division à une soustraction itérée. Cette dernière définition colle bien avec les machines à registre, et se trouve déjà chez Euclide (tome VII des Éléments). Elle est liée à la propriété archimédienne des entiers (quelle que soit l’ampleur non nulle d’un pas entier, il faut un temps fini pour atteindre un seuil donné ; le nombre de pas est le successeur du quotient euclidien et on a dépassé le seuil d’une valeur égale au reste euclidien, s’il y en a un).

Exponentiation

Suivant la logique de ce qui précède, l’exponentiation est une multiplication itérée (Donald Knuth et John Conway se sont d’ailleurs rapidement demandé pourquoi s’arrêter en si bon chemin).

Alonzo Church, avec ses numéraux, a construit lui aussi le nombre (entier) mais à partir de fonctions. Noter qu’avec les numéraux de Church, la plus simple à définir parmi les 5 opérations, est l’exponentiation.

Finalement, une autre construction du nombre est apparue dans les années 1970, elle est dûe à John Conway et généralise les coupures de Dedekind. Elle s’appuie sur la théorie des jeux combinatoires (Conway cherchait à quantifier l’avantage d’un joueur à un jeu) et Conway considérant comme plus simples des nombres apparus plus tôt dans la construction, les nombres les plus simples selon Conway sont, dans l’ordre de complexité croissante :

1. le nombre 0
2. les nombres -1 et 1
3. les nombres -2, -1/2, 1/2 et 2
4. les nombres -3, -3/2, -3/4, -1/4, 1/4, 3/4, 3/2 et 3
5. etc.

Ainsi, pour Conway, le nombre 1/2 est plus simple que le nombre 3. La moitié est-elle une notion plus évidente que le triple ? En tout cas, les nombres négatifs viennent très tôt chez Conway puisque pour inverser le signe d’un nombre, il suffit d’intervertir les rôles des deux joueurs (un nombre négatif est pour moi un jeu où je perds).

Un exercice assez intéressant (et pas si facile) en CP, est de reproduire sur la machine de Post (en semant des graines) la figure du papier :

Mais l’inverse a également été utile : dessiner sur le papier la machine de Post :

Cela aboutit à un style de dessin assez différent de l’énoncé :

Reproduire le doigt fut toutefois moins aisé.

Il semble que la difficulté vienne au moins en partie du fait que les autres doigts sont repliés. Sans eux c’est plus simple :

C’est encore plus facile si on ne dessine que le doigt (sans la main) :

De là on peut même aller vers une figuration plus abstraite :

Voire une flèche :

En fait même les graines ont parfois été difficiles à dessiner :

Un élève (et un seul) a préféré plutôt que dessiner les graines, écrire en chiffres le nombre de graines :

Par contre pour le dessin du doigt il s’est remarquablement bien débrouillé :

Il a expliqué que l’écriture en chiffres était pour aller plus vite et ainsi, moins risquer de se tromper.

Avec une simulation à la fin pour valider la solution trouvée :

Une manière efficace de trouver la solution est de remonter les calculs :

Mais il faut aussi retourner les flèches et échanger les « + » et les « - » :

On a vite fait de s’emmêler les pinceaux (ou plutôt, les flèches) :

Mais plusieurs élèves ont trouvé la bonne réponse (grâce à la vérification, donc par essais-erreurs) :

La page 13 donne lieu à des erreurs, peut-être liées au fait que la place manque pour mettre Monsieur Post sur le graphe :

Il n’y a qu’une solution possible :

Une première solution vient assez vite :

Reste à en trouver d’autres :

Mais il arrive qu’on fasse deux fois le même programme, ou qu’on trouve un programme faux :

En fait, comme il ne faut qu’un seul « + » parmi les signes « - », il n’y a que trois façons de le placer soit 3 solutions :

Pour une quatrième solution il faut donc passer par les flèches. Certains élèves l’ont trouvé spontanément :

Tout le monde n’a pas eu le temps de faire la dernière page mais ceux qui l’ont fait, ont réussi :