Le début de l’énoncé parle de tétraèdre, mais c’est trompeur : En fait, A, B, C et D définissent un repère orthonormé du plan, dans lequel on va travailler. Pour créer un tel repère dans DGPad, il suffit de désigner son origine, puis de la renommer A.

Pour commencer, on cherche la macro « repère 3D » dans les macros :

On va dans la rubrique « 3D » :

DGPad demande alors un point, l’origine du repère :

Le repère se crée alors là où on clique :

Ensuite il faut renommer les points du repère en A, B, C et D. Pour cela, on modifie leur propriété « nom », en cliquant sur l’outil des propriétés :

En fait, le nom est la toute première des propriétés, celle qui apparaît tout en haut :

On utilise alors le clavier (éventuellement virtuel) pour renommer le point.

Une fois le repère créé et nommé, on construit des milieux qui s’appellent E, F et G. Alors autant les faire nommer automatiquement par DGPad, en cliquant sur « A » en bas, et en choisissant « E » dans le clavier qui apparaît alors :

E étant le milieu de [AB], on clique sur A :

L’outil « milieu » est le quatrième en partant de la gauche ; on le fait glisser jusqu’à B pour que E soit construit. La figure avec les trois milieux sera incorporée plus bas, mais avant, puisqu’on évoque le plan P, on va le représenter, ainsi que la droite (DF). Celle-ci (en pointillés ci-dessous) se construit en pointant D puis en faisant glisser l’outil « droite » (le deuxième) vers F. Pour représenter le plan perpendiculaire à (DF) par A, on va construire le disque perpendiculaire à (DF) par A, qui ne bouche pas trop la figure. En effet DGPad possède une macro adéquate :

Le disque a été colorié en vert dans la figure ci-dessous, qu’il est conseillé de manipuler en ligne pour la voir sous tous les angles (clic droit-glisser sur ordinateur, toucher-glisser avec deux doigts sur tablette) :

Question 1

Questions a et b

Les coordonnées de D et E peuvent se calculer, mais DGPad possède un outil de mesure desdites coordonnées 3D : Dans les macros de 3D,

on sélectionne D puis F :

On a alors D(0 ;0 ;1) et F(0,5 ;0,5 ;0). Pour avoir les coordonnées du vecteur les joignant il suffit de soustraire les expressions E12 et E11. Cela se fait avec l’outil « calculatrice » :

On entre l’expression à calculer, et on lit ses coordonnées :

Ce sont les coefficients de t dans l’équation paramétrique. Celle-ci est donc

• x = 0+0,5t
• y = 0+0,5t
• z= 1-t

Question c

Comme on connaît (d’après la question précédente) les coordonnées d’un vecteur normal à P, on a directement son équation :

0,5x+0,5y-z=0,5×0+0,5×0-1=1

Question d

On remplace dans l’équation du plan, les coordonnées par les équations paramétriques, on trouve 0,5×0,5t+0,5×0,5t-1+t=1 soit 1,5t-1=1 que l’on résout pour avoir t=2/3 qui permet, grâce aux équations paramétriques, de trouver les coordonnées de H. Mais DGPad possède, on l’a vu, une macro pour cela. Il suffit de constater que H est le centre du cercle dans l’espace de la figure ci-dessus. Les coordonnées sont visiblement toutes égales à 1/3 :

(pour quelque mystérieuse raison, DGPad persiste à renommer « Center1 » le point H)

Question d

La méthode attendue pour le sujet du Bac consistait à calculer un produit scalaire et vérifier qu’il est nul ; voici les deux vecteurs dont on doit calculer le produit scalaire (E-H et G-H) :

Mais on peut aussi montrer que l’angle est droit en utilisant la réciproque de Pythagore : Il faut que EH²+HG² soit égal à EG² ; on mesure alors ces distances :

L’outil, appliqué aux distances EH, HG et EG, montre que celles-ci valent respectivement 1/2, 1/2 et la racine de 1/2 :

Question 2

Pour construire M sur la droite (DF), il suffit de désigner celle-ci puis choisir l’outil « point » :

Pour avoir t, il suffit de diviser l’une quelconque des coordonnées de M-D par la coordonnée correspondante de F-D. Ici on choisit l’abscisse :

En bougeant le point M, on voit l’affichage de t se modifier en conséquence (on peut vérifier notamment que t=2/3 pour H) :

Question a

Pour démontrer l’égalité, on utilise Pythagore dans le triangle obtenu en projetant M sur le plan (ABC), mais la vérification peut se faire avec DGPad en représentant graphiquement les deux membres de l’égalité à montrer (fonctions de t) et en comparant les deux paraboles obtenues. Pour le premier membre, on mesure la distance ME et on prend son carré comme ordonnée du point d’abscisse t :

On active la trace du point obtenu :

On bouge un peu M (voir ci-dessous pour une figure en ligne) et on voit apparaître une courbe (attention à ne pas bouger M trop vite, cela nuit à la précision) :

Ensuite on représente graphiquement le second membre, sous forme d’une expression (dépendant de x à la place de t) :

Ne pas oublier de considérer cette axpression comme une fonction à représenter graphiquement :

On constate que les deux paraboles se superposent :

Pour tester en ligne, voici la figure sur laquelle il faut bouger M (elle est un peu lourde puisque le repère 3D est superposé au repère 2D) :

Question b

MEG est isocèle parce que le plan ADF est plan médiateur de toute la figure.

L’égalité à en déduire s’obtient en utilisant la trigonométrie dans la moitié de ce triangle, qui est un triangle rectangle.

Question c

La fonction sinus étant croissante sur l’intervalle considéré, maximiser l’angle revient à maximiser sa moitié donc le sinus de celle-ci ; et revient donc à minimiser l’inverse du sinus, soit à minimiser ME. Donc son carré.

Question d

On veut donc le minimum d’un trinôme.

Essayer en ligne, en bougeant le point mobile sur la parabole :

Minimiser une fonction revient à annuler sa dérivée, or DGPad sait calculer les dérivées :

Pour connaître la valeur de t cherchée, on peut construire l’intersection de la droite avec l’axe des abscisses :

Seulement DGpad ne sait pas que la représentation graphique de la dérivée est une droite, il faut donc ajouter des points sur l’axe des abscisses et sur la dérivée, les joindre par des droites puis placer le point d’intersection des droites :

Ainsi le paramètre t vaut 5/6 ce qui permet de construire le point cherché :

On constate alors que c’est le milieu de [HF]. Ce qui n’est pas surprenant puisque H et F sont les deux points pour lesquels l’angle est droit.

Voici donc la figure finale :

Remarque : Puisque lorsque M est en H, on a vu à la question 1 que l’angle est droit, et que l’angle droit n’est pas le maximum, on en déduit que le maximum est obtus. On peut le vérifier avec la calculatrice de DGPad, en utilisant la formule du 2b :

Tout d’abord, lorsque t=5/6, le minimum de la distance au carré est 5/24 :

Ensuite, on en déduit grâce à la formule du 2b, la valeur de l’angle α :

Puis, par conversion, le même angle mais en degrés :

On dépasse donc légèrement les 100 degrés, mais de combien ? En augmentant la précision de DGPad, on en voit un peu plus :