Depuis le début du XX^e siècle, une approche axiomatique de la géométrie définit des mots premiers et ceux-ci sont interprétés généralement avec des objets ou des structures mathématiques. Quand tous les axiomes sont satisfaits, cette interprétation est appelée un modèle pour ce système d’axiomes. On se propose ici de regarder — dynamiquement — quelques modèles de différentes géométries, sur 5 parties. La première est construite autour de la géométrie plane finie.

Cet article est consacré à une version dynamique du modèle tétraédrique de l’espace projectif sur le corps à deux éléments. Les deux figures proposées peuvent être prises comme un divertissement culturel qui permet d’explorer un domaine vers lequel on n’irait pas naturellement sans la manipulation directe sur l’objet en question.

Dans cette partie nous allons rencontrer une interprétation des mêmes objets mathématiques comme droites de deux géométries, la différence intervenant sur l’interprétation des points. On poursuivra par des conséquences sur les milieux et une première réflexion sur l’incidence absolue.

Cette partie est consacrée à l’exemple de la pseudosphère de Beltrami en relation avec le modèle plan dit de « Klein Beltrami ». Si ce modèle, construit sur la géométrie intrinsèque de la surface, a la particularité de n’être que local et un peu complexe, il offre pourtant des représentations saisissantes de certains objets.

Après avoir fait un tour d’horizon de différentes interprétations des objets comme les droites pour donner des modèles à des géométries spécifiques, dans cette dernière partie, nous abordons la question de l’incidence, dans une perspective axiomatique qui s’inscrit dans le prolongement du programme d’Erlangen de Félix Klein (1872). On s’installe donc dans une démarche dite de « seconde axiomatisation » qui va chercher ses invariants absolus dans une lecture algébrique des propriétés premières de la géométrie.

Cet article propose au lecteur de construire en ligne des figures sur les surfaces pseudosphériques de révolution. C’est l’occasion de voir la discrétion technique - et sa souplesse sous-jacente - que permettent les possibilités implicites.

Avec la géométrie non arguésienne, on dispose d’un exemple de géométrie dans laquelle le mouvement n’est pas pertinent pour illustrer la congruence. C’est donc un exemple de géométrie qui illustre parfaitement bien les différents questionnements que l’utilisation du mouvement a pu soulever dans la pratique géométrique. Pour illustrer cela — et ce n’est pas un paradoxe — nous allons utiliser la géométrie dynamique, sa manipulation directe, l’action sur les figures et donc le mouvement...

Le plan de Moulton est un exemple élémentaire de géométrie non arguésienne, peu étudiée car sa description ne se prête pas à une analyse algébrique. La puissance et la souplesse de CaRMetal permettent une implémentation robuste qui autorise une exploration rapide, non technique et pertinente sur de nombreux aspects.

In this contribution we address the complementary topics of auto-reference of objects in dynamic geometry and of magnetized objects (as implemented in CarMetal). Auto-reference will be described as a process creating memory of the manipulation of the user within the figure (Part I). Among the various uses of auto-reference, we will discuss several applications (Part II). Magnetized objects have didactic applications such as the extension of the notion of point on objects either from a topological point of view, or from a point of view of increased mathematical reality. These notions will be illustrated with examples at secondary school level and also at university level where magnetization provides a striking approach of finite geometries (Part III). Part III.5 is an example of algebraic magnetism in PG(3,2) : we see that the determinism is naturaly broken by this type of magnetization. Finally, in Part IV, we will mix the two technologies, i.e. autoreference and algebraic magnetization, to open up a new realm for dynamic geometry.

Cet article se propose d’explorer dynamiquement différents exemples de géométries finies. Pour certains exemples des micros mondes géométriques seront construits, c’est-à-dire que des dossiers de macros constructions ont été réalisées qui permettent de travailler dans ces géométries. On modélisera notamment le plan euclidien des 9 points et le plan projectif des 15 points, comme complément culturel à un article sur l’aimantation dans CaRMetal publié dans le numéro 13 de MathemaTICE, puis on s’intéressera aux systèmes de Steiner.