Notation
p1(n) désigne le plus petit diviseur premier de n pour n > 1.
CONJECTURE 1
Définition
La fonction f est définie sur N par f (0) = 5 et, pour n ≠ 0, par $f(n)= \frac{p1(10n-1)+ p1(10n+1)}{2}$.
Itérés par la fonction f
f (0) = 5 ; f (5) = 5...
f (1) = 7 ; f (7) = 37 ; f (37) = 5 ; f (5) = 5...
| 0, 5, 5... |
| 1, 7, 37, 5, 5... |
| 2, 11, 56, 8, 41, 206, 16, 5, 5... |
| 3, 30,10, 52, 262, 1312,6562, 107, 536, 13, 67, 7, 37, 5, 5... |
| 4, 22, 8, 41, 206, 16, 5, 5... |
| 5, 5... |
| 6, 60, 600, 12, 9, 48, 246, 1241, 6206, 116, 11, 56, 8, 41, 206, 16, 5, 5... |
L’observation des premiers itérés pour les sept premiers nombres montre que le nombre 5 est un point fixe attractif. Les images successives par f aboutissent à ce nombre. Cependant il faut parfois augmenter le nombre d’itérations pour l’atteindre. Par exemple, il faut vingt-trois itérations à partir du nombre 368232.
Conjecture 1
Pour tout n, la suite des itérés de n par f aboutit au nombre 5.
CONJECTURE 2
Notations
pav (n) désigne le nombre premier qui vient juste avant n pour n > 2.
pap (n) désigne le nombre premier qui suit immédiatement n.
Définition
La fonction g est définie sur N de la manière suivante :
- Si n = 93396 ou n = 93397, g(n) = 17445812449.
- Si n est congru à 1 modulo 3 et n différent de 93397, $g(n)=\frac{186793^2+pap( p1(|2n-186793|))^2}{2}$.
- Si n est autre, $g(n)=\frac{pav(p1(2n+186793))^2+pap(p1(|2n-186793|))^2}{2}$.
Pour les deux valeurs particulières de n , $|2n-186793|=1$. Comme p1(1) n’est pas défini, on ne peut pas calculer directement l’image de ces deux valeurs par les formules. L’explication du choix du nombre 17445812449 comme image est révélée juste après.
Itérés par la fonction g
| 0, 34889009965, 17445958765, 608716437278018401429, 17445812449,17445812449... |
| 1, 17445812509, 17445812449, 17445812449... |
| 2, 73, 34864737025, 17445812485, 17445812689, 17445812449, 17445812449... |
| 3, 17445824749, 17445812449, 17445812449... |
| 4, 17445812449, 17445812449... |
Ici aussi le nombre 17445812449 est un point fixe attractif. Par exemple, il faut onze itérations à partir du nombre 1426625 pour l’atteindre et seulement six (et de la patience) pour 3377849.
Conjecture 2
Pour tout n, la suite des itérés de n par g atteint le nombre 17445812449.
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