S1a - Exemple de formation entre pairs

Dans cet extrait, la voisine d’une élève interrogée par l’enseignant présente sa procédure personnelle pour mesurer une longueur.
Le maître approuve et confirme la démarche qui, de personnelle, devient institutionnalisée pour cette élève.
Elle explique alors à sa voisine « ce qu’il faut faire » et lui apprend à reproduire dans le détail sa propre procédure personnelle.

On notera au passage l’attitude métacognitive, sur la fin de l’extrait, qui consiste à valider les gestes produits alors même qu’on prend conscience d’une certaine imprécision.

En formation, cette séquence peut montrer la richesse de l’interaction entre pairs. On peut l’utiliser aussi pour aborder la subtilité de la validation du résultat d’une procédure personnelle (ici d’une manipulation). On voit sur cet extrait que du côté de l’élève, elle devient une institutionnalisation de sa propre pratique avec comme conséquence, l’apprentissage des cheminements personnels à autrui.

À propos des fractions, on peut remarquer la démarche que le quart est ici la moitié d’une moitié... Cela peut signifier bien entendu plusieurs choses et en particulier, on peut s’interroger (ici mais aussi dans d’autres extraits sur la manipulation des bandes) sur cette affirmation d’autres auteurs qui disent — peut-être un peu vite — que, pour les fractions plus petites que l’unité il y a implicitement équivalence pour les enfants entre le fractionnement de l’unité — ce que l’on fait ici — et le partage de la multiplicité (la division associée). L’équivalence n’est peut-être pas aussi évidente que cela quand les schèmes se construisent ainsi dans la manipulation d’objets.

S1b - Exemple d’installation d’approche socio-constructiviste à propos des fractions

Dans cet extrait, l’enseignant demande à une élève de lire le message qu’elle a reçu. Le message est ambigu, mais l’élève le trouve correct, et elle a trouvé la bande car, va-t-elle expliquer, elle-même a émis un message identique.

Devant sa pratique de pliage loin de ce qui est attendu — mais qu’elle considère validée par son expérience — l’enseignant modifie sa stratégie et passe à une bande plus simple. Alors que l’élève au tableau montre la solution, un autre élève, Neels, commence à comprendre pourquoi l’enseignant a changé de stratégie, pourquoi le message précédent était « incomplet ».

C’est le début d’un échange qui permet à chacun de commencer à s’approprier la problématique du fractionnement de l’unité avec le vocabulaire de la classe.

Cette situation est intéressante en formation pour illustrer la démarche socio-constructiviste préconisée par ERMEL (et ici son efficacité). Disparue — en tant que démarche de référence — des programmes dès 2002 suite aux abus (en particulier de certains éditeurs pour lesquels à peu près tout était « une situation problème »), la démarche est actuellement à réserver à des situations significatives comme dans cette approche des nouveaux nombres.

S2a - Montage sur la première activité de la séance 2

Ce montage est un résumé des recherche des élèves sur la première activité de la séance. Il est centré sur la difficulté à quitter les unités de mesure usuelles pour rentrer dans la problématique du fractionnement.

On notera l’appropriation par les élèves du souci répété de l’enseignant d’être « extrêmement précis ». On peut observer également les vitesses d’exécution kinesthésiques différentes (manipulation, écriture), les hésitations des uns et des autres...

S2b - Fin de la première activité - Interrogation sur le vocabulaire

La meilleure élève de la classe ayant pris de l’avance ne sait pas dire, c’est-à-dire écrire ici, le fractionnement en huit parties égales.
Son voisin fait une tentative d’oralisation du seul terme connu sur les fractions non encore utilisé « le tiers ».
L’élève répond aussitôt que ce n’est pas possible car c’est « trop grand ».
On remarquera l’étonnement de sa voisine en entendant la façon dont on oralise le fractionnement de l’unité en huit.

Ce micro-extrait illustre simplement que, parfois, les pratiques sociales sur un vocabulaire mathématique, surtout dans un contexte comme celui-ci d’irrégularité de l’oralisation, n’engagent pas du tout l’extension des connaissances personnelles dans l’environnement scolaire, même si ce dernier sait les utiliser.

S2c - Première formulation autour de la bande D

Il s’agit d’exprimer la mesure d’une bande pour laquelle on va devoir utiliser le quart. C’est sur cette activité que l’enseignant a décidé d’institutionnaliser l’écriture des fractions.

Une première élève donne son expression et montre sa manipulation.
On remarquera que plier deux fois (« je replie le un demi » de cet extrait), est un autre geste mental que celui qui a consisté (dans S1b) à plier une moitié en deux... puisqu’ici il est accompagné d’un « donc ça fait quatre morceaux »...

Ces différentes expressions — ici et la vidéo suivante — permettent de réfléchir sur cette identité plus ou moins supposée (par exemple chez Brissiaud), et éventuellement la relativiser, des gestes mentaux de fractionnement de l’unité et du « partage de la multiplicité » quand on travaille sur l’unité elle-même : on voit ici (S1b, S2b, S2c) que des gestes différents induisent des paroles différentes et des représentations différentes.

Assurément la mise en commun (comme en S2d) permet les passerelles et probablement de faire des identifications pour beaucoup d’élèves, mais pas pour tous comme on le voit si on visionne la séance complète.

S2d - Nouvelle formulation autour de la bande D

La manipulation élève va être la même, mais dans le vocabulaire, on insiste bien plus sur le pliage, et ce lien (à construire) entre le nombre de pliages de l’unité et le fractionnement.

On notera la démarche de l’enseignant qui consiste à écrire les différentes formulation des élèves (*). Cela permet ensuite de faire remarquer que toutes ces variantes individuelles d’expression veulent dire la même chose, et que l’on décide d’écrire cela d’une certaine façon : on fait la démarche collective du chemin vers la dépersonnalisation des connaissances individuelles pour reconnaître et dire un savoir commun.

Pour quelques élèves, conscients des enjeux d’apprentissage, le temps pris à cette attitude installe une démarche métacognitive.

C’est l’occasion d’écrire pour la première fois, institutionnellement, l’expression mathématique du quart.

Dans le cadre d’une formation, on peut critiquer éventuellement ici — ou un peu plus loin — le fait de ne pas avoir parlé de l’oralisation des fractions : à cause de connaissances sociales sur le temps en particulier, les expression « quart » et « tiers » sont connues. Mais ce ne sont que des cas particuliers, ce qui va poser problème ensuite aux élèves.

(*) L’essentiel de la mise en commun de la première activité, non reproduite dans cette mise en ligne.

S2e - Formulation par les élèves de correspondances entre écritures fractionnaires

Diverses prises de parole des élèves sur les correspondances d’écritures. Premières équivalences de gestes mentaux (et de manipulations) autour des relations multiplicatives — « deux quarts c’est (*) un demi » — et additives.

Puis, dans un contexte de simple anticipation, retour sur l’ambiguïté entre nombre de pliages (et pas de plis) et nombre de parts (fractionnement) : table de multiplication ? Autre chose ? Une élève propose une réponse.

Cette séquence peut être utilisée pour montrer combien les représentations s’installent ou au contraire évoluent par la prise de parole, et la confrontation des « expériences » de pensée de chacun : par exemple à 2 min 33 s remarquer la réaction de l’élève qui est derrière celui qui s’exprime.

On notera aussi la verbalisation correcte, de manière numérique, d’un processus — les puissances — qui ne sera institutionnalisé que trois ou quatre années plus tard.

(*) On peut voir dans cette phrase un exemple au cycle 3 de ce que Rémi Brissiaud appelle le second niveau d’arithmétisation : les quarts et les demis utilisés ne sont pas encore des objets arithmétiques à part entière, ils sont physiques, on les voit sur les bandes, et pourtant ils ont déjà pris une autonomie mathématique par rapport à la manipulation, au moins dans le discours de chez certains élèves.

S2f - Expressions de correspondances entre écritures fractionnaires sur les « huitièmes »

En fin de séance, on aborde les huitièmes. Alors qu’à l’extrait précédent, on constatait l’ambiguïté orale entre les plis effectués et le fractionnement, on voit ici que cette ambiguïté persiste à l’écrit.

D’où la recherche d’expressions orales collectives pour bousculer cette première représentation des huitièmes.

Les élèves qui écrivent 1/3 pour trois plis, cherchent à traduire, sous forme fractionnaire, les trois pliages successifs : confusion entre la traduction du pliage et du fractionnement obtenu.

On remarque un glissement de vocabulaire chez les élèves de « partager » vers « diviser ». Il n’en faudrait pas beaucoup plus pour que les fractions soient aussi une division... C’est alors la démarche de Rémi Brissiaud. C’est aussi un glissement implicite des nouveaux programmes de 2008 même si, l’équivalence entre fractionnement et division n’est officiellement qu’au programme de collège.

On peut envisager que le manque d’un moment d’institutionnalisation sur l’oralisation de l’écriture (« le dire c’est difficile ») participe de ces difficultés.

Là encore la parole des élèves est riche de règles implicites, en acte, qui s’installent naturellement à travers la communication : c’est plusieurs fois le cas dans le domaine multiplicatif du fractionnement. On peut voir aussi une utilisation relativement algébrique de l’égalité dans la transitivité de Neels « 4/8 = 2/4, comme 2/4 = 1/2 alors 4/8 = 1/2 ».

S3a - Illustration de la logique du contrat didactique

La mesure de la bande est 3, c’est la seconde bande de la séance, la précédente mesurait 1 + 1/4. L’élève, imprégné d’écriture fractionnaire croit qu’il doit écrire une fraction coûte que coûte.

On verra le même élève, à la fin de cette séance, écrire sans difficulté une décomposition additive (voir S3e).

Cette séquence a été retenue pour illustrer, éventuellement en formation initiale (en PE1, type M1), la force du contrat didactique tel qu’il peut être présent chez les élèves.

En formation continue on peut faire remarquer — et analyser — cette même force chez nous-mêmes, les enseignants, ou les formateurs : quels contrats, quels scénarios individuels véhiculons-nous ?

S3b - Différentes décompositions additives d’une écriture fractionnaire

Un premier élève écrit la mesure de la bande par transposition arithmétique de ses manipulations. Il trouve 2 + 1/2 + 1/4.

Le maître demande une autre écriture (la séquence est coupée sur le temps de recherche individuelle) puis un élève montre son écriture avec une justification très personnelle, clairement fragile, même si la vidéo laisse à penser que l’élève « voit » les deux quarts du un demi quand il montre la bande.

Sur un plan mathématique, on notera aussi que la partie fractionnaire est comme celle de la partie décimale, mais en base 2 (1/2 et 1/4 correspondent à 1/10 et 1/100). On parle d’écriture dyadique.

Cet extrait illustre une certaine véracité de cet adage qui voudrait que « ce qui se conçoit bien s’exprimer clairement » : l’ambiguïté présentée ici révèle une connaissance — voire une ébauche de savoir faire — en construction, qui cherche dans l’interaction son propre échafaudage : le langage participe à tous les niveaux de la construction des savoirs.

S3c - Montage sur les activités de recherche

On travaille sur la mesure des segments, et les écritures différentes de cette mesure.

Dans ce montage, on voit les élèves dans une activité qui donne du sens à ces nouveaux nombres en construction.

On voit aussi leur engagement dans le travail et le plaisir qu’ils ont à chercher et à élaborer leurs solutions.

S3d - Premières anticipations de calcul

Cet extrait illustre les prises de décision spontanées du maître quand il ressent la capacité chez un élève de s’affranchir du confort de la manipulation des objets pour basculer dans l’abstraction du calcul et du pouvoir d’anticipation qu’il a avec ces nouveaux nombres.

Ce saut est provoqué par le maître quand l’élève se situe dans la zone proximale de développement.

La fin de l’extrait est une autre belle leçon de l’implicite du contrat didactique.

L’anticipation par le calcul avant la manipulation est une illustration du document d’application des programmes qui fait du calcul « un pouvoir d’anticipation » sur le réel. Les mathématiques sont une recherche constante de modélisation du monde. Par ses concepts, elle propose des anticipations sur le réel.

L’enseignant a un rôle fondamental pour faire vivre cette dimension des mathématiques dans le quotidien de sa classe.

Son expertise est auto-validée quand ses choix de ces moments d’enseignement se révèlent pertinents.

S3e - Exemple de décompositions additives de mesures inférieures à 1

Fin de la séance, correction des deux derniers segments à mesurer qui sont plus petits que le segment unité.

Intervention de deux élèves dont on voit la capacité d’expression et la précision du vocabulaire.

S4a - Exemple de problème entre pliage et fractionnement

Dans un premier temps cet extrait montre des pliages corrects de la bande unité pour représenter les fractionnements engagés dans la mesure, puis l’exemple (à 36 s) d’une élève pour qui le bord du dessin de la demi-droite modifie sa procédure pour engager le pliage de la bande unité (déjà vu dans l’extrait S1b).

Après de nombreuses manipulations, on arrive, en dépliant la bande à retrouver... le point initial de pliage.

Cet exemple a été mis en ligne pour illustrer que l’activité de manipulation peut déboucher facilement elle aussi sur des erreurs non encore effectuées quand les procédures sont confrontées à un nouveau milieu (ici le « bord du segment » qui représente la demi-droite). Comme dans les démarches cognitives, il y a alors rapidement perte de sens des gestes de manipulation ! Il en est de même au collège où la relation de Chasles peut faire tourner longtemps en rond pour arriver à la conclusion $\vec{0}$ = $\vec{0}$.

S4b - Précision des manipulations et procédures employées

Le gabarit permet de comparer rapidement l’efficacité des procédures : ici une élève a reporté 5 fois un quart de bande unité, ce qui apporte naturellement des imprécisions.

Fort de cet exemple, on peut argumenter de l’intérêt de réécrire mentalement (à terme) les écritures fractionnaires quand il y a manipulation (physique puis mentale) sur les bandes pour minimiser les erreurs.

L’argumentaire, développé ici sur la manipulation, peut être peu à peu transposé dans le champ du calcul quand l’expertise ne fera plus appel au support des bandes.

S4c - Correction pour le point A - Autres écritures

On appréciera la précision du vocabulaire associé à la manipulation effectuée.

L’enseignant utilise alors l’opportunité de la seconde marque à « une unité et quatre quarts » pour faire apparaître les 2 unités.

Contrairement à ce que l’on pourrait penser avec ce résumé, le passage à 2 unités n’est pas si facile : avant l’élève qui le trouve en passant par les huitième, une autre élève avait trouvé la décomposition en 1 + 8/8 + 2/8.

Cet extrait illustre, certes le début d’une aisance dans la manipulation des écriture fractionnaires, mais aussi la difficulté, pour beaucoup d’élèves, de s’affranchir du fractionnement pour retrouver l’unité : l’élève qui trouve 2 unités a dû fractionner « un peu plus », comme s’il fallait trouver un fractionnement plus petit, commun, à 1 et 1/4, comme si la première bande unité devait elle aussi être fractionnée pour pouvoir être insérée dans un calcul.

La manipulation sur les bandes fractionnées, associée à la décomposition additive de l’écriture de la mesure, installe une représentation mentale des fractions qui n’inclut pas naturellement les entiers. D’où l’effort en ce sens effectué à ce moment de la séance.

S4d - Correction pour le point B - Autres écritures

« Est-ce que l’on a besoin de plier maintenant pour dire que une unité c’est deux demis ? » : après avoir passé beaucoup de temps sur les écritures de la première mesure, le maître installe les élèves dans leur expertise de l’expérience de pensée (l’élève n’a plus envie de plier la bande).

Le maître poursuit sur cette lancée, les élèves additionnent les demis et le maître peut conclure par un « vous voyez on commence à plus avoir besoin des bandes » qui sera repris en conclusion de la séance.

Il ne faut pas non plus oublier que tous les élèves ne sont pas encore installés dans cette expertise-là.

On retiendra en formation (éventuellement en visualisant cette partie dans son entier) que dans une même séance on peut prendre du temps pour installer une expertise et faire ensuite émerger celle-ci, consciemment et rapidement, quand on remarque qu’elle est effective chez certains élèves : on n’est pas du tout ici dans du béhaviorisme, mais bien dans du socio-constructivisme — option « BRUNER » de par la latitude d’intervention du maître.

S4e - Correction pour le point C - Autres écritures

« Tout de suite on voit apparaître une autre écriture », et cette autre écriture est effectivement vue « tout de suite », ce qui n’était pas le cas lors de la correction pour le point A, loin de là : l’enseignant, par cette remarque, permet une cristallisation cognitive sur les démarches de calcul.

D’autres décompositions — dont une soustractive — sont proposées par les élèves en fin de séance avant une conclusion où l’enseignant parvient à faire expliciter par les élèves eux-mêmes qu’ils ont moins besoin des bandes pour trouver d’autres écritures équivalentes des mesures (voir le DVD à la médiathèque)

La difficulté, pourtant réelle, soulevée en S4c commence à s’estomper par la pratique d’un certain « calcul réfléchi » sur les bandes. On retrouve ainsi, avec une situation « prototypique » de ERMEL, mise en pratique par un enseignant sensibilisé au rôle qu’il joue dans la mise en œuvre de cette situation, une illustration des conclusions cognitivistes de BRISSIAUD qui fait remarquer (manuel du maître de CE2) que l’appropriation du sens est « une alchimie entre la pratique du calcul réfléchi et la schématisation ».

S5a - Montage autour de la première activité de la séance

Première activité sans l’usage des bandes unités et donc sans les procédures de validation personnelle par fractionnement de l’unité. Il s’agit de provoquer un transfert des procédures de manipulation vers des démarches plus cognitives.

Cette séquence est l’occasion de voir que le transfert s’opère plutôt bien, mais avec quelques interrogations.

La mise en commun va être l’occasion — à nouveau par la verbalisation — de fixer davantage, en les conscientisant, les procédures de « transferts en actes » que l’on peut observer chez certains élèves.

Dans cette séquence il s’agit d’illustrer la difficulté de décontextualisation du pliage : le fractionnement de l’unité devient d’une autre nature. On notera par exemple le vocabulaire de l’élève qui, devant la feuille, reprend le même discours que lors de S1a quand elle aidait sa voisine. Cet extrait, replacé dans le contexte des autres extraits vidéo, montre aussi le cheminement vécu par les élèves : une expertise sur les bandes, un questionnement sur cette nouvelle situation avant de retrouver rapidement une expertise (pour certains) dans la visualisation du fractionnement, même s’il ne correspond plus à des pliages.

S5b - Mise en commun autour de stratégies sur la reconnaissance du fractionnement

Il s’agit d’installer chez les élèves — par explicitation des procédures — le cheminement intellectuel qui aboutit au repérage du fractionnement de l’unité sans utilisation de la bande qui a servi dans les séances précédentes :
– repérage de l’unité par de nouveaux indices ;
– de son fractionnement ;
– dénombrement des « cases », « morceaux d’unité » en remplacement des pliages de la bande unité.

L’enseignant revient très rapidement sur les différentes écritures, ce qui permet aux élèves, en adaptant leurs procédures, de vérifier qu’ils retrouvent, dans ce nouveau contexte, très rapidement leurs expertises numériques individuelles acquises lors des séances précédentes.

Bien entendu tout ceci a été fait sur un fractionnement de l’unité maintenant bien connu des élèves. C’est seulement une fois ce mécanisme de transfert acquis que l’enseignant va proposer de nouveaux fractionnements, qu’on ne réaliserait pas aussi simplement par pliage... on s’achemine ainsi peu à peu vers le fractionnement de l’unité en 10 parts égales.

S5c - « Donc c’est pas ça l’unité »

Première activité sur un autre fractionnement de l’unité que par des puissances de 2. Le titre de cet extrait est celui d’une représentation erronée très passagère chez un bon élève.

Neels a toujours compris, et souvent anticipé sur les activités vues jusque-là : ces représentations sont solides et assurées de par ses réussites antérieures.

Devant cette nouvelle activité, sur cette base-là, il n’a pas de doute, « donc c’est pas ça l’unité ».

Peut-être plus que d’autres, cet extrait vidéo est précieux en formation, en particulier en PE1 à propos de la force de nos représentations : les enseignants en poste ont tous rencontré des représentations erronées furtives de bons élèves — ce qui souvent renvoie à des questionnements sur nos propres fonctionnements. Mais ces représentations sont si furtives qu’il est rare qu’une caméra soit là, justement à ce moment.

Voir aussi le commentaire du prochain extrait pour un autre regard...

En tout cas, merci à Neels pour cette phrase d’anthologie... pour la formation.

S5d - Dernières écritures sur les tiers - Correction

Devant les difficultés sur cette activité avec un fractionnement en tiers, l’enseignant fait un bilan du travail en cours afin d’institutionnaliser à nouveau la démarche à suivre.

Les propos des élèves sur le fractionnement utilisé montrent bien la difficulté de se séparer des quarts.

La séquence vidéo se poursuit par des extraits du travail individuel des élèves, (certains passent à la demi-droite graduée en cinquièmes).

Puis la séquence se termine par des extraits de la correction, faite par le maître probablement à cause du temps passé (en temps réel) sur cette activité.

Comme on l’a dit lors d’un autre extrait, une critique à formuler à propos de cette séquence de formation est la question de l’oralisation de l’écriture des fractions : probablement ce point, dans l’institutionnalisation des nouveaux nombres aux séances 2 et 3 n’a-t-il pas été suffisamment abordé, et l’oralisation du fractionnement en trois pose certainement un problème : si personne ne dit « un troisième » (et, justement, pourquoi ?), le « tiers », déjà connu par ailleurs, peut avoir des représentations éloignées de notre contexte de fractionnement, qui s’affranchit tout juste du pliage à cette séance.

S5e - Bilan de la séance

Toutes les séances se terminent par un bilan de ce qui a été appris. Ce bilan est fait par les élèves. Pour en montrer un, nous avons choisi celui-ci, assez court.

En DVD, voir en particulier celui de la séance 1, qui, du côté des élèves, est véritablement un acte de métacognition, peut-être parce que c’était leur première expérience de pliages en arithmétique...

S6a - Travail sur les septièmes - Difficultés techniques ou conceptuelles

Dans une première partie (1 min) on voit différentes productions d’élèves, dont quelques difficultés d’écriture des septièmes (comme 7/16 et 7/19) ou de reconnaissance du fractionnement.

Dans une seconde partie (1 min), l’enseignant revient sur la feuille comportant les écritures précédentes 7/16 et 7/19.

Dans la troisième partie, il propose à une élève une remédiation en dessinant la bande unité : on voit alors émerger les représentations du fractionnement véhiculées par les séances précédentes avec le pliage des bandes et le marquage des plis : jusqu’ici les quarts ou les huitièmes ont représenté des longueurs, donc des intervalles. Il y a un glissement délicat du contrat didactique dans le processus d’arithmétisation, puisqu’on ne s’intéresse plus aux plis mais aux graduations.

En formation initiale, il est intéressant de prendre conscience que toute approche, toute pratique enseignante s’accompagne de représentations spécifiques : c’est de la responsabilité du maître de les repérer pour proposer des activités correctives. Sur les représentation en jeu ici, on peut signaler qu’elles sont plus ontologiques : la question de l’intervalle (le pli) et de ses frontières (la graduation) est une problématique générale partout présente : même dans l’enseignement supérieur, ces questions du global (sur un intervalle) ou du local (en un point, en particulier aux bornes de l’intervalle) sont sources d’erreurs rédhibitoires qui font le succès universitaire des ouvrages de contre-exemples...

S6b - Correction de l’activité précédente

Si on a mis l’accent dans l’extrait précédent sur les difficultés rencontrées par les élèves et les remédiations proposées, on voit ici, au contraire, une certaine aisance dans la manipulation des fractions et dans l’expression de la démarche effectuée.

À partir de 52 s, l’extrait propose différentes « autres écritures fractionnaires » pour les graduations proposées.

A partir de 1 min 30 s, une élève propose une écriture soustractive, une autre élève vient l’expliquer.

S6a - Travail sur les septièmes - Difficultés techniques ou conceptuelles

On aborde désormais, sur la demi droite graduée en septième, la mesure de segments. L’extrait vidéo est structuré ainsi :
– 1 min de travaux des élèves ;
– 1 min 15 s pour la correction des deux longueurs AB et CD qu’on pourrait qualifier de démarche par dénombrement (on compte les septièmes comme des « plis arithmétisés ») ;
– le reste de l’extrait est sur le passage à une démarche de calcul sur les fractions par retrait (proposée par une élève) ou par complément (privilégiée par le maître).

Cet extrait montre une démarche élève de type « arithmétisation de schématisation » (la manipulation est transférée du domaine sensible à une première abstraction) reprise par le maître pour aller vers un niveau d’organisation plus conceptuel. Ce genre d’extrait pourrait être utilisé en formation — certes des PE1 et PE2 mais ici plus particulièrement — des PLC2 maths dans le cadre d’une sensibilisation au travail mathématique fait à l’école primaire (et trop régulièrement nié). On peut commenter, à l’appui de cet extrait, toute l’ambiguïté (et donc la finesse) de l’enseignement dans ces classes qui doit faire émerger les concepts à partir des représentations des élèves que l’enseignement a lui-même provoqué dans les premiers apprentissages.

S6d - Placer des fractions sur la demi-droite graduée - Corrections

Avec cette activité, on revient à l’écriture de fraction (sous forme de décomposition additive) associée à une graduation.

Dans l’extrait on voit surtout les élèves travailler (avec le maître parfois), la dernière minute étant consacrée à la correction.

On notera que le retour à ce type d’activité sur la même droite graduée ne semble pas poser trop de problème, même après la recherche de longueur de segment, ce qui ne va pas être le cas dans le prochain extrait.

S6e - Placer des fractions sur une nouvelle graduation

Dernière activité de la séance, on continue l’activité consistant à placer des fractions sur une nouvelle graduation, en cinquièmes.

L’extrait commence par la confusion entre la graduation (depuis l’origine) et la mesure de longueur de segment (depuis la dernière fraction écrite). On notera aussi la prégnance de cette erreur que nous avions étiquetée de prémisse à la confusion entre global et local (à 35 s).

À 1 min 45 s, il y a correction de cette activité. À 2 min 45, les élèves commencent à proposer d’autres écritures, avec retour à des fractionnements en demis et huitièmes sur les entiers, et à 4 min, une élève présente une écriture soustractive.

Enfin une erreur à 4 min 25 s motive le maître à demander de placer la moitié sur cette droite graduée en cinquièmes, ce qu’une élève fait sans difficulté.

On notera l’oralisation « deux demis plus deux demis ça fait quatre demis » (à 3 min) : l’élève additionne oralement les demis dont on peut penser qu’ils sont déjà largement arithmétisés. On sait que le passage à l’écriture n’est pas aussi simple pour tout le monde.