Qu’est-ce qu’un booléen ?

Voir la page sur Wikipédia

C’est une variable qui ne peux prendre que deux valeurs : VRAI ou FAUX.
En Python, le type d’une telle variable est bool, les deux valeurs possibles sont True ou False.

Expressions booléennes

Une expression booléenne a deux valeurs possibles : True ou False.
Python attribue à une expression booléenne la valeur False si c’est :
– la constante False
– la constante None
– une séquence ou une collection vide
– une donnée numérique de valeur 0. Tout le reste vaut True.

>>> type(False)
<class 'bool'>
>>> type(True)
<class 'bool'>
>>> False
False
>>> bool(None)
False
>>> bool(' ')
True
>>> bool('')
False
>>> bool(0)
False
>>> bool(156.87)
True

Opérateurs relationnels ou de comparaison

Ce sont les opérateurs == ,  != , > , >= , < et <=.

* Illustration pour x = 7 et y = 17

Cela donne dans le shell de Python :

>>> x=7
>>> y=17
>>> x==y
False
>>> x!=y
True
>>> x>y
False
>>> x>=y
False
>>> x<y
True
>>> x<=y
True
>>> x is y
False
>>> x is not y
True

* Illustration avec deux chaînes de caractères

>>>a='encyclopédie1'
>>>b='encyclopédie2'
>>>a==b
False
>>>len(a)
13
>>>a[:12]==b[:12]
True

Exercices Python

1/ Écrire un programme dont la sortie dans le shell de Python est la suivante :

>>>Entrez un entier naturel : 45
>>>Entrez un second entier naturel : 215
>>>
>>>    x==y a pour type <class 'bool'>
>>>
>>>    x==y est un booléen : il est soit vrai, soit faux
>>>
>>>x est différent de y donc la valeur du booléen est : False

2/ Écrire un programme qui dira si
– un nombre x appartient à l’intervalle [a, b]
– un nombre x appartient à l’intervalle ]a, b[ U [c, d]
– un nombre x appartient à l’intervalle [a, b[ ∩ ]c, d]

3/ Écrire un programme qui affiche Bon anniversaire ! si nous sommes à la date de votre anniversaire, Bonne journée sinon.

Les 3 opérateurs logiques

Voir sur Wikibooks

Les expressions avec un opérateur logique sont évaluées à True ou False.

* Le NON (négation, contraire)
p étant un booléen,
NON p = 1 - p
En Python, on appelle l’instruction not.
(NON p est noté en logique ¬p)

>>> 2<1
False
>>> not 2<1
True

Table de vérité : retrouver celle de NON p à l’aide de Python.

Correction en Python :

>>> P=[True,False]
>>> for p in P:
	print(p,not p)
True False
False True

* Le OU logique (disjonction)

p et q étant deux booléens,
p or q
vaut True si p vaut True. Si p est False, l’expression est évaluée à la valeur booléenne de q
(si p est faux, retourne q, sinon retourne p).
(p OU q est noté en logique p ∨ q)

>>> 8<9
True
>>> 2<1
False
>>> (8 < 9) or (2 < 1)
True

Retrouver à l’aide de Python la table de vérité d’une disjonction :

* Le ET logique (conjonction)

p and q
vaut False si p est False. Si p est True, l’expression est évaluée à la valeur booléenne de q
(si p est faux, retourne p, sinon retourne q).
(p ET q est noté en logique p ∧ q)

>>> 8<9
True
>>> 2<1
False
>>> (8 < 9) and (2 < 1)
False
>>> x=36
>>> (x > 13) and (x < 27)
False
>>> x=20
>>> (x > 13) and (x < 27)
True

Retrouver à l’aide de Python la table de vérité d’une conjonction :

Aller plus loin en logique : implication, équivalence et ou exclusif

* Implication logique

L’implication logique p ⇒ q est le booléen : NON p OU q

– Dresser à l’aide de Python la table de vérité de l’implication logique.
– Écrire une fonction implique(p,q) en Python qui retourne NON p OU q, p et q étant deux booléens.

* Équivalence logique

L’équivalence logique p ⇔ q est le booléen : (p ⇒ q) ET (q ⇒ p)

– Dresser à l’aide de Python la table de vérité de l’équivalence logique.
– Écrire une fonction equivalence(p,q) en Python qui retourne (p ⇒ q) ET (q ⇒ p), p et q étant deux booléens.

* Le OU exclusif (XOR) :
soit p, soit q, mais pas les deux à la fois.

Le OU exclusif (noté XOR ou ⊕) p XOR q est le booléen : (p OU q) ET NON (p ET q).

Retrouver à l’aide de Python la table de vérité du OU exclusif :

Voir une application en cryptographie

Questions :
– Quel serait le message en français envoyé du futur dans le film « Le code Andromède » s’il était codé à l’aide de la clé de 7 bits K=1001110 et du OU exclusif ? [1]
– Écrire une fonction xor(p,q) en Python qui retourne soit p (sous-entendu p Vrai), soit q (sous-entendu q Vrai) mais pas les deux, p et q étant deux booléens.

Récapitulatif :
Voir sur Wikipédia l’article Fonction logique

Mini-projet

À rendre par groupe.

– Écrire un programme Python qui dresse les tables de vérité de NON p, p OU q, p ET q telles qu’elles sont affichées dans ce tableau :

NON p	p OU q

p ET q

Annexe : formatage d’une chaîne de caractères : lire Apprendre à programmer avec Python3 de Gérard Swinnen page 158 : Formatage des chaînes de caractères.

– Découverte des propriétés de l’Algèbre de Boole
p et q sont deux booléens.
Démontrer à l’aide d’un programme Python que :

• Règles d’addition (le OU est noté +)
  p + 0 = p
  p + 1 = 1
  p + p = p
  p + NON p = 1
  
• Règles de multiplication (le ET est noté . )
  p . 0 = 0
  p . 1 = p
  p . p = p
  p . NON p = 0
  
• Commutativité
  p . q = q . p
  
• Associativité
  p . ( q + r ) = p . q + p . r
  

• Les lois de MORGAN
  p et q sont deux booléens.
  Démontrer à l’aide d’un programme Python que :
  NON (p OU q) = NON p ET NON q
  NON (p ET q) = NON p OU NON q
  

• Vérifier que (p ⇒ q) et (NON q ⇒ NON p) ont même table de vérité.
• Tautologie
  p, q, r sont trois booléens.
  Vérifier que [(p ⇒ q) ET (q ⇒ r)] ⇒ [p ⇒ r] est toujours vrai.
  C’est la base des raisonnements en chaîne en mathématiques.