Trois réels a, b, c et deux points A et B du plan sont donnés et on recherche l’ensemble des points M du plan tels que $a.MA^2 + b.MB^2 = c$, et ce dans tous les cas concernant les réels a, b, c. Cette recherche est ici uniquement un problème de constructions géométriques obtenues à l’aide d’un logiciel de géométrie qui est ici « Cabri Géomètre ». Quitte à changer les signes de a et b on peut remarquer qu’on ne restreint pas la généralité en supposant $c \geq 0$.

Toute l’activité s’appuie sur le cas a = b = 1 proposé dans une brochure de l’IREM d’Orléans-Tours (ou plutôt une variante de celle-ci) et dont le principe est donné dans l’écran suivant :

On a tracé un segment de longueur $\sqrt{c}$ et deux points A et B. Un point P variable est pris sur la droite (AB). On trace ensuite le cercle de centre P et de rayon $\sqrt{c}$ puis la perpendiculaire à (AB) passant par A. Cette perpendiculaire coupe (pas toujours) le cercle précédent en un point Q. On trace le cercle de centre A et de rayon AQ puis le cercle de centre B et de rayon AP. Il est clair que, quand ces deux cercles se coupent, les points M et M’ communs vérifient : $MA^2 + MB^2 = c.$

On obtient donc ainsi, quand la ligne de niveau n’est pas vide, deux points, éventuellement confondus, de la ligne de niveau $a.MA^2 + b.MB^2 = c$ pour a = b = 1.

On va maintenant s’intéresser à la ligne de niveau $a.MA^2 + b.MB^2 = c$ avec a = 1 et b = -1.
Le principe est donné dans l’écran suivant :

On a tracé un segment de longueur $\sqrt{c}$ et deux points A et B. Un point P variable est pris sur la droite (AB). On trace ensuite le cercle de centre P et de rayon $\sqrt{c}$ puis la perpendiculaire à (AB) passant par P qui coupe ce cercle en un point Q. Le cercle de centre A et de rayon AQ coupe celui de centre B et de rayon AP en deux points M et M’ de la ligne de niveau précédente.

Voici maintenant, pour chacune des configurations précédentes, un cas où les points M et M’ n’existent pas.

– Cas a = b = 1

– Cas a = 1 et b = -1

Remarque : dans le cas a = b = 1 on constate que si les deux cercles ne se coupent pas pour une valeur de c, alors il en est de même pour toutes les positions de P. Par contre, dans l’autre cas, si les deux cercles ne se coupent pas pour une valeur de c, on peut trouver une position de P où ils se coupent.

– On va maintenant s’intéresser aux cas a positif et b positif.

On reprend le 1er écran ne laissant apparaître que A, B, P, le segment $\sqrt{c}$ et un seul des points M.
On construit ensuite deux segments de longueurs a et b et, respectivement, sur les demi-droites [AM) et [BM), les points $m_1$ et $m_2$ comme indiqué dans l’écran suivant :

Dans l’écran précédent on a utilisé les fonctions « calculatrice » et « report de mesure » de Cabri.

On a donc : $Am_1 = \frac{AM}{\sqrt{a}}$ et $Bm_2 = \frac{BM}{\sqrt{b}}.$

Le cercle de centre A et de rayon $Am_1$ coupe (pas toujours) le cercle de centre B et de rayon $Bm_2$ en deux points $N_1$ et $N_2$ (voir l’écran précédent) qui vérifient :
$a.NA^2 + b.NB^2 = a.m_1A^2 + b.m_2B^2 = a.( \frac{AM}{\sqrt{a}} )^2 + b.( \frac{BM}{\sqrt{b}} )^2= MA^2 + MB^2 = c.$

Dans l’écran qui suit on a caché certaines constructions et on a demandé les « lieux » de $N_1$ et $N_2$ à Cabri pour obtenir l’écran suivant :

– On va maintenant s’intéresser aux cas a positif et b négatif.

On suit pas à pas la démarche précédente mais appliquée au cas a = 1 et b = -1 pour obtenir les deux points $N_1$ et $N_2$ de l’écran suivant :

On demande, après avoir caché certaines constructions, les « lieux de $N_1$ et $N_2$ » et on obtient l’écran suivant :

Dans l’écran suivant on a modifié le segment b de sorte que a = b ; le cercle précédent s’est alors déformé pour devenir ce que donne l’écran :

Remarques :

1) Pour ne pas surcharger cette activité on a choisi d’utiliser les fonctions « calculatrice » et « report de mesure » de Cabri pour construire $Am_1 = \frac{AM}{\sqrt{a}}$ et $Bm_2 = \frac{BM}{\sqrt{b}}$, mais si on veut rester dans l’optique « construction à la règle et au compas » — on sait construire à la règle et au compas le quotient et la racine carrée — il faudrait alors fabriquer deux « macros » avec Cabri et reprendre les constructions avec celles-ci : c’est lourd mais faisable.

L’écran qui suit donne les constructions à la règle et au compas de $\frac{x}{y}$ et de $\sqrt{x} :$

2) On peut se poser la question : obtient on, par les procédés décrit ci-dessus, tous les points des lignes de niveaux ? Cette question est proposée aux élèves en exercice.