Avant de lire la suite, il est recommandé de faire quelques parties des jeux suivants (pour en démarrer un, cliquer droit sur la copie d’écran de CG suite ; on joue à deux joueurs sur une seule page web, en cliquant chacun son tour sur une des pièces tant qu’on peut) :

Dans ce jeu, celui qui joue en premier (les chevaux blancs ou les crapauds bleus) gagne ; ce que CG suite note par un « * ». On remarque que dans les jeux combinatoires, le but du jeu n’est pas d’arriver le premier au bout, mais de jouer le plus longtemps possible. Autrement dit, « gagner c’est jouer » (plus longtemps que l’adversaire).

La valeur du jeu est plus complexe que ci-dessus, ce n’est plus « * » mais un intervalle, entre -1/8 et 1/8. On remarque que dans les deux cas, ce n’est pas un nombre. Mais on verra des nombres ci-dessous, en particulier dans le jeu Konane.

Le jeu ci-dessus est une somme de jeux combinatoires, la ligne dessinée ci-dessus ayant elle aussi la valeur « * ». Il faut donc trouver comment on additionne des jeux qui ne sont pas des nombres.

En dehors du jeu vide, le jeu le plus simple est celui dans lequel chaque joueur n’a que le jeu vide comme option de jeu, comme celui où ni la grenouille, ni le crapaud, ne peuvent bouger :

Ce jeu est noté { | } = 0 par Conway, on a donc l’équation définitionnelle vide contre vide égal zéro.

Le nombre 0 à lui seul ne permet pas de définir d’autres nombres (parce que « zéro contre zéro » n’est pas un nombre, voir plus bas) mais à l’aide de 0 et du vide on peut définir d’autres nombres, tout d’abord vide contre zéro égal -1 et 0 contre vide égal 1. Ce nombre est illustré ci-dessous par le fait que, alors que la grenouille est face au jeu vide (elle est déjà au bout), le crapaud peut encore jouer un tour et arriver à son tour au jeu vide, soit { 0 | } = 1 :

Ensuite, on peut continuer à construire les entiers naturels avec l’équation n contre le vide égal n+1 : D’abord 2 = {1 | } :

Puis 3, qui est deux contre le vide :

Puis 4, etc :

Bien entendu on aurait pu inverser les rôles de la grenouille et du crapaud, et ainsi, construire les nombres entiers négatifs :

Et, en jouant à ce genre de jeu sur deux lignes, on réalise l’addition des nombres ainsi représentés. Par exemple si on a sur la première ligne un jeu de valeur 4 comme celui ci-dessus, et sur la seconde ligne un jeu de valeur 2, le tout est un jeu de valeur 4+2=6.

On rappelle que 0 contre 0 égal * ; ensuite, 0 contre 1 égal 1/2 :

Ceci permet de définir les nombres dyadiques avec 0 contre 1/2 égal 1/4 et ainsi de suite : Les jeux inférieurs à tous les jeux du type 1/n où n est une puissance de 2 (et en même temps supérieurs à leurs opposés), sont dits infinitésimaux. On peut déjà affirmer que

L’étoile est un infinitésimal

La question qui se pose maintenant est de savoir s’il y en a d’autres, en particulier s’il y a des nombres infinitésimaux. Avant de répondre à cette question, l’étoile permet déjà de construire des infinitésimaux non numériques :

En calculant des jeux du type 3 contre 3 le logiciel CG suite répond 3* qui est à interpréter comme la somme de 3 et de l’étoile : On retrouve là un phénomène typique de l’analyse non standard où tout réel fini est la somme de sa partie standard et d’un infinitésimal. D’ailleurs, comme en analyse non standard, Conway utilise le mot « halo » pour désigner les nombres infiniment proches d’un entier (par exemple) et l’étude de l’ensemble de tous les jeux finis se ramène, par addition ou soustraction, à celle du halo de 0 qui est formé des jeux infinitésimaux.

Tout d’abord il y a les nimbers, notés * pour un jeu de Nim d’une seule pièce, *2 pour le jeu de Nim à deux pièces, *3 pour le jeu de Nim à 3 pièces, etc (chaque fois, les pièces sont mises en un seul tas donc le premier joueur qui joue a l’option de vider le tas et de gagner d’un coup). L’ensemble des nimbers est muni d’une nim-addition et d’une nim-multiplication lui donnant une structure de corps de caractéristique 2 [2] qui est une extension de tous les corps finis de caractéristique 2 [3].

Le prochain infinitésimal remarquable est appelé « up » par Conway, et noté ↑ (son opposé * contre 0 est noté ↓ et appelé « down » évidemment). Il est défini par 0 contre * égal « up » ou {0|*} = ↑ :

Dans CG suite, pour entrer « up » ou « down », on utilise les touches suivantes du clavier : ^ et v. Cela permet de vérifier que ces infinitésimaux sont opposés l’un à l’autre parce que ↑+↓ donne 0, mais aussi que {↑|↓}=* : up contre down égal * (ainsi d’ailleurs que * contre *). Mais aussi, en additionnant « up » avec lui -même un certain nombre de fois, on a de nouveaux infinitésimaux notés ↑2, ↑3, ↑4 etc. Avec une notation pour le cas particulier de ↑2 (« double up ») noté également ⇑.

On a donc une infinité d’infinitésimaux entre les nimbers : les ups et les downs. On verra plus bas comment les comparer entrer eux et avec les nombres. Mais on peut déja donner ce résultat guère surprenant :

« up » est strictement positif et « down » est strictement négatif. L’étoile n’est ni positive ni négative

L’analyse du jeu ci-dessus est possible avec CG suite par le dessin de l’arbre du jeu, suivi de l’attribution d’une valeur à chaque embranchement. Traditionnellement ce sont les noirs qui commencent. Or il n’y a qu’une case vide bordée de pions blancs, et un seul pion noir peut y accéder en sautant par-dessus un pion blanc, ce qui fait passer de ça

à ça :

Les blancs, qui jouent maintenant, ont deux choix, consistant à prendre le pion noir qui vient de jouer : Ils le prennent verticalement ou horizontalement, par exemple verticalement :

Ensuite, les noirs n’ont plus que le choix de jouer le pion en haut à gauche :

Les blancs non plus n’ont guère le choix :

Les noirs non plus, du coup :

Maintenant les blancs ont le choix entre trois coups possibles ; disons qu’ils choisissent celui-ci :

Alors les noirs n’ont à nouveau le choix :

Les blancs peuvent choisir ce coup :

L’un des pions noirs ne peut plus jouer maintenant parce qu’il n’y a pas de pion blanc par-dessus lequel sauter. Mais les deux autres non plus parce que même s’il y a un pion blanc voisin d’eux, il n’a pas de place (à moins de sortir du plateau de jeu) pour atterrir derrière. Les noirs ne peuvent plus jouer. Les blancs, si, si c’était leur tour : Ils pourraient prendre un pion noir en sautant par-dessus. La valeur du jeu est donc -1 pour les noirs (à savoir vide contre 0). Mais l’étape précédente n’était déjà plus jouable pour les noirs, si ça avait été leur tour. Pour eux elle vaut donc vide contre -1 = -2, comme le dit CG suite en bas de la copie d’écran. En remontant ainsi les calculs, on trouve que le jeu initial était 0, ce qui signifie que celui qui joue en second, qu’il soit noir ou blanc, a une stratégie gagnante.

Dans ce jeu, les blancs ne peuvent déjà plus jouer (ils ont déjà affaire au jeu vide) ; mais les noirs peuvent prendre le pion blanc, ce qui les amène à un jeu similaire au précédent (un seul pion noir, donc injouable). Ce jeu est donc 0 contre vide égal 1 :

Dans ce jeu, si les noirs prennent le pion blanc à droite, ils arrivent à une situation similaire au jeu précédent (le pion noir à droite étant isolé du reste du jeu, ne compte plus) :

Ce jeu est donc 1 contre vide = 2. De même, on peut représenter en Konane le nombre 3 :

Et ainsi de suite, on peut représenter tous les entiers en Konane, même en se limitant à une dimension.

Comme on ne peut jouer qu’en sautant par-dessus un pion de l’autre couleur, il suffit de jouer avec une ligne sur deux vide, pour représenter dans Konane la somme de jeux ; ici, on n’a même pas besoin que la ligne 2 soit vide puisque la ligne 3 n’existant pas, on ne peut pas y atterrir :

La ligne 1 est le nombre 2, et la ligne 2 est le nombre 1, ce jeu illustre donc que 2+1=3 : Konane permet donc de représenter non seulement les entiers naturels, mais aussi leur addition.

Il suffit d’inverser les rôles des noirs et des blancs pour représenter les nombres négatifs avec Konane. Mais ce jeu aussi vaut -1 :

En effet les noirs ne peuvent pas jouer mais les blancs peuvent prendre un pion noir pour aboutir au jeu nul (quel que soit le joueur qui va jouer, il ne peut pas parce que ses pions sont isolés). On a donc l’égalité vide contre 0 égal -1. De même le nombre vide contre -1 = -2 :

Tout entier négatif peut être représenté par un jeu de Konane sur une seule ligne.

En mettant un entier naturel sur une ligne et l’opposé d’un autre entier naturel sur une seconde ligne, on peut utiliser Konane pour effectuer des soustractions. Par exemple la soustraction 5-3 :

On peut aussi effectuer des soustractions comme 2-5 mais tant qu’on n’a que des entiers à additionner ou soustraire, on ne construit, par ces additions ou soustractions, que des entiers. Mais d’autres nombres existent, que les entiers.

On rappelle que ce jeu de Konane est un nombre et que ce nombre est 1 :

En effet, les blancs qui sont bloqués ont face à eux le jeu vide, alors que les noirs peuvent prendre le pion blanc pour arriver à leur tour au jeu nul : 0 contre vide égal 1.

Du coup dans le jeu ci-dessous, si c’était aux blancs de jouer, ils arriveraient au jeu 1, alors que les noirs, s’ils jouent, arrivent au jeu 0 : Ce nouveau nombre est 0 contre 1, en fait égal à 0,5 :

En additionnant 0,5 avec 3 par exemple, on peut construire 3,5 et plus généralement, tout demi-entier est constructible avec Konane. Mais on peut recommencer avec 0 contre 1/2 :

Et ainsi de suite :

Toute fraction est donc représentable dans Konane, du moment que son dénominateur est une puissance de 2. Les autres nombres sont aussi représentables en Konane, mais sur un plateau infini. Par exemple 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + .... Mais si on admet (ne serait-ce que pour pouvoir représenter tous les nombres) de jouer sur un plateau de jeu infini [6], on peut aussi construire, sur un tel plateau, des entiers infinis (sur le modèle vu ci-dessus avec les entiers finis) ce qui a conduit Conway à redéfinir la notion de nombre ordinal en représentant les ordinaux par des jeux. Il semble même que ce soit à l’origine de l’intérêt de Conway pour les jeux combinatoires.

Mais à l’inverse, un plateau de Konane de taille infinie permet aussi de représenter des nombres du type ci-dessus (1/2, 1/4, 1/8 etc) avec un dénominateur infini et qui ont la propriété suivante : Le nombre est strictement positif mais strictement inférieur à 1/2, à 1/4, à 1/8 etc. On appelle ce genre de nombre un nombre infinitésimal positif. La seconde partie du livre on numbers and games a essentiellement pour but d’examiner la structure des infinitésimaux (nombres ou pas) et la façon dont ils sont agencés sur (ou à côté de) l’axe des réels.

Un exemple simple d’infinitésimal (mais ce n’est pas un nombre) est l’étoile de Conway :

En additionnant l’étoile avec un nombre on construit un nouveau jeu, par exemple le jeu 2* est la somme du jeu 2 et de l’étoile :

Le jeu ci-dessous a aussi pour valeur l’étoile : Si les noirs jouent, ils prennent l’unique pion blanc et arrivent au jeu nul (le premier qui joue a perdu), mais si ce sont aux blancs de jouer, ils arrivent aussi au jeu nul, en prenant un des deux pions noirs. Le jeu est donc 0 contre 0 égal * :

Par contre ce jeu est nul, les pions noirs et blanc étant isolés donc injouables :

Mais ces deux jeux sont ceux qu’on peut obtenir à partir de celui ci-dessous, si ce sont les noirs qui jouent :

Selon le cas les noirs arrivent à l’étoile ou au jeu nul ; mais les blancs, si c’est à eux de jouer, arrivent à l’étoile aussi. La valeur de ce jeu est donc 0 ou * contre * notée {0,* | *} = *2. On peut dire que c’est une double étoile mais comme *+*=0 (l’étoile est son propre opposé) on ne peut pas vraiment la définir comme le produit de 2 par l’étoile.

Un algorithme permet de construire les *n par récurrence. Or *4 est par exemple le jeu de Nim à un tas de taille 4, et comme on sait aussi additionner les jeux de Konane si on a suffisamment de place (on les écarte l’un de l’autre), on peut simuler avec Konane tout jeu de Nim :

La valeur de ce jeu est donnée par CG suite comme étant la somme de l’étoile et d’un autre jeu appelé « up » (noté ↑ ; on remarque que le signe « + » est superflu dans la notation de Conway) :

Par conséquent, si on lui additionne l’étoile (qui est son propre opposé) on obtient le jeu « up » :

Et comme on l’a vu dans la partie sur Toads and Frogs, il est possible d’additionner autant de copies d’« up » que l’on souhaite et ainsi construire une infinité d’infinitésimaux positifs. Voici un dessin extrait de winning ways for your mathematical plays illustrant la situation ; on y voit les fractions 1/16, 1/32 etc et leurs opposés, et la partie centrale est zoomée avec un rapport infini pour voir les multiples d’up et down :

Le nuage est une partie du halo de 0, et contient, en zoomant encore une fois, d’autres infinitésimaux d’ordre supérieur (les puissances d’up et leurs multiples entiers), et encore, et encore, et encore...

Et au milieu, même en zoomant une infinité de fois d’un rapport infini, il reste encore les nimbers comme l’étoile, qui ne sont ni positifs, ni négatifs, ni nuls : Comme dirait l’étoile,

Voici jeu très récent, dont on ne connaît donc pas encore de stratégie gagnante (ni s’il y en a une). Sa créatrice [7] a tenu à rajouter une régle qui, non seulement complique le jeu, mais semble donner un trop net avantage à celui qui joue en premier (les blancs ci-dessous). En tout état de cause voici cette règle :

Lorsqu’un joueur a trois de ses pions alignés, cela s’appelle « un échec de trois pions » ; dans ce cas, le joueur en question doit jouer trois fois de suite.

Pour les raisons évoquées ci-dessus, cette règle complexe n’a pas été gardée. Voici les autres règles :

• Chaque joueur, à son tour, avance un de ses pions, en diagonale (comme aux dames), d’une seule case ; mais on peut reculer.
• Si un pion adverse est voisin d’un pion à soi, et que le symétrique de ce pion par rapport au pion adverse est une case vide, on peut prendre le pion adverse en sautant par-dessus lui (comme à Konane) ; la prise s’effectuant horizontalement ou verticalement, on constate que les pions blancs restent toujours sur des cases blanches, et les pions noirs, sur des cases noires.
• Le but du jeu est de prendre tous les pions de l’adversaire.

Voici le jeu en question (cliquer sur l’image pour ouvrir le jeu dans un autre onglet du navigateur) :

Les fins de partie de ce jeu évoquent fortement tiouk tiouk. La possibilité de reculer fait qu’il peut y avoir des parties infinies ; dans ce cas la tradition est de considérer la partie comme nulle dès qu’on revoit 3 fois de suite la même position de jeu.

Le jeu dit simple mancala, fourni avec CG-suite, diffère à son tour de Mancala, par les points suivants :

• normalement, lorsqu’on place la dernière graine dans une de ses cases autre que son kalah, on la récolte ainsi que celles de l’adversaire qui sont en face, et on stocke le tout dans son kalah ; ce n’est pas le cas là...
• normalement, on sème en passant par son propre kalah mais pas par celui de l’adversaire ; la version « simple » laisse semer dans tous les trous, y compris les deux kalahs ;
• le simple mancala est si simple qu’on ne rejoue pas si on sème sa dernière graine dans son kalah ;
• le simple mancala est un jeu combinatoire, et le but du jeu n’est pas tant de récolter un maximum de graines, que d’être en position de jouer le plus longtemps possible ;
• enfin, et cela semble être un bug, la direction dans laquelle on sème n’est pas la même pour les deux joueurs.

En fait, pour représenter un tel jeu dans CG-suite, on se contentera de donner deux tableaux respectivement pour le joueur du bas (« Left ») et celui du haut « Right »). Par exemple ce jeu

s’entre par

g := game.sowing.BasicMancala([0,1,4,3],[2,0,3,3])

Ensuite on entre g.LeftOptions pour savoir quelles sont les positions que peut atteindre (en un coup de jeu) le joueur du bas, et g.RightOptions pour savoir les positions que peut atteindre le joueur du haut. g.CanonicalForm permet de savoir si le jeu est un nombre, et le cas échéant, lequel.

Comme précédemment, le jeu sans graines à semer vaut 0, comme le montre ce programme en CG-suite :

game.sowing.BasicMancala([0,0,0,0],[0,0,0,0]).CanonicalForm

qui donne 0, alors que

game.sowing.BasicMancala([0,0,0,1],[0,0,0,0]).CanonicalForm

donne 1 : Le joueur du bas peut encore jouer un coup, en semant la graine dans son kalah.

Mais du coup ce jeu représente le nombre 2 :

En effet, en jouant un coup, le joueur du bas arrive à la position précédente où il lui reste encore un coup à jouer.

Par récurrence, ce jeu vaut 3 :

et celui-là, 4 :

Les symétriques de ces jeux par rapport à un axe horizontal ont pour valeur des nombres entiers négatifs puisqu’ils reviennent à échanger les rôles des joueurs. Du coup, on peut représenter des soustractions comme 4 moins 2 :

Mais aussi des additions comme 4+3, qu’on représente avec une graine dans le trou numéro 4 et une autre dans le trou numéro 3 :

Il faut bien 3 tours de jeu pour amener la graine de droite dans le kalah, et 4 tours pour amener celle de gauche dans le kalah. Mais si on commence par mettre la graine du trou 4 dans le trou 3, on obtient ceci :

Et là il faut 4 coups maximum pour amener les deux graines dans le kalah. Or la valeur d’un jeu entier est le plus grand nombre de mouvements que peut encore faire le joueur du bas : Le but est de jouer le plus longtemps possible.

Cette représentation des nombres entiers n’est pas vraiment originale : On met une graine dans le trou d’abscisse n pour que le jeu obtenu représente le nombre n ; on a alors ces abscisses :

On peut aussi résoudre des jeux en solitaire avec CG-suite ;par exemple combien faut-il de mouvements pour amener toutes ces graines dans le kalah ?

CG suite permet de répondre en entrant

game.sowing.BasicMancala([4,3,2,1],[]).CanonicalForm

Mais les entiers ne sont pas les seuls nombres représentables avec simple Mancala ; par exemple voici le nombre 1/2 :

et le nombre 3/2 :

Et la star absolue, l’étoile, est présente aussi :

Pour dessiner les plateaux de jeux de mancala, c’est alcoffeethmique qui a été utilisé. Voici un exemple de dessin de plateau de Mancala à 6 trous par joueurs (les kalahs ne sont pas dessinés) :

Les cases du haut sont dessinées par une fonction dessineD, qui place n graines dans le trou numéro p :

dessineD = (p,n) ->
    dessineCercle 120+80*p, 80, 32, 'brown'
    si n==1
        dessineCercle 120+80*p,80,8,'blue'
    si n>1
        r=16
        pour k dans [0...n]
            t=360/n*k
            rc=r*cosinus t
            rs=r*sinus t
            dessineCercle 120+80*p+rc, 80+rs,8,'blue'

Les cases du bas sont dessinées de manière similaire :

dessineG = (p,n) ->
    dessineCercle 120+80*p, 160, 32, 'brown'
    si n==1
        dessineCercle 120+80*p,160,8,'blue'
    si n>1
        r=16
        pour k dans [0...n]
            t=360/n*k
            rc=r*cosinus t
            rs=r*sinus t
            dessineCercle 120+80*p+rc, 160+rs,8,'blue'

Les rangées de cases sont dessinées à partir d’un tableau t de nombres entiers (les graines dans les cases, la syntaxe est la même que dans CG-suite) :

G = (t) -> dessineG x,t[x] pour x dans [0...t.length]
D = (t) -> dessineD x,t[x] pour x dans [0...t.length]

Le plateau ci-dessous a été obtenu avec ce script :

effaceDessin()
D [1..6]
G ((leCarréDe n) % 7 pour n dans [0..5])