Variations de fonctions

lundi 4 novembre 2013
par  Alain BUSSER

Sans même avoir besoin de représenter graphiquement une fonction, on peut

  • manipuler un curseur pour choisir un antécédent ;
  • regarder un « curseur automatique » (ou « bar graph ») pour évaluer graphiquement son image par la fonction.

Des exemples extraits du bac STG (CGRH) ont été choisis pour illustrer ces activités. Pourquoi STG ? Parce que dans cette section, les fonctions sont toujours définies sur des intervalles bornés...

Bac STG CGRH métropole 2010

sujet STG 2010
étude d’une fonction par curseur ; ouvrir dans un autre onglet

Bac STG CGRH septembre 2012

sujet STG septembre 2012
étude d’une fonction par curseur ; ouvrir dans un autre onglet

Bac STG CGRH Antilles-Guyane septembre 2012

sujet STG Antilles-Guyane septembre 2012
étude des variations d’une fonction à l’aide d’un curseur

Bac STG CGRH Polynésie septembre 2012

sujet Polynésie 2012
étude des variations d’une fonction par curseur ; ouvrir dans un nouvel onglet du navigateur

Voici le dernier d’entre eux, en ligne ici :

bac STG CGRH 2012

bac STG CGRH Polynésie septembre 2012

On veut chercher expérimentalement comment maximiser le bénéfice (il y a aussi une méthode moins expérimentale, avec la dérivée B'(x)...).

Comme d'après l'énoncé, x va de 0 à 90, on le pilote par un curseur allant de 0 à 90, que voici:

Actuellement, on a x=20 kilogrammes et B(x)=0 €.

L'affichage du bénéfice:

Extraits du sujet

Dans l’un des ateliers d’une usine chimique, la production journalière d’une cer-
taine substance est comprise entre 0 et 90 kilogrammes.
Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 90], on note f(x) le coût de production, en euros,
de x kilogrammes de cette substance. La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 90].
Un kilogramme de la substance produite est vendu 9 €. La fonction g , ex-
primant la recette en euros pour x kilogrammes vendus, est donc définie sur
l’intervalle [0 ; 90] par g(x) = 9x.
Toute la production est vendue et l’entreprise souhaite optimiser son béné-
fice.
Dans la suite, on admet que la fonction coût de production journalier f est définie
par :
f (x) = 0,075x2 + 1,5x + 120 pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 90].
Montrer que le bénéfice B(x) réalisé par l’atelier pour la production et la vente
journalières de x kilogrammes est donné par :
B(x) = −0,075x2 + 7,5x − 120 pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 90].

CoffeeScript

Voici un extrait du source de cette page: 
	f = (x) -> 0.075*x*x+1.5*x+120
	g = (x) -> 9*x
	B = (x) -> (g x) - f x
Conformément à l'énoncé,
  • f désigne la fonction coût (fonction de x);
  • g désigne la fonction recette (fonction de x);
  • B désigne la fonction bénéfice (fonction de x)
On aurait pu faire aussi 
   B = (x) -> -0.075*x*x + 7.5*x - 120

Solution

En dérivant la fonction B par rapport à x, on trouve B'(x)=-0,15x+7,5, qui est positif pour x≤50 et négatif pour x≥50. Le maximum est donc atteint en x=50 comme on a pu expérimenter ci-dessus, et vaut B(50).


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